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1、 （新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第2章 5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課時(shí)作業(yè) 北師大版選修2-2 一、選擇題 1．函數(shù)y＝xln(2x＋5)的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋ C．2xln(2x＋5) D． [答案]　B [解析]　y′x＝[xln(2x＋5)]′＝x′ln(2x＋5)＋x[ln(2x＋5)]′＝ln(2x＋5)＋x··(2x＋5)′＝ln(2x＋5)＋. 2．已知f(x)＝sin2x＋sinx，那么f′(x)(　　) A．是僅有最小值的奇函數(shù) B．是既有最大值又有最小值的偶函數(shù)

2、 C．是僅有最大值的偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù) [答案]　B [解析]　f′(x)＝(sin2x＋sinx)′＝(sin2x)′＋(sinx)′＝cos2x·(2x)′＋cosx＝cos2x＋cosx. 因?yàn)閒′(x)＝cos2x＋cosx＝2cos2x＋cosx－1＝2(cosx＋)2－，又－1≤cosx≤1，所以函數(shù)f′(x)既有最大值又有最小值． 因?yàn)閒′(－x)＝cos(－2x)＋cos(－x)＝cos2x＋cosx＝f(x)，所以f′(x)是偶函數(shù)．故選B. 3．(2014·全國大綱理，7)曲線y＝xex－1在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率等于(

3、　　) A．2e B．e C．2 D．1 [答案]　C [解析]　本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和直線方程．點(diǎn)(1,1)在曲線上，對(duì)y求導(dǎo)得y＝ex－1＋xex－1，所以在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為k＝2.曲線上某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值，就是過該點(diǎn)的切線的斜率． 4．若函數(shù)f(x)＝3cos(2x＋)，則f′()等于(　　) A．－3 B．3 C．－6 D．6 [答案]　B [解析]　f′(x)＝－6sin(2x＋)， ∴f′()＝－6sin(π＋)＝6sin＝3. 5．函數(shù)y＝cos2x＋sin的導(dǎo)數(shù)為(　　) A．－2sin2x＋ B．2sin2x＋ C．－2sin2x

4、＋ D．2sin2x－ [答案]　A [解析]　y′x＝(cos2x＋sin)′＝(cos2x)′＋(sin)′＝－sin2x·(2x)′＋cos·()′＝－2sin2x＋. 二、填空題 6.(2014·三亞市一中月考)曲線y＝在點(diǎn)(1,1)處的切線為l，則l上的點(diǎn)到圓x2＋y2＋4x＋3＝0上的點(diǎn)的最近距離是________． [答案]　2－1 [解析]　y′|x＝1＝－|x＝1＝－1，∴切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圓心(－2,0)到直線的距離d＝2，圓的半徑r＝1， ∴所求最近距離為2－1. 7．曲線y＝sin3x在點(diǎn)P

5、(，0)處的切線方程為____． [答案]　3x＋y＝π [解析]　y′x＝cos3x·(3x)′＝cos3x·3＝3cos3x.∴曲線y＝sin3x在點(diǎn)P(，0)處的切線斜率為3cos(3×)＝－3，∴切線方程為y＝－3·(x－)，即3x＋y＝π. 8．(2014·西安模擬)曲線y＝e2x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為________． [答案]　2x－y＋1＝0 [解析]　y′＝(e2x)′＝2e2x，k＝y(tǒng)′|x＝0＝2·e2×0＝2，∴切線方程為y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0. 三、解答題 9．

6、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝e3x；(2)y＝cos42x－sin42x. [解析]　(1)引入中間變量u＝φ(x)＝3x，則函數(shù)y＝e3x是由函數(shù)f(u)＝eu與u＝φ(x)＝3x復(fù)合而成的． 查導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(u)＝eu，φ′(x)＝3. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 (e3x)′＝f′(u)φ′(x)＝eu·3＝3e3x. (2)y＝cos42x－sin42x＝(cos22x＋sin22x)(cos22x－sin22x)＝cos4x. 引入中間變量u＝φ(x)＝4x，則函數(shù)y＝cos4x是由函數(shù)f(u)＝cosu與u＝φ(x)＝4x復(fù)合而成的． 查導(dǎo)數(shù)公式表可

