《新編高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新編高中數(shù)學(xué)北師大選修11同課異構(gòu)練習(xí) 第三章 變化率與導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義高考題集錦 Word版含答案（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、新編數(shù)學(xué)北師大版精品資料 1.(2008全國Ⅰ,　2,　5分)　汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,　若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù),　其圖象可能是(　　)　 2.(2011湖北, 10, 5分) 放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素, 其含量不斷減少, 這種現(xiàn)象稱為衰變. 假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中, 其含量M(單位:太貝克) 與時(shí)間t(單位:年) 滿足函數(shù)關(guān)系:M(t) =M0, 其中M0為t=0時(shí)銫137的含量. 已知t=30時(shí), 銫137含量的變化率是-10ln 2(太貝克/年) , 則M(60) =(　　) A

2、. 5太貝克　　　　B. 75ln 2太貝克　　　　C. 150ln 2太貝克　　　　D. 150太貝克 3.(2010課標(biāo)全國, 3, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(-1, -1) 處的切線方程為(　　)　 A. y=2x+1　　　　B. y=2x-1　　　　C. y=-2x-3　　　　D. y=-2x-2 4.(2010全國Ⅱ, 10, 5分) 若曲線y=在點(diǎn)(a, ) 處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18, 則a=(　　) A. 64　　　　B. 32　　　　C. 16　　　　D. 8 5.(2010遼寧, 10, 5分) 已知點(diǎn)P在曲線y=上, α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜

3、角, 則α的取值范圍是(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 6.(2009全國Ⅱ, 4, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, 1) 處的切線方程為(　　) A. x-y-2=0　　　　B. x+y-2=0　　　　C. x+4y-5=0　　　　D. x-4y-5=0 7.(2009遼寧, 7, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(1, -1) 處的切線方程為(　　) A. y=x-2　　　　B. y=-3x+2　　　　C. y=2x-3　　　　D. y=-2x+1 8.(2009全國Ⅰ, 9, 5分) 已知直線y=x+1與曲線y=ln(x+a) 相切, 則a的值為(　　)

4、A. 1　　　　B. 2　　　　C. -1　　　　D. -2 9.(2009江西, 5, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) =g(x) +x2, 曲線y=g(x) 在點(diǎn)(1, g(1) ) 處的切線方程為y=2x+1, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處切線的斜率為(　　) A. 4　　　　B. -　　　　C. 2　　　　D. - 10.(2009安徽, 9, 5分) 已知函數(shù)f(x) 在R上滿足f(x) =2f(2-x) -x2+8x-8, 則曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程是(　　) A. y=2x-1　　　　B. y=x　　　　C. y=3x-2　

5、　　　D. y=-2x+3 11.(2008遼寧, 6, 5分) 設(shè)P為曲線C:y=x2+2x+3上的點(diǎn), 且曲線C在點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為, 則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍為(　　) A. 　　　　B. [-1, 0]　　　　C. [0, 1]　　　　D. 12.(2008全國Ⅰ, 7, 5分) 設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3, 2) 處的切線與直線ax+y+1=0垂直, 則a=(　　) A. 2　　　　B. 　　　　C. -　　　　D. -2 13.(2007全國Ⅱ, 8, 5分) 已知曲線y=-3ln x的一條切線的斜率為, 則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(　　)　 A. 3　　　　B. 2　　　

6、　C. 1　　　　D. 14.(2007江西, 11, 5分) 設(shè)函數(shù)f(x) 是R上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù), 則曲線y=f(x) 在x=5處的切線的斜率為(　　) A. -　　　　B. 0　　　　C. 　　　　D. 5 15.(2007寧夏, 10, 5分) 曲線y=在點(diǎn)(4, e2) 處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為(　　) A. e2　　　　B. 4e2　　　　C. 2e2　　　　D. e2 16.(2011全國, 8, 5分) 曲線y=e-2x+1在點(diǎn)(0, 2) 處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　

7、D. 1 17.(2008福建, 12, 5分)　已知函數(shù)y=f(x)　, y=g(x)　的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖, 那么y=f(x)　, y=g(x)　的圖象可能是(　　)　 18.(2007四川, 12, 5分) 已知一組拋物線y=ax2+bx+1, 其中a為2, 4, 6, 8中任取的一個(gè)數(shù), b為1, 3, 5, 7中任取的一個(gè)數(shù), 從這些拋物線中任意抽取兩條, 它們?cè)谂c直線x=1交點(diǎn)處的切線相互平行的概率是(　　) A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 19.(2012陜西,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=xex,則(　　) A. x=1為f(x)的極大值點(diǎn) B

8、. x=1為f(x)的極小值點(diǎn) C. x=-1為f(x)的極大值點(diǎn) D. x=-1為f(x)的極小值點(diǎn) 20.(2012課標(biāo)全國,12,5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為(　　) A. 1-ln 2　　　　B. (1-ln 2)　　　　C. 1+ln 2　　　　D. (1+ln 2) 21.(2012大綱全國,10,5分)已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則c=(　　) A. -2或2　　　　B. -9或3　　　　C. -1或1　　　　D. -3或1 22.(2009江蘇, 9, 5分) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,

