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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 章末分層突破 [自我校對(duì)] ①分類加法計(jì)數(shù)原理 ②分步乘法計(jì)數(shù)原理 ③排列 ④排列數(shù)公式 ⑤組合數(shù)公式 ⑥組合數(shù) ⑦二項(xiàng)展開式的通項(xiàng) ⑧對(duì)稱性 ⑨增減性 　　 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是本部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，對(duì)應(yīng)用題的考查，經(jīng)常要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類或者分步，進(jìn)而分析求解． (1)“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事情．“分步”表現(xiàn)為必須把各步驟均完成，才能完成所給事情，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于弄清分類加法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，不論哪一類辦法中的哪一種方法都能夠獨(dú)立完成事

2、件． (2)分步乘法計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成事件，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步采取什么方法. 　王華同學(xué)有課外參考書若干本，其中有5本不同的外語(yǔ)書，4本不同的數(shù)學(xué)書，3本不同的物理書，他欲帶參考書到圖書館閱讀． (1)若他從這些參考書中帶一本去圖書館，有多少種不同的帶法？ (2)若帶外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理參考書各一本，有多少種不同的帶法？ (3)若從這些參考書中選2本不同學(xué)科的參考書帶到圖書館，有多少種不同的帶法？ 【精彩點(diǎn)撥】　解決兩個(gè)原理的應(yīng)用問(wèn)題，首先應(yīng)明確所需完成的事情是什么，再分析每一種做法使這件事是否完成，從而區(qū)分加法原

3、理和乘法原理． 【規(guī)范解答】　(1)完成的事情是帶一本書，無(wú)論帶外語(yǔ)書，還是數(shù)學(xué)書、物理書，事情都已完成，從而確定為應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為5＋4＋3＝12(種)． (2)完成的事情是帶3本不同學(xué)科的參考書，只有從外語(yǔ)、數(shù)學(xué)、物理書中各選1本后，才能完成這件事，因此應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為543＝60(種)． (3)選1本外語(yǔ)書和選1本數(shù)學(xué)書應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，有54＝20種選法；同樣，選外語(yǔ)書、物理書各1本，有53＝15種選法；選數(shù)學(xué)書、物理書各1本，有43＝12種選法．即有三類情況，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，結(jié)果為20＋15＋12＝47(種)． 應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)

4、題時(shí)主要考慮三方面的問(wèn)題：(1)要做什么事；(2)如何去做這件事；(3)怎樣才算把這件事完成了.并注意計(jì)數(shù)原則：分類用加法，分步用乘法. [再練一題] 1.如圖11為電路圖，從A到B共有________條不同的線路可通電． 圖11 【解析】　先分三類．第一類，經(jīng)過(guò)支路①有3種方法；第二類，經(jīng)過(guò)支路②有1種方法；第三類，經(jīng)過(guò)支路③有22＝4(種)方法，所以總的線路條數(shù)N＝3＋1＋4＝8. 【答案】　8 排列、組合的應(yīng)用 排列、組合應(yīng)用題是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，常與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合命題，要認(rèn)真審題，明確問(wèn)題本質(zhì)，利用排列、組合的知識(shí)解決． 　(1)某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中

5、選4人分別到西部四城市參加中國(guó)西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？ (2)在高三一班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目． ①當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ②當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？ ③若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)欄目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？ 【精彩點(diǎn)撥】　按照“特殊元素先排法”分步進(jìn)行，先特殊后一般． 【規(guī)范解答】　(1)因?yàn)榧滓矣邢拗茥l件，所以按照是否含有甲乙來(lái)分類，有以下四種情況： ①若甲乙都不參加

6、，則有派遣方案A種； ②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學(xué)生有A種方法，所以共有3A種方法； ③若乙參加而甲不參加同理也有3A種； ④若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余學(xué)生到另兩個(gè)城市有A種，共有7A種方法． 所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A＋3A＋3A＋7A＝4 088種． (2)①第一步，先將4個(gè)舞蹈節(jié)目捆綁起來(lái)，看成1個(gè)節(jié)目，與6個(gè)演唱節(jié)目一起排，有A＝5 040種方法；第二步，再松綁，給4個(gè)節(jié)目排序，有A＝24種方法． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有5 04024＝120 960種． ②第一步，將6個(gè)演唱節(jié)目排成一列(如下圖中的“□”)

