《同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí):第八章 第八節(jié) 曲線與方程 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《同步優(yōu)化探究理數(shù)北師大版練習(xí):第八章 第八節(jié) 曲線與方程 Word版含解析(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、課時作業(yè)
A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練
1.(2017南昌模擬)方程(x2+y2-2x)=0表示的曲線是( )
A.一個圓和一條直線 B.一個圓和一條射線
C.一個圓 D.一條直線
解析:依題意,題中的方程等價于①x+y-3=0或②
注意到圓x2+y2-2x=0上的點(diǎn)均位于直線x+y-3=0的左下方區(qū)域,即圓x2+y2-2x=0上的點(diǎn)均不滿足x+y-3≥0,②不表示任何圖形,因此題中的方程表示的曲線是直線x+y-3=0.
答案:D
2.(2018呼和浩特調(diào)研)已知橢圓+=1(a>b>0),M為橢圓上一動點(diǎn),F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn),則線段MF1的中點(diǎn)P的軌跡是( )
A.圓 B.橢
2、圓
C.雙曲線 D.拋物線
解析:設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是F2,由橢圓定義可得|MF1|+|MF2|=2a>2c,所以|PF1|+|PO|=(|MF1|+|MF2|)=a>c,所以點(diǎn)P的軌跡是以F1和O為焦點(diǎn)的橢圓.
答案:B
3.有一動圓P恒過定點(diǎn)F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點(diǎn)A,B,若△ABP為正三角形,則點(diǎn)P的軌跡為( )
A.直線 B.圓
C.橢圓 D.雙曲線
解析:設(shè)P(x,y),動圓P的半徑為R,
∵△ABP為正三角形,
∴P到y(tǒng)軸的距離d=R,
即|x|=R.
而R=|PF|=,
∴|x|=.
整理得(x+3a)2-3y2=12a2,
即-=1
3、.
∴點(diǎn)P的軌跡為雙曲線.故選D.
答案:D
4.已知動點(diǎn)P(x,y)與兩定點(diǎn)M(-1,0),N(1,0)連線的斜率之積等于常數(shù)λ(λ≠0).則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為 .
解析:由題設(shè)知直線PM與PN的斜率存在且均不為零,所以kPMkPN==λ,
整理得x2-=1(λ≠0,x≠1).
即動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2-=1(λ≠0,x≠1)
答案:x2-=1(λ≠0,x≠1)
5.在△ABC中,A為動點(diǎn),B,C為定點(diǎn),B,C(a>0),且滿足條件sin C-sin B=sin A,則動點(diǎn)A的軌跡方程是 .
解析:
4、由正弦定理得-=,
即|AB|-|AC|=|BC|,
故動點(diǎn)A是以B,C為焦點(diǎn),為實(shí)軸長的雙曲線右支.
即動點(diǎn)A的軌跡方程為-=1(x>且y≠0).
答案:-=1(x>且y≠0)
6.(2018杭州市質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),C(1,0),點(diǎn)P滿足=k||2.
(1)若k=2,求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)當(dāng)k=0時,若|λ+|max=4,求實(shí)數(shù)λ的值.
解析:(1)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).
因?yàn)閗=2,所以=2||2,
所以(x,y-1)(x,y+1)=2[(1-x)2+y2],
化簡整理,得
5、(x-2)2+y2=1,
故點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+y2=1.
(2)因?yàn)閗=0,所以=0,
所以x2+y2=1,
所以|λ+|2=λ22+2
=λ2[x2+(y-1)2]+x2+(y+1)2
=(2-2λ2)y+2λ2+2(y∈[-1,1]).
當(dāng)2-2λ2>0時,即-1<λ<1,
(|λ+|max)2=2-2λ2+2λ2+2=4≠16,不合題意,舍去;
當(dāng)2-2λ2≤0時,即λ≥1或λ≤-1時,
(|λ+|max)2=2λ2-2+2λ2+2=16,
解得λ=2.
7.已知坐標(biāo)平面上動點(diǎn)M(x,y)與兩個定點(diǎn)P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.
6、
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中軌跡為C,過點(diǎn)N(-2,3)的直線l被C所截得的線段長度為8,求直線l的方程.
解析:(1)由題意,得=5,
即=5,
化簡,得x2+y2-2x-2y-23=0,
所以點(diǎn)M的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=25.
軌跡是以(1,1)為圓心,5為半徑的圓.
(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時,l:x=-2,
此時所截得的線段長度為2=8,
所以l:x=-2符合題意.
當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)l的方程為y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,圓心(1,1)到直線l的距離d=,
由題意,得()2+4
7、2=52,解得k=.
所以直線l的方程為x-y+=0,即5x-12y+46=0.
