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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 章末分層突破章末分層突破 自我校對(duì) 單調(diào)性與極值 單調(diào)性 極值 導(dǎo)數(shù) 最大值、最小值問(wèn)題 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的主要應(yīng)用之一，其步驟為： (1)求函數(shù)的定義域，并求導(dǎo)； (2)研究導(dǎo)函數(shù) f(x)的符號(hào)，解不等式 f(x)0 或 f(x)0，得 0 x1， 令 f(x)1. f(x)的增區(qū)間為(0，1)，減區(qū)間為(1，). 再練一題 1.已知函數(shù) f(x)x3ax1，討論 f(x)的單調(diào)區(qū)間. 【解】 f(x)3x2a. (1)當(dāng) a0 時(shí)，f(x)0，所以 f(x)在(，)上為增函數(shù). (2)當(dāng) a0 時(shí)，令 3x2a0，得 x3a3

2、， 當(dāng) x3a3或 x0； 當(dāng)3a3x3a3時(shí)，f(x)0 時(shí)， f(x)在，3a3，3a3， 上為增函數(shù)，在3a3，3a3上為減函數(shù). 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)極值與最值的最有力工具，求函數(shù)極值的一般步驟為： (1)確定函數(shù) f(x)的定義域； (2)解方程 f(x)0 的根； (3)檢驗(yàn) f(x)0 的根的兩側(cè) f(x)的符號(hào). 若左正右負(fù)，則 f(x)在此根處取得極大值； 若左負(fù)右正，則 f(x)在此根處取得極小值； 否則，此根不是 f(x)的極值點(diǎn). 對(duì)于求函數(shù)的最值問(wèn)題，只需直接將極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值比較即可. 已知函數(shù) f(x)x3ax2b 的圖像上一點(diǎn) P(1，

3、0)，且在點(diǎn) P 處的切線與直線 3xy0 平行. (1)求函數(shù) f(x)的解析式； (2)求函數(shù) f(x)在區(qū)間0，t(0t3)上的最大值和最小值； (3)在(1)的結(jié)論下，關(guān)于 x 的方程 f(x)c 在區(qū)間1，3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù) c 的取值范圍. 【精彩點(diǎn)撥】 (1)由f（1）0，f（1）3，求出 a，b 即可. (2)對(duì) t 分 0t2 與 2t3 兩種情況求最值. (3)構(gòu)造函數(shù) g(x)f(x)c 轉(zhuǎn)化為 g(x)在1，3上有實(shí)根求解. 【規(guī)范解答】 (1)因?yàn)?f(x)3x22ax，曲線在 P(1，0)處的切線斜率為 f(1)32a，即 32a3，a3. 又函數(shù)過(guò)(1

4、，0)點(diǎn)，即2b0，b2. 所以 a3，b2，f(x)x33x22. (2)由 f(x)x33x22，得 f(x)3x26x. 由 f(x)0，得 x0 或 x2. 當(dāng) 0t2 時(shí)，在區(qū)間(0，t)上 f(x)0，f(x)在0，t上是減函數(shù)，所以 f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22. 當(dāng) 2t3 時(shí)，當(dāng) x 變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x 0 (0，2) 2 (2，t) t f(x) 0 0 f(x) 2 單調(diào)遞減 極小值2 單調(diào)遞增 t33t22 f(x)minf(2)2，f(x)max為 f(0)與 f(t)中較大的一個(gè). f(t)f(0)t33

5、t2t2(t3)0. 所以 f(x)maxf(0)2. (3)令 g(x)f(x)cx33x22c， g(x)3x26x3x(x2). 在 x1，2)上，g(x)0.要使 g(x)0 在1，3上恰有兩個(gè)相異的實(shí)根，則g（1）0，g（2）0，g（3）0，解得2c0. 再練一題 2.已知函數(shù) f(x)x312xm. (1)若 xR，求函數(shù) f(x)的極大值與極小值之差； (2)若函數(shù) yf(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求 m 的取值范圍； (3)當(dāng) x1，3時(shí)，f(x)的最小值為2，求 f(x)的最大值. 【解】 (1)f(x)3x212. 當(dāng) f(x)0 時(shí)，x2 或 x2. 當(dāng) f(x)0 時(shí)，2x2.