7、得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝4. 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 (cos42x－sin42x)′＝(cos4x)′＝f′(u)φ′(x)＝－sinu·4＝－4sin4x. 10．求y＝ln(2x＋3)的導(dǎo)數(shù)，并求在點(diǎn)(－，ln2)處切線的傾斜角． [分析]　函數(shù)y＝ln(2x＋3)可以看作函數(shù)y＝lnu和u＝2x＋3的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則來求． [解析]　令y＝lnu，u＝2x＋3， 則y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝·2＝. 當(dāng)x＝－時(shí)，y′＝＝1，即在點(diǎn)(－，ln2)處切線的傾斜角的正切值為1，所以傾斜角為. 一、選

8、擇題 1．y＝log3cos2x的導(dǎo)數(shù)是(　　) A．－2log3e·tanx B．2log3e·cotx C．－2log3cosx D． [答案]　A [解析]　y′＝log3e·(cos2x)′ ＝log3e·2cosx·(cosx)′ ＝log3e·2cosx(－sinx)＝－2log3e·tanx. 2．已知f(x)＝x2＋2f′·x，則f′＝(　　) A． B．－ C．0 D．無法確定 [答案]　A [解析]　∵f(x)＝x2＋2f′·x， ∴f′(x)＝2x＋

9、2f′， ∴f′＝2×＋2f′， ∴f′＝－2×＝，即f′＝. 3．函數(shù)f(x)＝cos x(x∈R)的圖象按向量(m,0)平移后，得到函數(shù)y＝－f′(x)的圖象，則m的值可以為(　　) A． B．π C．－π D．－ [答案]　A [解析]　考查三角函數(shù)的圖象按向量平移常見三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，f(x)＝cos x的圖象按向量(m,0)平移后得到cos(x－m)＝－f′(x)＝sin x的圖象，故選A． 二、填空題 4．f(x)＝，且f′(1)＝1，則a的值為________． [答案]　2 [解析]　∵f′(x)＝·(ax－1)′＝， ∴

10、f′(1)＝＝1. 解得a＝2 5．(2014·江蘇，11)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若曲線y＝ax2＋(a，b為常數(shù))過點(diǎn)P(2，－5)，且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x＋2y＋3＝0平行，則a＋b的值是________． [答案]?。? [解析]　曲線y＝ax2＋過點(diǎn)P(2，－5)，則4a＋＝－5① 又y′＝2ax－，所以4a－＝－② 由①②解得所以a＋b＝－3. 函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為經(jīng)過該點(diǎn)的切線的斜率． 三、解答題 6．求f(x)＝x2·e2x的導(dǎo)數(shù)． [分析]　先用兩個(gè)函數(shù)相乘的求導(dǎo)法則，再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求解． [解析]　f′(x)＝

11、(x2)′e2x＋x2·(e2x)′ ＝2xe2x＋x2·(e2x)·2 ＝e2x(2x＋2x2)＝2x(1＋x)e2x. 7．某港口在一天24小時(shí)內(nèi)潮水的高度近似滿足關(guān)系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數(shù)在t＝18時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義． [解析]　函數(shù)y＝s(t)＝3sin(t＋π)是由函數(shù)f(x)＝3sinx和函數(shù)x＝φ(t)＝t＋復(fù)合而成的其中x是中間變量．由導(dǎo)數(shù)公式表可得f′(x)＝3cosx，φ′(t)＝. 再由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得y′t＝s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cosx

12、3;＝cos(t＋)． 將t＝18時(shí)代入s′(t)，得s′(18)＝cos＝(m/h)． 它表示當(dāng)t＝18時(shí)，潮水的高度上升的速度為 m/h. 8．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)y＝log2(2x2＋3x＋1)；(2)y＝ln； (3)y＝ln；(4)y＝. [解析]　(1)方法一：設(shè)y＝log2u，u＝2x2＋3x＋1，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝log2e·(4x＋3) ＝·(4x＋3)＝. 方法二：y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝(2x2＋3x＋1)′＝. (2)方法一：設(shè)y＝lnu，u＝，v＝x2＋1，則y′x＝y(tǒng)′u·

13、u′v·v′x＝ ·v－·2x ＝···2x＝. 方法二：y′＝(ln)′＝()′＝···2x＝. 方法三：y＝ln＝ln(x2＋1)， 所以y′＝[ln(x2＋1)]′＝··(x2＋1)′＝. (3)y′＝′ ＝′ ＝· ＝－. (4)y＝＝ ＝ex＋e－x－＝ex＋e－x－， 所以y′＝(ex)′＋(e－x)′－′ ＝ex－e－x－ ＝ex－e－x－. [點(diǎn)評(píng)]　應(yīng)用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)公式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行解題．求導(dǎo)過程中，可先適當(dāng)進(jìn)行變形化簡，當(dāng)然變形化簡時(shí)要注意等價(jià)性．