2、主解答] (1)f(x)＝＋ln＝－ln(x－1)．當(dāng)10，所以f(x)>0，故函數(shù)f(x)在(1,2)上沒有零點．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝－ln 2＝＝，
∵＝2≈2.828>e，∴8>e2，即ln 8>2，即f(3) <0，又f(4)＝－ln 3<0，
∴f(x)在(2,3)內(nèi)存在一個零點．
(2)易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a0，f(b)<0，f(c)>0，又該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，可知兩根分別在(a，b)和(b，c)內(nèi)．
[答案]
3、 (1)B (2)A
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法
判斷函數(shù)在某個區(qū)間上是否存在零點，要根據(jù)具體題目靈活處理，當(dāng)能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當(dāng)不能直接求出時，可根據(jù)零點存在性定理判斷；當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷．
1．(2014嘉興模擬)方程log3x＋x＝3的根所在的區(qū)間為( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
解析：選C 法一：方程log3x＋x＝3的根即是函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點，由于f(2)＝log32＋2－3＝log32－1<0，f(3)＝
4、log33＋3－3＝1>0且函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．
∴函數(shù)f(x)的零點即方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．
法二：方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間即是函數(shù)y1＝log3x與y2＝3－x交點橫坐標(biāo)所在區(qū)間，兩函數(shù)圖象如圖所示．由圖知方程log3x＋x＝3的根所在區(qū)間為(2,3)．
2．在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點所在的區(qū)間為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 易知函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)減函數(shù)．對于A，注意到f＝e－4－3＝e>0，f＝e－4
5、－3＝e－1>0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上；對于B，注意到f>0，f＝e－4－3＝e－2<4－2<0，因此在區(qū)間上函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3一定存在零點；對于C，注意到f<0，f(0)＝－2<0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上；對于D，注意到f(0)＝－2<0，f＝e－－4－3＝e－－4<0，因此函數(shù)f(x)＝e－x－4x－3的零點不在區(qū)間上．
考點二
判斷函數(shù)零點的個數(shù)
[例2] (1)(2014鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝x2－2x在x∈R上的零點的個數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．
6、3
(2)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點個數(shù)是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
[自主解答] (1)注意到f(－1)f(0)＝(－1)<0，因此函數(shù)f(x)在(－1,0)上必有零點．又f(2)＝f(4)＝0，因此函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是3.
(2)由f(f(x))＋1＝0可得f(f(x))＝－1.
又由f(－2)＝f＝－1，
可得f(x)＝－2或f(x)＝.
若f(x)＝－2，則x＝－3或x＝；
若f(x)＝，則x＝－或x＝，
綜上可得函數(shù)y＝f(f(x))＋1有4個零點．
[答案] (1)D (2)A
【互動
7、探究】
若將本例(1)中的函數(shù)改為“f(x)＝x－x”，該如何選擇？
解析：選B 因為y＝x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增，y＝x在x∈R上單調(diào)遞減，所以f(x)＝x－x在x∈[0，＋∞)上單調(diào)遞增．又f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，所以f(x)＝x－x在定義域內(nèi)有唯一零點，故應(yīng)選B.
【方法規(guī)律】
判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法
(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．
(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多
8、少個零點或零點值所具有的性質(zhì)．
(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題．先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
1．(2013天津高考)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選B 易知函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數(shù)?方程|log0.5x|＝＝x的根的個數(shù)?函數(shù)y1＝|log0.5x|與y2＝x的圖象的交點個數(shù)．作出兩個函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知兩個函數(shù)圖象有兩個交點．
2．已知符號函數(shù)s
9、gn(x)＝則函數(shù)f(x)＝sgn(x－1)－ln x的零點個數(shù)為( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：選C 依題意得，當(dāng)x－1>0，即x>1時，f(x)＝1－ln x，令f(x)＝0得x＝e>1；當(dāng)x－1＝0，即x＝1時，f(x)＝0－ln 1＝0；當(dāng)x－1<0，即x<1時，f(x)＝－1－ln x，令f(x)＝0得x＝<1.因此，函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為3.
高頻考點
考點三 函數(shù)零點的應(yīng)用
1．高考對函數(shù)零點的考查多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，求函數(shù)零點問題，難度較易；利用零點的存在性求相關(guān)參數(shù)的值，難度較大．
10、
2．高考對函數(shù)零點的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)已知函數(shù)的零點或方程的根所在的區(qū)間，求參數(shù)；
(2)已知函數(shù)的零點或方程的根的個數(shù)，求參數(shù)；
(3)利用函數(shù)的零點比較大小．
[例3] (1)(2013天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數(shù)a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則 ( )
A．g(a)<00，且a≠1)．當(dāng)2
11、x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.
(3)(2011北京高考)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有兩個不同的實根，則實數(shù)k的取值范圍是________．
[自主解答] (1)∵f(x)在R上為增函數(shù)，且f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0，
又f(a)＝0，∴00，且g(b)＝0，∴1
12、
當(dāng)x＝2時，f(2)＝loga2＋2－b<0；
當(dāng)x＝3時，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴f(x)的零點x0在區(qū)間(2,3)內(nèi)，∴n＝2.
(3)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)＝及y＝k的圖象，如圖．
可知，當(dāng)0
13、數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)．常利用數(shù)形結(jié)合法．
(3)借助函數(shù)零點比較大小．要比較f(a)與f(b)的大小，通常先比較f(a)、f(b)與0的大?。?
1．函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2)
解析：選C 由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得00，且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(
14、－1，＋∞) D．[－1，＋∞)
解析：選A 令g(x)＝ax(a>0，且a≠1)，h(x)＝x＋a，分01兩種情況，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖，若函數(shù)f(x)＝ax－x－a有兩個不同的零點，則函數(shù)g(x)，h(x)的圖象有兩個不同的交點，根據(jù)畫出的圖象只有當(dāng)a>1時符合題目要求．
————————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
1個口訣——用二分法求函數(shù)零點的方法
用二分法求零點近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復(fù)始怎么辦？
15、精確度上來判斷．
2個防范——函數(shù)零點的兩個易錯點
(1)函數(shù)的零點不是點，是方程f(x)＝0的實根．
(2)函數(shù)零點的存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件．
3種方法——判斷函數(shù)零點個數(shù)的方法
(1)直接求零點；
(2)零點的存在性定理；
(3)利用圖象交點的個數(shù)(內(nèi)容見例2的[方法規(guī)律])．
3個結(jié)論——有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論
(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．
(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．
(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．
【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué)理一輪突破熱點題型：第2章 第8節(jié) 函數(shù)與方程數(shù)學(xué)大師網(wǎng) 為您收集整理