6、當(dāng) f(x)0 時(shí)，x2 或 x2. f(x)在(，2)，(2，)上單調(diào)遞減，在(2，2)上單調(diào)遞增. f(x)極小值f(2)16m. f(x)極大值f(2)16m. f(x)極大值f(x)極小值32. (2) 由 (1) 知 要 使 函 數(shù) y f(x) 有 三 個(gè) 零 點(diǎn) ， 必 須f（x）極小值0，f（x）極大值0，即16m0，16m0， 16m16. m 的取值范圍為(16，16). (3)當(dāng) x1，3時(shí)，由(1)知 f(x)在1，2)上單調(diào)遞增，f(x)在2，3上單調(diào)遞減，f(x)的最大值為 f(2). 又 f(1)11m，f(3)m9， f(1)f(3)， 在1，3上 f(x)的最

7、小值為 f(1)11m， 11m2，m9. 當(dāng) x1，3時(shí)，f(x)的最大值為 f(2)(2)3122925. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意的問(wèn)題： (1)求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，一定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考查，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去. (2)在實(shí)際問(wèn)題中，由 f(x)0 常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大(小)值在 x 的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值. 請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒， 如圖 3- 1 所示， ABCD 是邊長(zhǎng)為 60 cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得 A，B，C，D 四

8、個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn) P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀包裝盒，E，F(xiàn) 在 AB 上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè) AEFBx(cm). 圖 3- 1 (1)某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積 S(cm2)最大，試問(wèn) x 應(yīng)取何值？ (2)某廠商要求包裝盒的容積 V(cm3)最大，試問(wèn) x 應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值. 【精彩點(diǎn)撥】 根據(jù)側(cè)面積和體積公式建立側(cè)面積和體積關(guān)于 x 的函數(shù)，利用配方法或?qū)?shù)法求出最值. 【規(guī)范解答】 設(shè)包裝盒的高為 h cm，底面邊長(zhǎng)為 a cm. 由已知得 a 2x，h602x2 2(30 x)，0 x0；當(dāng) x(20，30)時(shí)，V0. 所

9、以當(dāng) x20 時(shí)，V 取得極大值，也是最大值. 此時(shí)ha12，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為12. 再練一題 3.統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量 y(升)關(guān)于行駛速度 x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為 y1128 000 x3380 x8(0 x120).已知甲、乙兩地相距 100 千米，當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？ 【解】 當(dāng)速度為 x 千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了100 x小時(shí)，設(shè)耗油量為 h(x)升，依題意得 h(x)1128 000 x3380 x8 100 x11 280 x2800 x154(0 x120). h(

10、x)x640800 x2x3803640 x2(0 x120)， 令 h(x)0，得 x80. 因?yàn)?x(0，80)時(shí)，h(x)0，h(x)是增函數(shù)， 所以當(dāng) x80 時(shí)，h(x)取得極小值 h(80)11.25(升). 因?yàn)?h(x)在(0，120上只有一個(gè)極小值，所以它是最小值. 答：汽車以 80 千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25 升. 函數(shù)與方程的思想 函數(shù)的單調(diào)性是證明不等式的一種常用方法，證明時(shí)靈活構(gòu)造函數(shù)關(guān)系， 盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)都比較容易的函數(shù)，如果證明 f(x)g(x)，x(a，b)，可轉(zhuǎn)化為證明 F(x)f(x)g(x)與 0 的關(guān)系

11、，若 F(x)0，則函數(shù) F(x)在(a，b)上是增函數(shù).若 F(a)0， 則由增函數(shù)的定義， 知當(dāng) x(a， b)時(shí)， 有 F(x)F(a)0，即 f(x)g(x)成立，同理可證明 f(x)g(x)，x(a，b). 設(shè)函數(shù) f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 時(shí)取得極值. (1)求 a，b 的值； (2)若對(duì)任意的 x0，3，都有 f(x)0； 當(dāng) x1，2時(shí)，f(x)0. 所以當(dāng) x1 時(shí)， f(x)取得極大值 f(1)58c， 當(dāng) x2 時(shí)， f(x)取得極小值 f(2)48c，又 f(0)8c，f(3)98c. 所以當(dāng) x0，3時(shí)，f(x)的最大值為 f(3)98c.

12、 因?yàn)閷?duì)于任意的 x0，3，有 f(x)c2恒成立， 所以 98cc2，解得 c9. 故 c 的取值范圍為 c9. 再練一題 4.(2016 山東威海一模)已知函數(shù) f(x)ln xaxbx，對(duì)任意的 x(0，)，滿足 f(x)f1x0，其中 a，b 為常數(shù). (1)若 f(x)的圖象在 x1 處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，5)，求 a 的值； (2)已知 0a0. 【解】 (1)在 f(x)f1x0 中，取 x1， 得 f(1)0， 又 f(1)ln 1abab，所以 ba. 從而 f(x)ln xaxax， f(x)1xa11x2，f(1)12a. 又 f(1)5f（1）015， 所以 12a5，a