9、 點(diǎn)P在曲線C:y=x3-10x+3上, 且在第二象限內(nèi), 已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2, 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　. 23.(2009福建, 14, 4分) 若曲線f(x) =ax3+ln x存在垂直于y軸的切線, 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 24.(2009北京, 11, 5分) 設(shè)f(x) 是偶函數(shù). 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率為1, 則該曲線在點(diǎn)(-1, f(-1) ) 處的切線的斜率為　　　　. 25.(2009陜西, 16, 4分) 設(shè)曲線y=xn+1(n∈N*) 在點(diǎn)(1, 1) 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn, 令an=

10、lg xn, 則a1+a2+…+a99的值為　　　. 26.(2008北京, 12, 5分) 如圖, 函數(shù)f(x) 的圖象是折線段ABC, 其中A, B, C的坐標(biāo)分別為(0, 4) , (2, 0) , (6, 4) , 則f[f(0) ]=　　　　　;=　　　　　(用數(shù)字作答) . 27.(2008全國Ⅱ, 14, 5分) 設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0, 1) 處的切線與直線x+2y+1=0垂直, 則a=　　　　. 28.(2008江蘇, 8, 5分) 設(shè)直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0) 的一條切線, 則實(shí)數(shù)b的值為　　　　. 29.(2011江蘇, 12, 5分

11、) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中, 已知P是函數(shù)f(x) =ex(x>0) 的圖象上的動(dòng)點(diǎn), 該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M. 過點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N. 設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t, 則t的最大值是　　　　. 30.(2010江蘇, 8, 5分) 函數(shù)y=x2(x>0) 的圖象在點(diǎn)(ak, ) 處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1, 其中k∈N*. 若a1=16, 則a1+a3+a5的值是　　　　. 31.(2012廣東,12,5分)曲線y=x3-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為　　　　. 32. (2012遼寧,15,5分)已知P,Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn),點(diǎn)P,Q

12、的橫坐標(biāo)分別為4,-2,過P,Q分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)A,則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為　　　　. 33.（2013廣東，10,5分）若曲線y=kx+ln x在點(diǎn)(1, k) 處的切線平行于x軸, 則k=　　　　.　 34.（2013江蘇，9,5分）拋物線y=x2在x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形區(qū)域?yàn)镈(包含三角形內(nèi)部與邊界). 若點(diǎn)P(x, y) 是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn), 則x+2y的取值范圍是　　　　.　 35.(2009廣東, 20, 14分) 已知二次函數(shù)y=g(x) 的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行, 且y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1(m≠0) . 設(shè)f(x) =

13、. (Ⅰ) 若曲線y=f(x) 上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0, 2) 的距離的最小值為, 求m的值; (Ⅱ) k(k∈R) 如何取值時(shí), 函數(shù)y=f(x) -kx存在零點(diǎn), 并求出零點(diǎn). 36.(2010重慶, 18, 13分) 已知函數(shù)f(x) =+ln(x+1) , 其中實(shí)數(shù)a≠-1. (Ⅰ) 若a=2, 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程; (Ⅱ) 若f(x) 在x=1處取得極值, 試討論f(x) 的單調(diào)性. 37.(2010陜西, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =, g(x) =aln x, a∈R. (Ⅰ) 若曲線y=f(x) 與曲線y=g

14、(x) 相交, 且在交點(diǎn)處有共同的切線, 求a的值和該切線方程; (Ⅱ) 設(shè)函數(shù)h(x) =f(x) -g(x) , 當(dāng)h(x) 存在最小值時(shí), 求其最小值φ(a) 的解析式; (Ⅲ) 對(duì)(Ⅱ) 中的φ(a) 和任意的a>0, b>0, 證明: φ≤≤φ. 38.(2010福建, 20, 14分) (Ⅰ) 已知函數(shù)f(x) =x3-x, 其圖象記為曲線C. (i) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間; (ii) 證明:若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x1, 曲線C與其在點(diǎn)P1(x1, f(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, f(x2) ) , 曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x

15、3, f(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值; (Ⅱ) 對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) , 請(qǐng)給出類似于(Ⅰ) (ii) 的正確命題, 并予以證明. 39. (2009天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =(x2+ax-2a2+3a) ex(x∈R) , 其中a∈R. (Ⅰ) 當(dāng)a=0時(shí), 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率; (Ⅱ) 當(dāng)a≠時(shí), 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 40.(2009重慶, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax

16、2+bx+k(k>0) 在x=0處取得極值, 且曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線垂直于直線x+2y+1=0. (Ⅰ) 求a, b的值; (Ⅱ) 若函數(shù)g(x) =, 討論g(x) 的單調(diào)性. 41.(2009北京, 18, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =xekx(k≠0) . (Ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程; (Ⅱ) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間; (Ⅲ) 若函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增, 求k的取值范圍. 42. (2009湖北, 21, 14分) 在R上定義運(yùn)算?:p?q=-(p-c) (q-b)