7、，一共有A＝720種方法． □□□□□□ 第二步，再將4個(gè)舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個(gè)節(jié)目中間(即圖中“”的位置)，這樣相當(dāng)于7個(gè)“”選4個(gè)來(lái)排，一共有A＝7654＝840種． 根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，一共有720840＝604 800種． ③若所有節(jié)目沒有順序要求，全部排列，則有A種排法，但原來(lái)的節(jié)目已定好順序，需要消除，所以節(jié)目演出的方式有＝A＝132種排法． 解排列、組合應(yīng)用題的解題策略 1．特殊元素優(yōu)先安排的策略． 2．合理分類和準(zhǔn)確分步的策略． 3．排列、組合混合問(wèn)題先選后排的策略． 4．正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略． 5．相鄰問(wèn)題捆綁處理的策略． 6．不相鄰問(wèn)

8、題插空處理的策略． 7．定序問(wèn)題除序處理的策略． 8．分排問(wèn)題直排處理的策略． 9．“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先整體后局部的策略． 10．構(gòu)造模型的策略． 簡(jiǎn)單記成： 合理分類，準(zhǔn)確分步； 特殊優(yōu)先，一般在后； 先取后排，間接排除； 集團(tuán)捆綁，間隔插空； 抽象問(wèn)題，構(gòu)造模型； 均分除序，定序除序． [再練一題] 2．(1)一次考試中，要求考生從試卷上的9個(gè)題目中選6個(gè)進(jìn)行答題，要求至少包含前5個(gè)題目中的3個(gè)，則考生答題的不同選法的種數(shù)是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 (2)(2016山西質(zhì)檢)A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會(huì)，A

9、是會(huì)議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有(　　) A．60種 B．48種 C．30種 D．24種 【解析】　(1)分三類： 第一類，前5個(gè)題目的3個(gè)，后4個(gè)題目的3個(gè)； 第二類，前5個(gè)題目的4個(gè)，后4個(gè)題目的2個(gè)； 第三類，前5個(gè)題目的5個(gè)，后4個(gè)題目的1個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理得CC＋CC＋CC＝74. (2)由題意知，不同的座次有AA＝48種，故選B. 【答案】　(1)B　(2)B 二項(xiàng)式定理問(wèn)題的處理方法和技巧 對(duì)于二項(xiàng)式定理的考查常出現(xiàn)兩類問(wèn)題，一類是直接運(yùn)用通項(xiàng)公式來(lái)求特定項(xiàng)．另一類，需要運(yùn)

10、用轉(zhuǎn)化思想化歸為二項(xiàng)式定理來(lái)處理問(wèn)題． 　(1)(2014湖北高考)若二項(xiàng)式7的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．2 B. C．1 D. (2)(2016沈陽(yáng)高二檢測(cè))已知(1＋x＋x2)n(n∈N＋)的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，且2≤n≤8，則n＝________. (3)設(shè)(3x－1)6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a6＋a4＋a2＋a0的值為________． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)、(2)利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)求待定項(xiàng)； (3)通過(guò)賦值法求系數(shù)和． 【規(guī)范解答】　(1)二項(xiàng)式7的展開式的通項(xiàng)公式為Tr＋1＝C(2x)7－r

11、r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開式中的系數(shù)是C22a5＝84，解得a＝1. (2)n展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n， 由于(1＋x＋x2)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝ Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常數(shù)，則n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因?yàn)?≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5. (3)令x＝1， 得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64. 令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(

12、－4)6＝4 096. 兩式相加，得2(a6＋a4＋a2＋a0)＝4 160， 所以a6＋a4＋a2＋a0＝2 080. 【答案】　(1)C　(2)5　(3)2 080 1．解決與二項(xiàng)展開式的項(xiàng)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，通常利用通項(xiàng)公式． 2．解決二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)(或和)問(wèn)題常用賦值法． [再練一題] 3．(1)(2014浙江高考)在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項(xiàng)的系數(shù)為f(m，n)，則f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 (2)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 016＋a能被13

13、整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　(1)因?yàn)閒(m，n)＝CC， 所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. (2)512 016＋a＝(134－1)2 016＋a，被13整除余1＋a，結(jié)合選項(xiàng)可得a＝12時(shí)，512 016＋a能被13整除． 【答案】　(1)C　(2)D 排列、組合中的分組與分配問(wèn)題 n個(gè)不同元素按照條件分配給k個(gè)不同的對(duì)象稱為分配問(wèn)題，分定向分配與不定向分配兩種問(wèn)題；將n個(gè)不同元素按照某種條件分成k組，稱為分組問(wèn)題，分組問(wèn)題有不平均分組、平均分組、部分平均分組三種情況

14、．分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的，而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因所屬對(duì)象不同，仍然是可區(qū)分的．對(duì)于后者必須先分組再排列． 　按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？ (1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本； (4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本． 【精彩點(diǎn)撥】　這是一個(gè)分配問(wèn)題，