13、2. (2)證明：fa22ln a22a322a 2ln a2aa32ln 2. 令 g(x)2ln x2xx32ln 2， 則 g(x)2x2x23x223x44（x1）2x2. 所以，x(0，1)時(shí)， g(x)g(1)212ln 21ln e0. 所以 0a0. 1.(2015 全國(guó)卷)設(shè)函數(shù) f(x)是奇函數(shù) f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x0 時(shí)，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范圍是( ) A.(，1)(0，1) B.(1，0)(1，) C.(，1)(1，0) D.(0，1)(1，) 【解析】 設(shè) yg(x)f（x）x(x0)， 則 g(x)xf（x）f（x）x2，

14、 當(dāng) x0 時(shí)，xf(x)f(x)0， g(x)0，g(x)0 時(shí)，f(x)0，0 x1， 當(dāng) x0，g(x)0，x0 成立的 x 的取值范圍是(， 1)(0，1)，故選 A. 【答案】 A 2.(2015 福建高考)若定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(0)1，其導(dǎo)函數(shù) f(x)滿足 f(x)k1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是( ) A.f1k1k1 C.f1k1kk1 【解析】 令 g(x)f(x)kx1，則 g(0)f(0)10， g1k1f1k1k1k11f1k11k1. g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上為增函數(shù). 又k1，1k10，g1k1g(0)0， f1k11k10，即

15、f1k11k1. 【答案】 C 3.(2015 全國(guó)卷)設(shè)函數(shù) f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整數(shù) x0使得 f(x0)0，則 a 的取值范圍是( ) A.32e，1 B.32e，34 C.32e，34 D.32e，1 【解析】 f(0)1a0，x00. 又x00 是唯一的使 f(x)0 的整數(shù)， f（1）0，f（1）0， 即e12（1）1aa0，e（211）aa0，解得 a32e. 又a1，32ea1，經(jīng)檢驗(yàn) a34，符合題意.故選 D. 【答案】 D 4.(2016 北京高考)設(shè)函數(shù) f(x)x33x，xa，2x，xa. (1)若 a0，則 f(x)的最大值為_(kāi)；

16、(2)若 f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_. 【解析】 由當(dāng) xa 時(shí)，f(x)3x230，得 x 1. 如圖是函數(shù) yx33x 與 y2x 在沒(méi)有限制條件時(shí)的圖象. (1)若 a0，則 f(x)maxf(1)2. (2)當(dāng) a1 時(shí)，f(x)有最大值； 當(dāng) aa 時(shí)無(wú)最大值， 且2a(x33x)max，所以 a1. 【答案】 2 af(0)1. 所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20. (2)g(x)（x2）exa（x2）x3x2x3(f(x)a). 由(1)知，f(x)a 單調(diào)遞增. 對(duì)任意 a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0. 因此，存在唯一 xa(0，2，

17、使得 f(xa)a0， 即 g(xa)0. 當(dāng) 0 xxa時(shí)，f(x)a0，g(x)xa時(shí)，f(x)a0，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增. 因此 g(x)在 xxa處取得最小值，最小值為 g(xa)exaa（xa1）x2aexaf（xa）（xa1）x2aexaxa2. 于是 h(a)exaxa2. 由exx2（x1）ex（x2）20，得 yexx2單調(diào)遞增， 所以，由 xa(0，2，得 12e002h(a)exaxa2e222e24. 因?yàn)?yexx2單調(diào)遞增，對(duì)任意 12，e24，存在唯一的 xa(0，2，af(xa)0，1)，使得 h(a). 所以 h(a)的值域是12，e24. 綜上，當(dāng)

18、a0，1)時(shí)，g(x)有最小值 h(a)，h(a)的值域是12，e24. 章末綜合測(cè)評(píng)章末綜合測(cè)評(píng)(三三) 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 (時(shí)間 120 分鐘，滿分 150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.物體運(yùn)動(dòng)的方程為 s14t43，則 t5 時(shí)的瞬時(shí)速度為( ) A.5 B.25 C.125 D.625 【解析】 vst3，t5 時(shí)的瞬時(shí)速度為 53125. 【答案】 C 2.函數(shù) f(x)(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( ) A.(，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，) 【解析】 f(x)(

19、x2)ex，由 f(x)0，得 x2，所以函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2，). 【答案】 D 3.函數(shù) f(x)ax3x1 有極值的充要條件是( ) A.a0 B.a0 C.a0 D.a0，f(x)單調(diào)增加，無(wú)極值； 當(dāng) a0 時(shí)，只需 12a0，即 a0 即可. 【答案】 D 4.(2016 西安高二檢測(cè))函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x)的圖像如圖 1 所示，那么 f(x)的圖像最有可能的是( ) 圖 1 A B C D 【解析】 數(shù)形結(jié)合可得在(，2)，(1，)上，f(x)0，f(x)是增函數(shù)，從而得出結(jié)論. 【答案】 B 5.若函數(shù) ya(x3x)的遞增區(qū)間是，33，33， ，則 a