17、+4bc(b、c為實(shí)常數(shù)) . 記f1(x) =x2-2c, f2(x) =x-2b, x∈R. 令f(x) =f1(x) ? f2(x) . (Ⅰ) 如果函數(shù)f(x) 在x=1處有極值-, 試確定b、c的值; (Ⅱ) 求曲線y=f(x) 上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn); (Ⅲ) 記g(x) =|f (x) |(-1≤x≤1) 的最大值為M. 若M≥k對(duì)任意的b、c恒成立, 試求k的最大值. 43. (2009重慶, 20, 13分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a≠0) , 曲線y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 且在點(diǎn)(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y

18、軸. (Ⅰ) 用a分別表示b和c; (Ⅱ) 當(dāng)bc取得最小值時(shí), 求函數(shù)g(x) =-f(x) e-x的單調(diào)區(qū)間. 44. (2008天津, 20, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x++b(x≠0) , 其中a, b∈R. (Ⅰ) 若曲線y=f(x) 在點(diǎn)P(2, f(2) ) 處的切線方程為y=3x+1, 求函數(shù)f(x) 的解析式; (Ⅱ) 討論函數(shù)f(x) 的單調(diào)性; (Ⅲ) 若對(duì)于任意的a∈, 不等式f(x) ≤10在上恒成立, 求b的取值范圍. 45. (2008寧夏、海南, 21, 12分) 設(shè)函數(shù)f(x) =ax+(a, b∈Z) , 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(

19、2, f(2) ) 處的切線方程為y=3. (Ⅰ) 求f(x) 的解析式; (Ⅱ) 證明:函數(shù)y=f(x) 的圖象是一個(gè)中心對(duì)稱圖形, 并求其對(duì)稱中心; (Ⅲ) 證明:曲線y=f(x) 上任一點(diǎn)的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值, 并求出此定值. 46. (2007全國Ⅱ, 22, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x3-x. (Ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程; (Ⅱ) 設(shè)a>0, 如果過點(diǎn)(a, b) 時(shí)作曲線y=f(x) 的三條切線, 證明:-a

20、x) =(x∈R) , 其中a∈R. (Ⅰ) 當(dāng)a=1時(shí), 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2, f(2) ) 處的切線方程; (Ⅱ) 當(dāng)a≠0時(shí), 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 48.(2007湖北, 20, 13分) 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x) =x2+2ax, g(x) =3a2ln x+b, 其中a>0. 設(shè)兩曲線y=f(x) , y=g(x) 有公共點(diǎn), 且在該點(diǎn)處的切線相同. (Ⅰ) 用a表示b, 并求b的最大值; (Ⅱ) 求證:f(x) ≥g(x) (x>0) . 49. (2011重慶, 18, 13分) 設(shè)f(x) =x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f

21、 (x) 滿足f (1) =2a, f (2) =-b, 其中常數(shù)a, b∈R. (Ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程; (Ⅱ) 設(shè)g(x) =f (x) e-x, 求函數(shù)g(x) 的極值. 50.(2011課標(biāo), 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =+, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程為x+2y-3=0. (Ⅰ) 求a, b的值; (Ⅱ) 如果當(dāng)x>0, 且x≠1時(shí), f(x) >+, 求k的取值范圍. 51.(2011陜西, 19, 12分) 如圖, 從點(diǎn)P1(0, 0) 作x軸的垂線交曲線y=ex于點(diǎn)Q1(0,

22、 1) , 曲線在Q1點(diǎn)處的切線與x軸交于點(diǎn)P2, 再從P2作x軸的垂線交曲線于點(diǎn)Q2, 依次重復(fù)上述過程得到一系列點(diǎn):P1, Q1;P2, Q2;…;Pn, Qn, 記Pk點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk, 0) (k=1, 2, …, n) . (Ⅰ) 試求xk與xk-1的關(guān)系(2≤k≤n) ; (Ⅱ) 求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 52.(2007四川, 21, 12分) 已知函數(shù)f(x) =x2-4, 設(shè)曲線y=f(x) 在點(diǎn)(xn, f(xn) ) 處的切線與x軸的交點(diǎn)為(xn+1, 0) (n∈N*) , 其中x1為正實(shí)數(shù). (Ⅰ) 用xn表示x

23、n+1; (Ⅱ) 求證:對(duì)一切正整數(shù)n, xn+1≤xn的充要條件是x1≥2; (Ⅲ) 若x1=4, 記an=lg, 證明數(shù)列{an}成等比數(shù)列, 并求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式. 53.(2007廣東, 21, 14分) 已知函數(shù)f(x) =x2+x-1, α、β是方程f(x) =0的兩個(gè)根(α>β) , f (x) 是f(x) 的導(dǎo)數(shù). 設(shè)a1=1, an+1=an-(n=1, 2, …) . (Ⅰ) 求α、β的值; (Ⅱ) 證明:對(duì)任意的正整數(shù)n, 都有an>α; (Ⅲ) 記bn=ln(n=1, 2, …) , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 54.(2012北京,18,13

