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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第一章　1.3全稱(chēng)量詞與存在量詞 一、選擇題 1．下列命題中全稱(chēng)命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；②梯形有兩邊平行；③存在一個(gè)菱形，它的四條邊不相等． A．0　 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　①②是全稱(chēng)命題，③是特稱(chēng)命題． 2．下列命題： (1)至少有一個(gè)x，使x2＋2x＋1＝0成立． (2)對(duì)任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立． (3)對(duì)任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立． (4)存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全稱(chēng)命題的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．0個(gè) [答

2、案]　B [解析]　(1)中的量詞“至少有一個(gè)”和(4)中的量詞“存在”都不是全稱(chēng)量詞，故這兩個(gè)命題不是全稱(chēng)命題．(2)、(3)中的量詞“任意的”是全稱(chēng)量詞，所以這兩個(gè)命題是全稱(chēng)命題．故選B． 3．下列命題中的假命題是(　　) A．存在x∈R，lgx＝0 B．存在x∈R，tanx＝1 C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞0 [答案]　C [解析]　本題主要考查全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題真假的判斷．對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x<0時(shí)，x3<0，故C是假命題． 4．命題“存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是(　　) A．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x>1 B．不存在實(shí)數(shù)x，使x≤

3、1 C．對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1 D．存在實(shí)數(shù)x，使x≤1 [答案]　C [解析]　本題考查了全稱(chēng)、存在命題及命題的否定． “存在實(shí)數(shù)x，使x>1”的否定是“對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x≤1”． 這類(lèi)題目應(yīng)遵循“存在變?nèi)我?任意變存在)，再否定結(jié)論”的原則． 5．下列四個(gè)命題中，其中為真命題的是(　　) A．任意x∈R，x2＋3<0 B．任意x∈N，x2≥1 C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，x2＝3 [答案]　C [解析]　由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命題“任意x∈R，x2＋3<0”為假命題； 由于0∈N，當(dāng)x＝0時(shí)

4、，x2≥1不成立， 所以命題“任意x∈N，x2≥1”是假命題； 由于－1∈Z，當(dāng)x＝－1時(shí)，x5<1， 所以命題“存在x∈Z，使x5<1”為真命題； 由于使x2＝3成立的數(shù)只有±，而它們都不是有理數(shù)，因此沒(méi)有任何一個(gè)有理數(shù)的平方能等于3，所以命題“存在x∈Q，x2＝3”是假命題．故選C． 6．命題“存在x0∈?RQ，x∈Q”的否定是(　　) A．存在x0??RQ，x∈Q B．存在x0∈?RQ，x?Q C．任意x??RQ，x3∈Q D．任意x∈?RQ，x3?Q [答案]　D [解析]　本題考查量詞命題的否定改寫(xiě)． 任意x0∈?RQ，x?Q，注意量詞一定要

5、改寫(xiě)． 二、填空題 7．給出下列命題： ①任意x∈R，是無(wú)理數(shù)； ②任意x、y∈R，若xy≠0，則x、y至少有一個(gè)不為0； ③存在實(shí)數(shù)既能被3整除又能被19整除； ④x>1是<1的充要條件． 其中真命題為_(kāi)_______________． [答案]?、冖? [解析]?、偈羌倜}，例如是有理數(shù)；②是真命題，若xy≠0，則x，y全都不為0；③是真命題；④x>1是<1的充分不必要條件． 8．填上適當(dāng)?shù)牧吭~，使下列命題為真命題． (1)_________x∈R，使x2＋2x＋1≥0. (2)_________α，β∈R，使cos(α－β)＝cosα－cos

6、β. (3)__________a，b∈R，使方程組有唯一解． (4)__________m∈R，___________n∈R，使mn＝n. [答案]　(1)任意　(2)存在　(3)存在　(4)任意，存在或填存在，任意或存在，存在均可． 三、解答題 9．寫(xiě)出下列命題的否定并判斷真假： (1)不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2＋x－m＝0必有實(shí)數(shù)根； (2)每一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)； (3)有的四邊形沒(méi)有外接圓； (4)某些梯形的對(duì)角線(xiàn)互相平分． (5)有些質(zhì)數(shù)是奇數(shù)； (6)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. [解析]　(1)這一命題可以表述為p：“對(duì)所有的實(shí)數(shù)m，方

7、程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”，其否定是非p：“存在實(shí)數(shù)m，使得x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根”，注意到當(dāng)Δ＝1＋4m<0，即m<－時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)根，因此非p是真命題． (2)命題的否定：存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)，是真命題． (3)命題的否定：所有的四邊形都有外接圓，是假命題． (4)命題的否定：任一個(gè)梯形的對(duì)角線(xiàn)都不互相平分，是真命題． (5)命題的否定為：所有的質(zhì)數(shù)不是奇數(shù)．很明顯，質(zhì)數(shù)3就是奇數(shù)，所以命題的否定是假命題． (6)命題的否定為：存在α∈R，使sin2α＋cos2α≠1.因?yàn)樵}是真命題，所以命題的否定為假命題． 10．若命題“對(duì)任意x∈R，關(guān)