20、 的取值范圍是( ) A.a0 B.1a1 D.0a0 的解集為，33，33， ，a0. 【答案】 A 6.若函數(shù) f(x)在 R 上可導(dǎo)，且滿足 f(x)xf(x)0，則( ) A.3f(1)f(3) C.3f(1)f(3) D.f(1)f(3) 【解析】 由于 f(x)xf(x)，f（x）xf（x）xf（x）x20 恒成立， 因此f（x）x 在 R 上是單調(diào)遞減函數(shù)，f（3）3f(3)，故選 B. 【答案】 B 7.若函數(shù) f(x)x33x29xa 在區(qū)間2，1上的最大值為 2，則它在該區(qū)間上的最小值為( ) A.5 B.7 C.10 D.19 【解析】 f(x)3x26x93(x1)(x

21、3)， 所以函數(shù)在2，1內(nèi)單調(diào)遞減， 所以最大值為 f(2)2a2， a0，最小值為 f(1)a55. 【答案】 A 8.函數(shù) y12x2sin x 的圖像大致是( ) 【解析】 因?yàn)?y122cos x， 所以令 y122cos x0， 得 cos x14，此時(shí)原函數(shù)是增函數(shù)； 令 y122cos x14，此時(shí)原函數(shù)是減函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)圖像，可得選項(xiàng) C 正確. 【答案】 C 9.若 f(x)12x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則 b 的取值范圍是( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210067】 A.1，) B.(1，) C.(，1 D.(，1) 【解析】 f(x)xbx2，由題意知 f(x)

22、0 在(1，)上恒成立，即bx22x 在(1，)上恒成立，即 b(x1)21，則 b1，故選 C. 【答案】 C 10.已知 yf(x)是定義在 R 上的函數(shù)，且 f(1)1，f(x)1，則 f(x)x 的解集是( ) A.(0，1) B.(1，0)(0，1) C.(1，) D.(，1)(1，) 【解析】 不等式 f(x)x 可化為 f(x)x0， 設(shè) g(x)f(x)x，則 g(x)f(x)1， 由題意 g(x)f(x)10， 函數(shù) g(x)在 R 上單調(diào)遞增，又 g(1)f(1)10， 原不等式g(x)0g(x)g(1)， x1，故選 C. 【答案】 C 11.當(dāng) x2，1時(shí)，不等式 ax

23、3x24x30 恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) A.5，3 B.6，98 C.6，2 D.4，3 【解析】 當(dāng) x0 時(shí)，ax3x24x30 變?yōu)?30 恒成立，即 aR. 當(dāng) x(0，1時(shí)，ax3x24x3，ax24x3x3， ax24x3x3max. 設(shè) (x)x24x3x3， (x)（2x4）x3（x24x3）3x2x6 x28x9x4（x9）（x1）x40， (x)在(0，1上遞增，(x)max(1)6. a6. 當(dāng) x2，0)時(shí)，ax24x3x3， ax24x3x3min. 仍設(shè) (x)x24x3x3，(x)（x9）（x1）x4. 當(dāng) x2，1)時(shí)，(x)0. 當(dāng) x(1，0

24、)時(shí)，(x)0. 當(dāng) x1 時(shí)，(x)有極小值，即為最小值. 而 (x)min(1)14312，a2. 綜上知6a2. 【答案】 C 12.已知函數(shù) f(x)x22xaln x，若函數(shù) f(x)在(0，1)上單調(diào)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是( ) A.a0 B.a0 或 a4 【解析】 f(x)2x2ax，x(0，1)， f(x)在(0，1)上單調(diào)， f(x)0 或 f(x)0 在(0，1)上恒成立， 2x2ax0 或 2x2ax0 在(0，1)上恒成立， 即 a2x22x 或 a2x22x 在(0，1)上恒成立. 設(shè) g(x)2x22x2x12212，則 g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減， g(

25、x)maxg(0)0，g(x)ming(1)4. ag(x)max0 或 ag(x)min4. 【答案】 C 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.將答案填在題中的橫線上) 13.(2016 天津高考)已知函數(shù) f(x)(2x1)ex，f(x)為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則 f(0)的值為_(kāi). 【解析】 因?yàn)?f(x)(2x1)ex， 所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以 f(0)3e03. 【答案】 3 14.函數(shù) f(x)12ex(sin xcos x)在區(qū)間0，2上的值域?yàn)開(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：94210068】 【解析】 x0，2， f(x)excos