24、分)已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b的值; (2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-∞,-1]上的最大值. 55.(2012江蘇,18,16分)若函數(shù)y=f (x)在x=x0處取得極大值或極小值,則稱x0為函數(shù)y=f (x)的極值點(diǎn). 已知a,b是實(shí)數(shù),1和-1是函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn). (1)求a和b的值; (2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g(x)=f (x)+2,求g(x)的極值點(diǎn); (3)設(shè)h(

25、x)=f (f (x))-c,其中c∈[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 56.（2013重慶，17,13分）設(shè)f(x) =a(x-5) 2+6ln x, 其中a∈R, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1)) 處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0,6). (Ⅰ) 確定a的值; (Ⅱ) 求函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間與極值. 57.（2013四川，21,14分）已知函數(shù)f(x) =其中a是實(shí)數(shù). 設(shè)A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) 為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn), 且x1< x2. (Ⅰ) 指出函數(shù)f(x) 的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ) 若函數(shù)f(x) 的圖象在點(diǎn)A, B處的切線互

26、相垂直, 且x2< 0, 求x2-x1的最小值; (Ⅲ) 若函數(shù)f(x) 的圖象在點(diǎn)A, B處的切線重合, 求a的取值范圍. 58.（2013廣東，20,14分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn), 其焦點(diǎn)F(0, c) (c> 0) 到直線l: x-y-2=0的距離為. 設(shè)P為直線l上的點(diǎn), 過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA, PB, 其中A, B為切點(diǎn). (1) 求拋物線C的方程; (2) 當(dāng)點(diǎn)P(x0, y0) 為直線l上的定點(diǎn)時(shí), 求直線AB的方程; (3) 當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí), 求|AF||BF|的最小值. 59.（2013福建，17,13分）已知函數(shù)f(x) =x-aln x(

27、a∈R). (Ⅰ) 當(dāng)a=2時(shí), 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)A(1, f(1)) 處的切線方程; (Ⅱ) 求函數(shù)f(x) 的極值. 60.(2013湖南，22,13分)已知a> 0, 函數(shù)f(x) =. (Ⅰ) 記f(x) 在區(qū)間[0,4]上的最大值為g(a), 求g(a) 的表達(dá)式; (Ⅱ) 是否存在a, 使函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間(0,4) 內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn), 在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直? 若存在, 求a的取值范圍; 若不存在, 請(qǐng)說明理由. 61.（2013陜西，21,14分）已知函數(shù)f(x) =ex, x∈R. (Ⅰ) 若直線y=kx+1與f(x) 的反函數(shù)的圖象相切, 求

28、實(shí)數(shù)k的值; (Ⅱ) 設(shè)x> 0, 討論曲線y=f(x) 與曲線y=mx2(m> 0) 公共點(diǎn)的個(gè)數(shù); (Ⅲ) 設(shè)a< b, 比較 與 的大小, 并說明理由. 62.（2013浙江，22,14分）已知a∈R, 函數(shù)f(x) =x3-3x2+3ax-3a+3. (Ⅰ) 求曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1)) 處的切線方程; (Ⅱ) 當(dāng)x∈[0,2]時(shí), 求|f(x) |的最大值. 63.（2013遼寧，20,12分）如圖, 拋物線C1: x2=4y, C2: x2=-2py(p> 0). 點(diǎn)M(x0, y0) 在拋物線C2上, 過M作C1的切線, 切點(diǎn)為A, B(M為原點(diǎn)O時(shí),

29、A, B重合于O). 當(dāng)x0=1-時(shí), 切線MA的斜率為-. (Ⅰ) 求p的值; (Ⅱ) 當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí), 求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A, B重合于O時(shí), 中點(diǎn)為O). 64.（2013北京, 18,13分）設(shè)L為曲線C: y=在點(diǎn)(1,0) 處的切線. (Ⅰ) 求L的方程; (Ⅱ) 證明: 除切點(diǎn)(1,0) 之外, 曲線C在直線L的下方. 65.(2013課標(biāo)Ⅰ, 21,12分)設(shè)函數(shù)f(x) =x2+ax+b, g(x) =ex(cx+d). 若曲線y=f(x) 和曲線y=g(x) 都過點(diǎn)P(0,2), 且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2. (Ⅰ) 求a, b, c

30、, d的值; (Ⅱ) 若x≥-2時(shí), f(x) ≤kg(x), 求k的取值范圍. 答案 理數(shù)1. A　　　2. D　　　3.A　　　4.A　　　5.D　　　6.B　　7. D　　　8. B　　9. A　　　10.A　　　11.A　　　12. D　　　13. A　　　14. B　　　15. D　　　16. A　　　17. D　　　18. B　　　19.D　　　20.B　　　21.A　　　22.(-2, 15) 　　23.(-∞, 0) 　　24.-1　　25.-2　　26.2;-2　　27.2　　28.ln 2-1　　29.+　　30.21　　31.2x-y+1=0　　32.-4 　　33

