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1、 （新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 4.2.2最大值、最小值問題第2課時(shí)練習(xí) 北師大版選修1-1 一、選擇題 1．將數(shù)8拆分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使其立方之和為最小，則分法為(　　) A．2和6　　　　　　 B．4和4 C．3和5 D．以上都不對(duì) [答案]　B [解析]　設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8－x，則y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，解得x＝4. 當(dāng)0≤x<4時(shí)，y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)4<x≤8時(shí)，y′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，所以x＝4時(shí)，y最?。? 2

2、．要制做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則高為(　　) A.cm　　　　　　 B．cm C.cm D．cm [答案]　D [解析]　設(shè)圓錐的高為x，則底面半徑為， 其體積為V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)， V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝. 當(dāng)0＜x＜時(shí)，V′＞0；當(dāng)＜x＜20時(shí)，V′＜0， 所以當(dāng)x＝時(shí)，V取最大值． 3．福建煉油廠某分廠將原油精煉為汽油，需對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第x小時(shí)時(shí)，原油溫度(單位：℃)為f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油溫度的瞬時(shí)變化率的最小值是(　　) A．8 B． C．－

3、1 D．－8 [答案]　C [解析]　瞬時(shí)變化率即為f ′(x)＝x2－2x為二次函數(shù)，且f ′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]， 故x＝1時(shí)，f ′(x)min＝－1. 4．用總長(zhǎng)為6m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長(zhǎng)之比為34，那么容器容積最大時(shí)，高為(　　) A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m [答案]　A [解析]　設(shè)容器底面相鄰兩邊長(zhǎng)分別為3xm、4xm，則高為＝(m)，容積V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2， 由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈時(shí)，V′&

4、gt;0，x∈時(shí)，V′<0，所以在x＝處，V有最大值，此時(shí)高為0.5m. 5．內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為(　　) A．R　　 B．2R　 C．R　 D．R [答案]　C [解析]　設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2， ∴V＝πr2h＝h(2Rh－h(huán)2)＝πRh2－h(huán)3， V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 當(dāng)0<h<R時(shí)，V′>0；當(dāng)<h<2R時(shí)，V′<0. 因此當(dāng)h＝R時(shí)，圓錐體積最大．故應(yīng)選C. 6．設(shè)圓柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面半徑為(　　) A.

5、 B. C. D. [答案]　D [解析]　設(shè)底面圓半徑為r，高為h，則V＝πr2h， ∴h＝.∴S表＝2S底＋S側(cè)＝2πr2＋2πr·h＝2πr2＋2πr·＝2πr2＋. ∴S表′＝4πr－，令S表′＝0得，r＝， 又當(dāng)x∈(0，)時(shí)，S表′<0；當(dāng)x∈(，V)時(shí)，S表′>0，∴當(dāng)r＝時(shí)，表面積最?。? 二、填空題 7．做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最小，則圓柱的底面半徑為________． [答案]　3 [解析]　設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，則V＝πR2L＝27π，∴L＝，要使用料最省，只需使圓柱形表面積

6、最小，∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π， ∴S′(R)＝2πR－，令S′＝0得R＝3， ∴當(dāng)R＝3時(shí)，S表最?。? 8．一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知在速度為10km/h時(shí)燃料費(fèi)是每小時(shí)6元 ，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，則此輪船的速度為______km/h航行時(shí)，能使行駛每公里的費(fèi)用總和最?。? [答案]　20 [解析]　設(shè)船速為每小時(shí)x(x＞0)千米，燃料費(fèi)為Q元，則Q＝kx3， 由已知得：6＝k·103， ∴k＝，即Q＝x3. 記行駛每千米的費(fèi)用總和為y元，則 y＝(x3＋96)·＝x2＋ y′＝x－，令y′＝0，

7、即x－＝0， 解之得：x＝20. 這就是說，該函數(shù)在定義域(0，＋∞)內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)，該極值必有所求的最小值，即當(dāng)船速為每小時(shí)20公里時(shí)，航行每公里的總費(fèi)用最小，最小值為7.2元． 三、解答題 9．用邊長(zhǎng)為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋水箱，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱．問：水箱底邊的長(zhǎng)取多少時(shí)，水箱容積最大？最大容積是多少？ [答案]　水箱底邊長(zhǎng)取80cm時(shí)，容積最大，最大容積為128 000cm3 [解析]　設(shè)水箱底邊長(zhǎng)為xcm，則水箱高為h＝60－(cm)． 水箱容積V＝V(x)＝60x2－(0<x<120)(

8、cm3)． V′(x)＝120x－x2. 令V′(x)＝0得，x＝0(舍)或x＝80. 當(dāng)x在(0,120)內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表： x (0,80) 80 (80,120) V′(x) ＋ 0 － 因此在x＝80處，函數(shù)V(x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值． 將x＝80代入V(x)，得最大容積 V＝802×60－＝128 000(cm3)． 答：水箱底邊長(zhǎng)取80cm時(shí)，容積最大，最大容積為128 000cm3. 10．(2014·福州市八縣聯(lián)考)永泰某景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，現(xiàn)對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，從而擴(kuò)大