15、解題的關(guān)鍵是搞清事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問(wèn)題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏． 【規(guī)范解答】　(1)無(wú)序不均勻分組問(wèn)題．先選1本有C種選法，再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C種選法，最后余下3本全選有C種選法．故共有CCC＝60(種)． (2)有序不均勻分組問(wèn)題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)問(wèn)基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有CCCA＝360(種)． (3)無(wú)序均勻分組問(wèn)題．先分三步，則應(yīng)是CCC種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為(AB，CD，EF)，則CCC種分法中還有(AB，EF，CD

16、)，(AB，CD，EF)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況僅是AB，CD，EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)有序均勻分組問(wèn)題．在第(3)問(wèn)基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式A＝CCC＝90(種)． (5)無(wú)序部分均勻分組問(wèn)題．共有＝15(種)． (6)有序部分均勻分組問(wèn)題．在第(5)問(wèn)基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，共有分配方式A＝90(種)． (7)直接分配問(wèn)題．甲選1本有C種方法，乙從余下5本中選1本有C種方法，余下4本留給丙有C種方法．共有CCC＝30(種)． 均

17、勻分組與不均勻分組、無(wú)序分組與有序分組是組合問(wèn)題的常見題型.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是正確判斷分組是均勻分組還是不均勻分組，無(wú)序均勻分組要除以均勻組數(shù)的階乘數(shù)，還要充分考慮到是否與順序有關(guān)，有序分組要在無(wú)序分組的基礎(chǔ)上乘以分組數(shù)的階乘數(shù). [再練一題] 4．將6本不同的書，分配給甲、乙、丙三人，問(wèn)如下分配的分配方法各有多少種？ (1)甲一本，乙兩本，丙三本？ (2)其中有一人一本，有一人兩本，有一人三本？ (3)甲、乙、丙每人兩本？ (4)分成三堆，每堆兩本？ 【解】　(1)甲一本，有C種取法；乙從剩余的5本中任取2本，有C種取法；丙有C種取法，故有CCC＝60種取法． (2)有

18、一人一本，有一人兩本，有一人三本，沒指定哪個(gè)人幾本，故在(1)的情況下，甲、乙、丙手中的書可以任意交換，故有CCCA＝360種分配法． (3)同(1)一樣，甲、乙、丙依次去取書，共有CCC＝90種分配方法． (4)分成三堆，每堆兩本，注意與(3)中的情況不同，假如在(3)中甲選AB，乙選CD，丙選EF，這是一種分法，將AB，CD，EF任意交換得到甲、乙、丙不同的分法．如甲CD，乙AB，丙EF或甲EF，乙AB，丙CD，…，而分成三堆都屬于同一種分法．故應(yīng)有＝15種分配方法． 1．(2015湖北高考)已知(1＋x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(　　

19、) A．29　　　 B．210　　　 C．211　　　 D．212 【解析】　由C＝C，得n＝10，故奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為29. 【答案】　A 2．(2016全國(guó)卷Ⅱ)如圖12，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為(　　) 圖12 A．24 B．18 C．12 D．9 【解析】　從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再?gòu)腇到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條．如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再?gòu)?/p>

20、A到F，或先從E到B，再?gòu)腂到F.因?yàn)閺腁到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條)．所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為63＝18. 【答案】　B 3．(2016全國(guó)卷Ⅲ)定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有(　　) A．18個(gè) B．16個(gè) C．14個(gè) D．12個(gè) 【解析】　由題意知：當(dāng)m＝4時(shí)，“規(guī)范01數(shù)列”共含有8項(xiàng)，其中4項(xiàng)為0,4項(xiàng)為1，且必有a

21、1＝0，a8＝1.不考慮限制條件“對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)”，則中間6個(gè)數(shù)的情況共有C＝20(種)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個(gè)數(shù)少于1的個(gè)數(shù)的情況有：①若a2＝a3＝1，則有C＝4(種)；②若a2＝1，a3＝0，則a4＝1，a5＝1，只有1種；③若a2＝0，則a3＝a4＝a5＝1，只有1種．綜上，不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有20－6＝14(種)． 故共有14個(gè)．故選C. 【答案】　C 4．(2016四川高考)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．60 D．72 【解析】　第一步，先排個(gè)位，有C種選擇； 第二步，排前4位，有A種選擇． 由分步乘法計(jì)數(shù)原理，知有CA＝72(個(gè))． 【答案】　D 5．(2016全國(guó)卷Ⅰ)(2x＋)5的展開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案) 【解析】　(2x＋)5展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－rC. 令5－＝3，得r＝4. 故x3的系數(shù)為25－4C＝2C＝10. 【答案】　10