31、.-1　　34.　　35.設(shè)二次函數(shù)為g(x) =ax2+bx+c, a≠0. ∵ g(x) =2ax+b的圖象與直線y=2x平行, ∴ a=1. 又∵ y=g(x) 在x=-1處取得極小值m-1, ∴ -=-1, g(-1) =a(-1) 2+b(-1) +c=m-1, ∴ b=2, c=m, ∴ f(x) ==+x+2. (Ⅰ) 已知m≠0, 設(shè)曲線y=f(x) 上點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x, y) , 則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0, 2) 的距離為|PQ|===≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)2x2=?x=時(shí)等號(hào)成立. ∵ |PQ|的最小值為, ∴ =?|m|+m=1. ①當(dāng)m>0時(shí), 解得

32、m==-1. ②當(dāng)m<0時(shí), 解得m==--1. 故m=-1或m=--1. (Ⅱ) y=f(x) -kx的零點(diǎn)即方程+(1-k) x+2=0的解, ∵ m≠0, ∴ +(1-k) x+2=0與(k-1) x2-2x-m=0有相同的解. ①若k=1, (k-1) x2-2x-m=0?x=-≠0, ∴函數(shù)y=f(x) -kx有零點(diǎn)x=-. ②若k≠1, (k-1) x2-2x-m=0的判別式 Δ=4[1+m(k-1) ]. 若Δ=0?k=1-, 此時(shí)函數(shù)y=f(x) -kx有一個(gè)零點(diǎn)x=-m. 若Δ>0?1+m(k-1) >0, ∴ 當(dāng)m>0, k>1-或m<

33、0, k<1-時(shí), 方程(k-1) x2-2x-m=0有兩個(gè)解x1=和x2=. 此時(shí)函數(shù)y=f(x) -kx有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2. 若Δ<0?1+m(k-1) <0, ∴ 當(dāng)m>0, k<1-或m<0, k>1-時(shí), 方程(k-1) x2-2x-m=0無實(shí)數(shù)解, 此時(shí)函數(shù)y=f(x) -kx沒有零點(diǎn). 　　36.(Ⅰ) f (x) =+=+. 當(dāng)a=2時(shí), f (0) =+=, 而f(0) =-, 因此曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程為y-=(x-0) , 即7x-4y-2=0. (Ⅱ) 因a≠-1, 由(Ⅰ) 知f (1) =+=+, 又因f(x)

34、 在x=1處取得極值, 所以f (1) =0, 即+=0, 解得a=-3. 此時(shí)f(x) =+ln(x+1) , 其定義域?yàn)?-1, 3) ∪(3, +∞) , 且f (x) =+=, 由f (x) =0得x1=1, x2=7. 當(dāng)-17時(shí), f (x) >0;當(dāng)10) , 由已知得解得a=, x=e2, ∴兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為(e2,

35、e) . 切線的斜率為k=f (e2) =, ∴切線的方程為y-e=(x-e2) . (Ⅱ) 由條件知h(x) =-aln x(x>0) , ∴h(x) =-=, (i) 當(dāng)a>0時(shí), 令h(x) =0, 解得x=4a2, ∴當(dāng)04a2時(shí), h(x) >0, h(x) 在(4a2, +∞) 上遞增. ∴x=4a2是h(x) 在(0, +∞) 上的唯一極值點(diǎn), 且是極小值點(diǎn), 從而也是h(x) 的最小值點(diǎn). ∴最小值φ(a) =h(4a2) =2a-aln 4a2=2a(1-ln 2a)

36、. (ii) 當(dāng)a≤0時(shí), h(x) =>0, h(x) 在(0, +∞) 上遞增, 無最小值. 故h(x) 的最小值φ(a) 的解析式為φ(a) =2a(1-ln 2a) (a>0) . (Ⅲ) 證明:由(Ⅱ) 知φ(a) =-2ln 2a, 對(duì)任意的a>0, b>0, =-=-ln 4ab, ① φ=-2ln=-ln(a+b) 2≤-ln 4ab, ② φ=-2ln≥-2ln=-ln 4ab, ③ 故由①②③得φ≤≤φ. 　　38.解法一:(Ⅰ) (i) 由f(x) =x3-x得 f (x) =3x2-1=3. 當(dāng)x∈和時(shí), f (x) >0; 當(dāng)x∈時(shí), f

37、 (x) <0. 因此, f(x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和, 單調(diào)遞減區(qū)間為. (ii) 曲線C在點(diǎn)P1處的切線方程為y=(3-1) (x-x1) +-x1, 即y=(3-1) x-2. 由 得x3-x=(3-1) x-2, 即(x-x1) 2(x+2x1) =0, 解得x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1. 進(jìn)而有S1= ==. 用x2代替x1, 重復(fù)上述計(jì)算過程, 可得x3=-2x2和S2=. 又x2=-2x1≠0, 所以S2=≠0, 因此有=. (Ⅱ) 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 的圖象為曲線C, 類似于(Ⅰ) (ii) 的