9、內(nèi)需，提高旅游增加值，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，旅游增加值y萬(wàn)元與投入x(x≥10)萬(wàn)元之間滿足：y＝f(x)＝ax2＋x－bln，a，b為常數(shù)．當(dāng)x＝10萬(wàn)元時(shí)，y＝19.2萬(wàn)元；當(dāng)x＝30萬(wàn)元時(shí)，y＝50.5萬(wàn)元．(參考數(shù)據(jù)：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)． (1)求f(x)的解析式； (2)求該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值．(利潤(rùn)＝旅游增加值－投入)． [答案]　(1)f(x)＝－＋x－ln(x≥10)　(2)24.4萬(wàn)元 [解析]　(1)由條件可得 解得a＝－，b＝1， 則f(x)＝－＋x－ln(x≥10)． (2)T(x)＝f(x)－x＝－＋x－ln

10、(x≥10)， 則T′(x)＝＋－＝－， 令T′(x)＝0，則x＝1(舍)或x＝50， 當(dāng)x∈(10,50)時(shí)，T′(x)>0，因此T(x)在(10,50)上是增函數(shù)； 當(dāng)x∈(50，＋∞)時(shí)，T′(x)<0，因此T(x)在(50，＋∞)上是減函數(shù)， ∴當(dāng)x＝50時(shí)，T(x)取最大值． T(50)＝－＋×50－ln＝24.4(萬(wàn)元)． 即該景點(diǎn)改造升級(jí)后旅游利潤(rùn)T(x)的最大值為24.4萬(wàn)元. 一、選擇題 1．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑畫半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為(　　) A．10 B．15 C．25 D．50 [答案]　C [解析]

11、　如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθ·cosθ＝25sin2θ，故Smax＝25. 2．若一球的半徑為r，作內(nèi)接于球的圓柱，則圓柱側(cè)面積的最大值為(　　) A．2πr2 B．πr2 C．4πr2 D．πr2 [答案]　A [解析]　設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為r1，高為t， 則S＝2πr1t＝2πr12＝4πr1. ∴S＝4π. 令(r2r－r)′＝0得r1＝r. 此時(shí)S＝4π·r· ＝4π·r·r＝2πr2. 3．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每

12、生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x(0≤x≤390)的關(guān)系是R(x)＝－＋400x,0≤x≤390，則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 [答案]　D [解析]　由題意可得總利潤(rùn)P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390.由P′(x)＝0，得x＝300. 當(dāng)0≤x≤300時(shí)，P′(x)>0；當(dāng)300<x≤390時(shí)，P′(x)<0，所以當(dāng)x＝300時(shí)，P(x)最大，故選D. 二、填空題 4．用長(zhǎng)為18m的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為21，該長(zhǎng)方體

13、的最大體積是________． [答案]　3m3 [解析]　設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x，則長(zhǎng)為2x，高為－3x　(0<x<)，故體積為V＝2x2＝－6x3＋9x2， V′＝－18x2＋18x，令V′＝0得，x＝0或1， ∵0<x<2，∴x＝1. ∴該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為2m、1m、1.5m時(shí)，體積最大，最大體積Vmax＝3m3. 5．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本：C(x)＝1 200＋x3，又產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品的單價(jià)為50元，總利潤(rùn)最大時(shí)，產(chǎn)量應(yīng)定為________件． [答案]　25 [解析]　設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元，又產(chǎn)品單價(jià)

14、的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，即a2x＝k， 由題知a＝.總利潤(rùn)y＝500－x3－1200(x>0)，y′＝－x2， 由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)時(shí)，y′>0，x∈(25，＋∞)時(shí)，y′<0，所以x＝25時(shí)，y取最大值． 6.如圖所示，一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，如果窗戶面積一定，窗戶周長(zhǎng)最小時(shí)，x與h的比為________． [答案]　11 [解析]　設(shè)窗戶面積為S，周長(zhǎng)為L(zhǎng)，則S＝x2＋2hx，h＝－x，∴窗戶周長(zhǎng)L＝πx＋2x＋2h＝x＋2x＋， ∴L′＝＋2－. 由L′＝0，得x＝，x∈時(shí)，L′<0，x∈時(shí)，L′>0，∴當(dāng)x＝時(shí)

15、，L取最小值，此時(shí)＝＝－＝－＝1. 三、解答題 7．(2014·三峽名校聯(lián)盟聯(lián)考)時(shí)下，網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛，它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)，假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位：千套)與銷售價(jià)格x(單位：元/套)滿足的關(guān)系式y(tǒng)＝＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套． (1)求m的值； (2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù))，試確定銷售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大．(保留1位小數(shù)) [答案]　(1)10　(2)3.3元/套 [解析]

16、　(1)因?yàn)閤＝4時(shí)，y＝21， 代入關(guān)系式y(tǒng)＝＋4(x－6)2，得＋16＝21， 解得m＝10. (2)由(1)可知，套題每日的銷售量y＝＋4(x－6)2， 所以每日銷售套題所獲得的利潤(rùn) f(x)＝(x－2)[＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)， 從而f ′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)． 令f ′(x)＝0，得x＝，且在(0，)上，f ′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；在(，6)上，f ′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，

17、 所以x＝是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)， 所以當(dāng)x＝≈3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值． 故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤(rùn)最大． 8．有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省？ [答案]　供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省 [解析]　如圖所示，依題意，點(diǎn)C在直線AD上，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km. 因?yàn)锽D＝40，AD＝50，所以AC＝50－x. 所以BC＝＝. 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，則 y＝3a(50－x)＋5a(0<x<50)． 所以y′＝－3a＋ . 令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． 當(dāng)x<30時(shí)，y′<0；當(dāng)x>30時(shí)，y′>0. 所以當(dāng)x＝30時(shí)，取得最小值，此時(shí)AC＝50－x＝20(km)， 即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最?。?