綜上,直線l的方程為x=-2或5x-12y+46=0.
B組——能力提升練
1.(2017深圳調(diào)研)已知點(diǎn)F(0,1),直線l:y=-1,P為平面上的動點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為Q,且=,則動點(diǎn)P的軌跡C的方程為( )
A.x2=4y B.y2=3x
C.x2=2y D.y2=4x
解析:設(shè)點(diǎn)P(x, y),則Q(x,-1).
∵=,
∴(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),
即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為x2=
8、4y.
答案:A
2.已知兩定點(diǎn)A(-2,0),B(1,0),如果動點(diǎn)P滿足|PA|=2|PB|,則動點(diǎn)P的軌跡是( )
A.直線 B.圓
C.橢圓 D.雙曲線
解析:設(shè)P(x,y),則=2,
整理得x2+y2-4x=0,
又D2+E2-4F=16>0,所以動點(diǎn)P的軌跡是圓.
答案:B
3.已知過點(diǎn)A(-2,0)的直線與x=2相交于點(diǎn)C,過點(diǎn)B(2,0)的直線與x=-2相交于點(diǎn)D,若直線CD與圓x2+y2=4相切,則直線AC與BD的交點(diǎn)M的軌跡方程為 .
解析:設(shè)點(diǎn)M(x,y),C(2,m),D(-2,n),則直線CD的方
9、程為(m-n)x-4y+2(m+n)=0,因?yàn)橹本€CD與圓x2+y2=4相切,所以=2,所以mn=4,又直線AC與BD的交點(diǎn)為M,
所以所以所以-=4,所以點(diǎn)M的軌跡方程為+y2=1(y≠0).
答案:+y2=1(y≠0)
4.過橢圓+=1(a>b>0)上任意一點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為N,則線段MN中點(diǎn)的軌跡方程為 .
解析:設(shè)MN的中點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)M(x,2y)在橢圓上,
∴+=1,即所求的軌跡方程為+=1.
答案:+=1
5.在△ABC中,||=4,△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)且||-||=2,求頂點(diǎn)A的軌跡方程.
解析:以BC的中點(diǎn)
10、為原點(diǎn),中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,E、F分別為兩個切點(diǎn).
則|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,
|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2<|BC|=4,
∴點(diǎn)A的軌跡為以B,C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(y≠0),且a=,c=2,∴b=,
∴軌跡方程為-=1(x>).
6.(2017唐山統(tǒng)考)已知動點(diǎn)P到直線l:x=-1的距離等于它到圓C:x2+y2-4x+1=0的切線長(P到切點(diǎn)的距離).記動點(diǎn)P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)點(diǎn)Q是直線l上的動點(diǎn),過圓心C作QC的垂線交曲線E于A,B兩點(diǎn),設(shè)AB的中點(diǎn)為D,求的取值范圍.
解析:(1)由已知得,圓
11、心為C(2,0),半徑r=.設(shè)P(x,y),依題意可得|x+1|=,整理得y2=6x.
故曲線E的方程為y2=6x.
(2)設(shè)直線AB的方程為my=x-2,
則直線CQ的方程為y=-m(x-2),
可得Q(-1,3m).
將my=x-2代入y2=6x并整理可得y2-6my-12=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則y1+y2=6m,y1y2=-12,D(3m2+2,3m),|QD|=3m2+3.
|AB|=2
所以2==
∈,
故∈.
7.定圓M:(x+)2+y2=16,動圓N過點(diǎn)F(,0)且與圓M相切,記圓心N的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程;
(2
12、)設(shè)點(diǎn)A,B,C在E上運(yùn)動,A與B關(guān)于原點(diǎn)對稱,且|AC|=|BC|,當(dāng)△ABC的面積最小時,求直線AB的方程.
解析:(1)∵F(,0)在圓M:(x+)2+y2=16內(nèi),
∴圓N內(nèi)切于圓M.
∵|NM|+|NF|=4>|FM|,
∴點(diǎn)N的軌跡E為橢圓,且2a=4,
c=,∴b=1,
∴軌跡E的方程為+y2=1.
(2)①當(dāng)AB為長軸(或短軸)時,
S△ABC=|OC||AB|=2.
②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為y=kx,
A(xA,yA),
聯(lián)立方程得,x=,y=,
∴|OA|2=x+y=.
將上式中的k替換為-,可得|OC|2=.
∴S△ABC=2S△AOC=|OA||OC|==.
∵≤=,
∴S△ABC≥,
且僅當(dāng)1+4k2=k2+4,即k=1時等號成立,此時△ABC面積的最小值是.
∵2>,∴△ABC面積的最小值是,此時直線AB的方程為y=x或y=-x.