38、正確命題為:若對(duì)任意不等于-的實(shí)數(shù)x1, 曲線C與其在點(diǎn)P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, g(x2) ) , 曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, g(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值. 證明如下: 因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小, 故可將曲線y=g(x) 的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn), 因而不妨設(shè)g(x) =ax3+hx, 且x1≠0. 類似(Ⅰ) (ii) 的計(jì)算可得S1=a, S2=a≠0. 故=. 解法二:(Ⅰ) 同解法一. (Ⅱ) 記函數(shù)g(x) =ax3+bx2+

39、cx+d(a≠0) 的圖象為曲線C, 類似于(Ⅰ) (ii) 的正確命題為:若對(duì)任意不等于-的實(shí)數(shù)x1, 曲線C與其在點(diǎn)P1(x1, g(x1) ) 處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2, g(x2) ) , 曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3, g(x3) ) , 線段P1P2, P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1, S2, 則為定值. 證明如下: 由g(x) =ax3+bx2+cx+d(a≠0) 得g(x) =3ax2+2bx+c, 所以曲線C在點(diǎn)(x1, g(x1) ) 處的切線方程為 y=(3a+2bx1+c) x-2a-b+d. 由得 (x-x1)

40、 2[a(x+2x1) +b]=0, 所以x=x1或x=--2x1, 即x2=--2x1, 故 S1=[ax3+bx2-(3a+2bx1) x+2a+b]dx=, 用x2代替x1, 重復(fù)上述計(jì)算過程, 可得 x3=--2x2和S2=. 又x2=--2x1且x1≠-, 所以S2===≠0, 故=. 　　39.(Ⅰ) 當(dāng)a=0時(shí), f(x) =x2ex, f (x) =(x2+2x) ex, 故f (1) =3e. 所以曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線的斜率為3e. (Ⅱ) f (x) =[x2+(a+2) x-2a2+4a]ex. 令f (x)

41、 =0, 解得x=-2a或x=a-2. 由a≠知, -2a≠a-2. 以下分兩種情況討論. ①若a>, 則-2a

42、 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極小值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) ea-2. ②若a<, 則-2a>a-2. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) 、f(x) 的變化情況如下表 x (-∞, a-2) a-2 (a-2, -2a) -2a (-2a, +∞) f (x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x) 在(-∞, a-2) , (-2a, +∞) 內(nèi)是增函數(shù), 在(a-2, -2a) 內(nèi)是減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x=a-2處取得極大值f(a-2) , 且f(a-2) =(4-3a) e

43、a-2. 函數(shù)f(x) 在x=-2a處取得極小值f(-2a) , 且f(-2a) =3ae-2a. 　　40.(Ⅰ) 因f(x) =ax2+bx+k(k>0) , 故f (x) =2ax+b, 又f(x) 在x=0處取得極值, 故f (0) =0, 從而b=0. 由曲線y=f(x) 在(1, f(1) ) 處的切線與直線x+2y+1=0相互垂直可知該切線斜率為2, 即f (1) =2, 有2a=2, 從而a=1. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知, g(x) =(k>0) , g(x) =(k>0) , 令g(x) =0, 有x2-2x+k=0(k>0) . ①當(dāng)Δ=4-4k<0, 即

44、當(dāng)k>1時(shí), g(x) >0在R上恒成立, 故函數(shù)g(x) 在R上為增函數(shù). ②當(dāng)Δ=4-4k=0, 即當(dāng)k=1時(shí), 有g(shù)(x) =>0(x≠1) , 從而當(dāng)k=1時(shí), g(x) 在R上為增函數(shù). ③當(dāng)Δ=4-4k>0, 即當(dāng)00, 故g(x) 在(-∞, 1-) 上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(1-, 1+) 時(shí), g(x) <0, 故g(x) 在(1-, 1+) 上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(1+, +∞) 時(shí), g(x) >0, 故g(x) 在(1+, +∞) 上為增函數(shù)

45、. 　　41.(Ⅰ) f (x) =(1+kx) ekx, f (0) =1, f(0) =0, 曲線y=f(x) 在點(diǎn)(0, f(0) ) 處的切線方程為y=x. (Ⅱ) 由f (x) =(1+kx) ekx=0得x=-(k≠0) . 若k>0, 則當(dāng)x∈時(shí), f (x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈時(shí), f (x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增. 若k<0, 則當(dāng)x∈時(shí), f (x) >0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞增; 當(dāng)x∈時(shí), f (x) <0, 函數(shù)f(x) 單調(diào)遞減. (Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, 若k>0, 則當(dāng)且僅當(dāng)-≤-1, 即k≤1時(shí), 函數(shù)f(x

46、) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增; 若k<0, 則當(dāng)且僅當(dāng)-≥1, 即k≥-1時(shí), 函數(shù)f(x) 在(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增. 綜上可知, 函數(shù)f(x) 在區(qū)間(-1, 1) 內(nèi)單調(diào)遞增時(shí), k的取值范圍是[-1, 0) ∪(0, 1]. 　　42.∵ f(x) =f1(x) ?f2(x) =-(x2-3c) (x-3b) +4bc=-x3+bx2+cx+bc, ∴f (x) =-x2+2bx+c. (Ⅰ) 由f(x) 在x=1處有極值-, 可得 解得或 若b=1, c=-1, 則f (x) =-x2+2x-1=-(x-1) 2≤0, 此時(shí)f(x) 沒有極值; 若b=-1,