26、x0， f(0)f(x)f2， 即12f(x)12e2. 【答案】 12，12e2 15.(2016 洛陽(yáng)高二檢測(cè))已知函數(shù) f(x)x3ax2bxa2，在 x1 時(shí)有極值10，則 ab_. 【解析】 f(x)3x22axb，f(1)2ab30，f(1)a2ab110，2ab3，a2ab9，解得a3，b3或a4，b11，當(dāng) a3 時(shí)， x1 不是極值點(diǎn)，a，b 的值分別為 4，11，ab7. 【答案】 7 16.周長(zhǎng)為 20 cm 的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為_(kāi)cm3. 【解析】 設(shè)矩形的長(zhǎng)為 x，則寬為 10 x(0 x0， 當(dāng) x203，10 時(shí)，V(x)0，解得

27、a2 或 a0，解得 x3； 又令 f(x)0，解得1x0)有極大值52，求 m 的值. 【解】 f(x)3x2mx2m2 (xm)(3x2m)， 令 f(x)0，則 xm 或 x23m. 當(dāng) x 變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表： x (，m) m m，23m 23m 23m， f(x) 0 0 f(x) 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 f(x)極大值f(m)m312m32m3452， m1. 20.(本小題滿分 12 分)證明：當(dāng) x0 時(shí)，ln(x1)x12x2. 【證明】 設(shè) f(x)ln(x1)x12x2ln(x1)x12x2，函數(shù)的定義域是(1，)， 則 f

28、(x)1x11xx2x1. 當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0， f(x)在(1，)上是增函數(shù). 當(dāng) x0 時(shí)，f(x)f(0)0， 即當(dāng) x0 時(shí)，ln(x1)x12x2. 21.(本小題滿分 12 分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為 r 米，高為 h 米，體積為 V 立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)， 側(cè)面的建造成本為 100 元/平方米， 底面的建造成本為 160 元/平方米，該蓄水池的總建造成本為 12 000 元( 為圓周率). (1)將 V 表示成 r 的函數(shù) V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù) V(r)的單調(diào)性，并確定 r 和 h

29、為何值時(shí)該蓄水池的體積最大. 【解】 (1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為 100 2rh200rh(元)， 底面的總成本為 160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元. 又根據(jù)題意 200rh160r212 000， 所以 h15r(3004r2)，從而 V(r)r2h5(300r4r3). 因?yàn)?r0，又由 h0 可得 0r5 3， 故函數(shù) V(r)的定義域?yàn)?0，5 3). (2)因?yàn)?V(r)5(300r4r3)(0r0，故 V(r)在(0，5)上為增函數(shù)； 當(dāng) r(5，5 3)時(shí)，V(r)0，故 V(r)在(5，5 3)上為減函數(shù). 由此可知，V(r)在 r5 處取得最大

30、值，此時(shí) h8. 即當(dāng) r5，h8 時(shí)，該蓄水池的體積最大. 22.(本小題滿分12分)(2016 全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn). (1)求 a 的取值范圍； (2)設(shè) x1，x2是 f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x22. 【解】 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a). 設(shè) a0，則 f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn). 設(shè) a0，則當(dāng) x(，1)時(shí)，f(x)0； 當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0， 所以 f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增. 又 f(1)e，f(2)a，取 b 滿足 b0 且 bln a2， 則 f(b)

31、a2(b2)a(b1)2ab232b 0， 故 f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn). 設(shè) a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a). 若 ae2，則 ln(2a)1，故當(dāng) x(1，)時(shí)，f(x)0，因此 f(x)在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增. 又當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0，所以 f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn). 若 ae2，則 ln(2a)1， 故當(dāng) x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0； 當(dāng) x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)0. 因此 f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減， 在(ln(2a)，)內(nèi)單調(diào)遞增. 又當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0，所以 f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn). 綜上，a 的取值范圍為(0，). (2)證明：不妨設(shè) x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，2x2(，1)，f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減， 所以 x1x22 等價(jià)于 f(x1)f(2x2)，即 f(2x2)0. 由于 f(2x2)x2e2x2a(x21)2， 而 f(x2)(x22)ex2a(x21)20， 所以 f(2x2)x2e2x2(x22)ex2. 設(shè) g(x)xe2x(x2)ex， 則 g(x)(x1)(e2xex). 所以當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0，而 g(1)0， 故當(dāng) x1 時(shí)，g(x)0. 從而 g(x2)f(2x2)0， 故 x1x22.