8、于x的不等式(a2－1)x2＋(a－1)x－1<0都成立”為真命題，求a的取值范圍． [解析]　當(dāng)a＝－1時(shí)，不等式不成立； 當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式恒成立． 當(dāng)a2－1≠0時(shí)， 所以－<a<1.所以a的取值范圍是(－，1]． 一、選擇題 1．下列命題是真命題的是(　　) A．所有的實(shí)數(shù)x都能使x2－3x＋6>0成立 B．存在一個(gè)實(shí)數(shù)x使不等式x2－3x＋6<0成立 C．存在一條直線(xiàn)與兩個(gè)相交平面都垂直 D．存在實(shí)數(shù)x使x2<0成立 [答案]　A [解析]　因?yàn)閤2－3x＋6＝(x－)2＋≥，所以對(duì)于任意的x∈R，x2－3x＋6>

9、;0恒成立，因此A中的命題為真命題． 2．命題“所有奇數(shù)的立方是奇數(shù)”的否定是(　　) A．所有奇數(shù)的立方不是奇數(shù) B．不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù) C．存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是偶數(shù) D．不存在一個(gè)奇數(shù)，它的立方是奇數(shù) [答案]　C [解析]　全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題． 3．下列命題中的假命題是(　　) A．存在實(shí)數(shù)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ B．不存在無(wú)窮多個(gè)α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ C．對(duì)任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ D．不存在這樣的α和β，使cos(α

10、＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ [答案]　B [解析]　cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，顯然選項(xiàng)C，D為真；sinα·sinβ＝0時(shí)，選項(xiàng)A為真；選項(xiàng)B為假．故選B． 4．已知a＞0，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0滿(mǎn)足關(guān)于x的方程2ax＋b＝0，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是(　　) A．存在x∈R，f(x)≤f(x0) B．存在x∈R，f(x)≥f(x0) C．任意x∈R，f(x)≤f(x0) D．任意x∈R，f(x)≥f(x0) [答案]　C [解析]　由x0＝－(a>0)及拋物線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)

11、可得C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的． 二、填空題 5．下列特稱(chēng)命題是真命題的序號(hào)是________________． ①有些不相似的三角形面積相等； ②存在一實(shí)數(shù)x0，使x＋x0＋1<0； ③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y＝ax＋b的值隨x的增大而增大； ④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身． [答案]　①③④ [解析]?、贋檎婷}，只要找出等底等高的兩個(gè)三角形，面積就相等，但不一定相似；②中對(duì)任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，所以不存在實(shí)數(shù)x0，使x＋x0＋1<0，故②為假命題；③中當(dāng)實(shí)數(shù)a大于0時(shí)，結(jié)論成立，為真命題；④中如1的倒數(shù)是它本身，為真命題，故選①③④. 6．下列語(yǔ)句：

12、①能被7整除的數(shù)都是奇數(shù)；②|x－1|<2；③存在實(shí)數(shù)a使方程x2－ax＋1＝0成立；④等腰梯形對(duì)角線(xiàn)相等且不互相平分． 其中是全稱(chēng)命題且為真命題的序號(hào)是________________． [答案]?、? [解析]?、偈侨Q(chēng)命題，但為假命題； ②不是命題； ③是特稱(chēng)命題 三、解答題 7．為使下列p(x)為真命題，求x的取值范圍： (1)p(x)：x＋1>x； (2)p(x)：x2－5x＋6>0； (3)p(x)：sinx>cosx. [解析]　(1)∵對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有(x＋1)－x＝1>0，∴x＋1>x，∴x∈R. (2)由x2－5x

13、＋6＝(x－2)(x－3)>0得x<2或x>3，∴使p(x)成立的x的取值范圍是x<2或x>3. (3)sinx－cosx＝sin>0， ∴2kπ<x－<2kπ＋π　(k∈Z)， ∴2kπ＋<x<2kπ＋，∴使p(x)：sinx>cosx成立的x的取值范圍是，k∈Z. 8．(1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)令p(x)：ax2＋2x＋1＞0，若對(duì)所有的x∈R，p(x)是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解析]　(1)關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為. (2)∵對(duì)所有的x∈R，p(x)是真命題．∴對(duì)?x∈R，ax2＋2x＋1＞0恒成立，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為2x＋1＞0不恒成立，當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，則∴a＞1.