47、c=3, 則f (x) =-x2-2x+3=-(x+3) (x-1) . 當(dāng)x變化時(shí), f(x) 、f (x) 的變化情況如下表: x (-∞, -3) -3 (-3, 1) 1 (1, +∞) f (x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 極小值-12 ↗ 極大值- ↘ ∴當(dāng)x=1時(shí), f(x) 有極大值-, 故b=-1, c=3即為所求. (Ⅱ) 設(shè)曲線y=f(x) 在x=t處的切線的斜率為c, ∵f (x) =-x2+2bx+c, ∴-t2+2bt+c=c, 即t2-2bt=0, 解得t=0或t=2b. 若t=0, 則f(0

48、) =bc, 得切點(diǎn)為(0, bc) , 切線方程為y=cx+bc; 若t=2b, 則f(2b) =b3+3bc, 得切點(diǎn)為, 切線方程為y=cx+bc+b3. ①若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc ? x3-3bx2=0, 解得x1=x2=0, x3=3b, 則此時(shí)切線y=cx+bc與曲線y=f(x) 的公共點(diǎn)為(0, bc) , (3b, 4bc) ; ②若-x3+bx2+cx+bc=cx+bc+b3? x3-3bx2+4b3=0, 解得x1=x2=2b, x3=-b, 此時(shí)切線y=cx+bc+b3與曲線y=f(x) 的公共點(diǎn)為 . 綜合可知, 當(dāng)b=0時(shí), 斜率為

49、c的切線與曲線y=f(x) 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)(0, 0) ; 當(dāng)b≠0時(shí), 斜率為c的切線與曲線y=f(x) 有兩個(gè)不同的公共點(diǎn), 分別為(0, bc) 和(3b, 4bc) 或和. (Ⅲ) g(x) =|f (x) |=|-(x-b) 2+b2+c|. ①當(dāng)|b|>1時(shí), 函數(shù)y=f (x) 的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1, 1]之外, ∴f (x) 在[-1, 1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得. 故M應(yīng)是g(-1) 和g(1) 中較大的一個(gè). ∴2M≥g(1) +g(-1) =|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|>4, 即M>2. ②當(dāng)|b|≤1時(shí), 函數(shù)y=f

50、 (x) 的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1, 1]內(nèi), 此時(shí)M=max{g(-1) , g(1) , g(b) }. 由f (1) -f (-1) =4b, 有f (b) -f (1) =(b?1) 2≥0. (i) 若-1≤b≤0, f (1) ≤f (-1) ≤f (b) , ∴g(-1) ≤max{g(1) , g(b) }, 于是M=max{|f (1) |, |f (b) |}≥(|f (1) |+|f (b) |) ≥|f (1) -f (b) |=(b-1) 2≥. (ii) 若0

51、ax{g(-1) , g(b) }, 于是M=max{|f (-1) |, |f (b) |}≥(|f (-1) |+|f (b) |) ≥|f (-1) -f (b) |=(b+1) 2>. 綜上, 對(duì)任意的b、c都有M≥. 而當(dāng)b=0, c=時(shí), g(x) =在區(qū)間[-1, 1]上的最大值M=, 故M≥k對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為. 　　43.(Ⅰ) 因?yàn)閒(x) =ax2+bx+c, 所以f (x) =2ax+b. 又因?yàn)榍€y=f(x) 通過點(diǎn)(0, 2a+3) , 故f(0) =2a+3, 而f(0) =c, 從而c=2a+3. 又曲線y=f(

52、x) 在(-1, f(-1) ) 處的切線垂直于y軸, 故f (-1) =0, 即-2a+b=0, 因此b=2a. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 得bc=2a(2a+3) =4-, 故當(dāng)a=-時(shí), bc取得最小值-. 此時(shí)有b=-, c=. 從而f(x) =-x2-x+, f (x) =-x-. g(x) =-f(x) e-x=e-x, 所以g(x) =[f(x) -f (x) ]e-x=-(x2-4) e-x. 令g(x) =0, 解得x1=-2, x2=2. 當(dāng)x∈(-∞, -2) 時(shí), g(x) <0, 故g(x) 在x∈(-∞, -2) 上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(-2

53、, 2) 時(shí), g(x) >0, 故g(x) 在x∈(-2, 2) 上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(2, +∞) 時(shí), g(x) <0, 故g(x) 在x∈(2, +∞) 上為減函數(shù). 由此可見, 函數(shù)g(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞, -2) 和(2, +∞) ;單調(diào)遞增區(qū)間為(-2, 2) . 　　44.(Ⅰ) f (x) =1-, 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f (2) =3, 于是a=-8. 由切點(diǎn)P(2, f(2) ) 在直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9. 所以函數(shù)f(x) 的解析式為f(x) =x-+9. (Ⅱ) f (x) =1-. 當(dāng)a≤0時(shí), 顯然f (x) >

