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1、 （新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．已知橢圓＋＝1上一點(diǎn)P到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為(　　) A．2　　 B．3　　 C．5　　 D．7 [答案]　D [解析]　利用橢圓的定義可知|PF1|＋|PF2|＝10. ∵|PF1|＝3，∴|PF2|＝7. 2．設(shè)F1，F(xiàn)2為定點(diǎn)，|F1F2|＝6，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|＋|MF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是(　　) A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段 [答案]　D [解析]　∵|MF1|＋|MF2|＝6，

2、|F1F2|＝6， ∴|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，∴點(diǎn)M的軌跡是線段F1F2. 3．若方程x2＋ky2＝2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．(0,2) C．(1，＋∞) D．(0,1) [答案]　D [解析]　先將方程x2＋ky2＝2變形為＋＝1. 要使方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，需>2， 即0<k<1. 4．橢圓5x2＋ky2＝5的一個(gè)焦點(diǎn)是(0,2)，那么k的值為(　　) A．－1 B．1 C. D．－ [答案]　B [解析]　橢圓方程5x2＋ky2＝5可化為：x2＋＝1， 又∵焦點(diǎn)

3、是(0,2)，∴a2＝，b2＝1，c2＝－1＝4， ∴k＝1. 5．已知橢圓＋＝1的焦點(diǎn)在y軸上，若焦距為4，則m等于(　　) A．4 B．5 C．7 D．8 [答案]　D [解析]　由題意得 解得m＝8. 6．已知橢圓過(guò)點(diǎn)P(，－4)和點(diǎn)Q(－，3)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.＋x2＝1 B.＋y2＝1或x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．以上都不對(duì) [答案]　A [解析]　設(shè)橢圓方程為：Ax2＋By2＝1(A>0，B>0)， 由題意得解得 二、填空題 7．已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓與x軸的一個(gè)交點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為3和1，

4、則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． [答案]?。? [解析]　由題意可得，∴， 故b2＝a2－c2＝3，所以橢圓方程為＋＝1. 8．過(guò)點(diǎn)(－3,2)且與＋＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是________． [答案]?。? [解析]　因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，設(shè)方程為＋＝1，將(－3,2)代入方程可得＋＝1，解得a2＝15，故方程為＋＝1. 三、解答題 9．(1)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(－2,0)，(2,0)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，－)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,0)和(0,1)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [解析]　(1)設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b&

5、gt;0)． 依題意得，解得. ∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． ∵橢圓過(guò)(2,0)和(0,1)兩點(diǎn)， ∴∴ 綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. 10．如圖所示，已知點(diǎn)P是橢圓＋＝1上的點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面積． [答案]　8－4 [解析]　在橢圓＋＝1中，a＝，b＝2，∴c＝＝1， 又∵點(diǎn)P在橢圓上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 ① 由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30&

6、#176;＝|F1F2|2＝(2c)2＝4 ② ①式兩邊平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20 ③ ③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－4. 一、選擇題 1．設(shè)P是橢圓＋＝1上一點(diǎn)，P到兩焦點(diǎn)F1、F2的距離之差為2，則△PF1F2是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　B [解析]　由橢圓定義，知|PF1|＋|PF2|

7、＝2a＝8. 又|PF1|－|PF2|＝2， ∴|PF1|＝5，|PF2|＝3. 又|F1F2|＝2c＝2＝4， ∴△PF1F2為直角三角形． 2．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．射線 D．直線 [答案]　A [解析]　∵|PQ|＝|PF2|且|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PQ|＋|PF1|＝2a， 又∵F1、P、Q三點(diǎn)共線， ∴|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|，∴|F1Q|＝2a. 即Q在以F1為圓心，以2a為半徑的圓上． 3．設(shè)B(

8、0，－4)，C(0,4)，且△ABC的周長(zhǎng)等于18，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) [答案]　B [解析]　由已知2a＋2c＝18，c＝4，所以a＝5. 焦點(diǎn)在y軸上，故方程為＋＝1. ∵A、B、C三點(diǎn)不共線，∴y≠0. 4．(2014·邯鄲市一模)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2，點(diǎn)P在橢圓上．如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上，那么|PF2|是|PF1|的(　　) A．7倍 B．5倍 C．4倍 D．3倍 [答案]　A [解析]　解法1：由條件知F1(－3,0)，F(xiàn)2(3

9、,0)，P(－3，±)，即|PF1|＝，由橢圓定義知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴|PF2|＝， 即|PF2|＝7|PF1|. 解法2：由已知，則PF1⊥F1F2，∴PF1＝＝， 而F1F2＝2c＝6，∴|PF2|2＝()2＋62， ∴|PF2|＝，∴|PF2|是|PF1|的7倍． 二、填空題 5．已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P是橢圓上的一點(diǎn)，則|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中項(xiàng)，則該橢圓的方程是________． [答案]　＋＝1 [解析]　由題意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|， ∴4c＝2a＝4，∴a＝2. 又

10、c＝1，∴b2＝a2－c2＝3， 故橢圓方程為＋＝1. 6．已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且⊥.若△PF1F2的面積為9，則b＝________. [答案]　3 [解析]　本題考查橢圓的定義及整體代換的數(shù)學(xué)思想． 由橢圓定義，得|PF1|＋|PF2|＝2a， ∴|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2， 又∵⊥， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2， ∴|PF1|·|PF2|＝2b2， S△PF1

11、F2＝|PF1|·|PF2|＝b2＝9，∴b＝3. 三、解答題 7．設(shè)△ABC的三頂點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)三邊分別為a、b、c，且a、b、c(a>b>c)成等差數(shù)列，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0)、(1,0)，求頂點(diǎn)B的軌跡方程． [答案]?。?(－2<x<0) [解析]　設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)． ∵a、b、c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b，即|BC|＋|BA|＝2|AC|，∴|BC|＋|BA|＝4. 根據(jù)橢圓的定義易知，點(diǎn)B的軌跡方程為＋＝1. 又∵a>b>c，∴a>c，即|BC|>|AB|， ∴(x－1)2＋y2>

12、;(x＋1)2＋y2，∴x<0， ∴點(diǎn)B的軌跡是橢圓的一半，方程為＋＝1(x<0)． 又當(dāng)x＝－2時(shí)，點(diǎn)B、A、C在同一直線上，不能構(gòu)成△ABC，∴x≠－2. ∴頂點(diǎn)B的軌跡方程為＋＝1(－2<x<0)． 8．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的焦點(diǎn)分別為F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，且3a2＝4b2. (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)點(diǎn)P在這個(gè)橢圓上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． [答案]　(1)＋＝1　(2) [解析]　(1)由題意得橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且c＝1. 又∵3a2＝4b2，∴a2－b2＝a2＝c2＝1， ∴a2＝4，b2＝3， ∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)如圖所示，|PF1|－|PF2|＝1. 又由橢圓定義知，|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝， |PF2|＝，|F1F2|＝2， cos∠F1PF2＝＝＝.