54、0(x≠0) . 這時(shí)f(x) 在(-∞, 0) 、(0, +∞) 內(nèi)是增函數(shù);當(dāng)a>0時(shí), 令f (x) =0, 解得x=. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) 、f(x) 的變化情況如下表: x (-∞, -) - (-, 0) (0, ) (, +∞) f (x) + 0 - - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ ↘ 極小值 ↗ 所以f(x) 在(-∞, -) 、(, +∞) 內(nèi)是增函數(shù), 在(-, 0) 、(0, ) 內(nèi)是減函數(shù). (Ⅲ) 由(Ⅱ) 知, f(x) 在上的最大值為f與f(1) 中的較大者, 對(duì)于任意的a∈, 不等式

55、f(x) ≤10在上恒成立, 當(dāng)且僅當(dāng)即 對(duì)任意的a∈成立. 從而得b≤, 所以滿足條件的b的取值范圍是. 　　45.(Ⅰ) f (x) =a-, 于是解得或 因a, b∈Z, 故f(x) =x+. (Ⅱ) 證明:已知函數(shù)y1=x, y2=都是奇函數(shù), 所以函數(shù)g(x) =x+也是奇函數(shù), 其圖象是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形. 而f(x) =x-1++1. 可知, 函數(shù)g(x) 的圖象按向量a=(1, 1) 平移, 即得到函數(shù)f(x) 的圖象, 故函數(shù)f(x) 的圖象是以點(diǎn)(1, 1) 為中心的中心對(duì)稱圖形. (Ⅲ) 證明:在曲線上任取一點(diǎn). 由f (x0) =

56、1-知, 過此點(diǎn)的切線方程為 y-=(x-x0) . 令x=1得y=, 切線與直線x=1交點(diǎn)為. 令y=x得y=2x0-1, 切線與直線y=x交點(diǎn)為(2x0-1, 2x0-1) . 直線x=1與直線y=x的交點(diǎn)為(1, 1) . 從而所圍三角形的面積為 |2x0-1-1|=|2x0-2|=2. 所以, 所圍三角形的面積為定值2. 　　46.(Ⅰ) 求函數(shù)f(x) 的導(dǎo)數(shù): f (x) =3x2-1. 曲線y=f(x) , 在點(diǎn)M(t, f(t) ) 處的切線方程為: y-f(t) =f (t) (x-t) , 即y=(3t2-1) x-2t3. (Ⅱ) 證明:

57、如果有一條切線過點(diǎn)(a, b) , 則存在t, 使b=(3t2-1) a-2t3. 于是, 若過點(diǎn)(a, b) 可作曲線y=f(x) 的三條切線, 則方程2t3-3at2+a+b=0. 有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 記g(t) =2t3-3at2+a+b, 則g(t) =6t2-6at=6t(t-a) 當(dāng)t變化時(shí), g(t) , g(t) 變化情況如下表: t (-∞, 0) 0 (0, a) a (a, +∞) g(t) + 0 - 0 + g(t) ↗ 極大值a+b ↘ 極小值b-f(a) ↗ 由g(t) 的單調(diào)性, 當(dāng)極大值a

58、+b<0或極小值b-f(a) >0時(shí), 方程g(t) =0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)a+b=0時(shí), 解方程g(t) =0得t=0, t=, 即方程g(t) =0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)b-f(a) =0時(shí), 解方程g(t) =0, 得t=-, t=a, 即方程g(t) =0, 只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 綜上, 如果過(a, b) 可作曲線y=f(x) 三條切線, 即g(t) =0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根, 則即-a

59、 ) 處的切線方程為 y-=-(x-2) , 即6x+25y-32=0. (Ⅱ) f (x) =. =. 由于a≠0, 以下分兩種情況討論. (1) 當(dāng)a>0時(shí), 令f (x) =0, 得到x1=-, x2=a. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) , f(x) 的變化情況如下表: x - a (a, +∞) f (x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 所以f(x) 在區(qū)間, (a, +∞) 內(nèi)為減函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=-處取得極小值f, 且f=-a2. 函數(shù)f(x) 在x2=a處

60、取得極大值f(a) , 且f(a) =1. (2) 當(dāng)a<0時(shí), 令f (x) =0, 得到x1=a, x2=-. 當(dāng)x變化時(shí), f (x) , f(x) 的變化情況如下表: x (-∞, a) a - f (x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以f(x) 在區(qū)間(-∞, a) , 內(nèi)為增函數(shù), 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù). 函數(shù)f(x) 在x1=a處取得極大值f(a) , 且f(a) =1. 函數(shù)f(x) 在x2=-處取得極小值f, 且f=-a2. 　　48.(Ⅰ) 設(shè)y=f(x) 與y=g(x) (x>0) 在

61、公共點(diǎn)(x0, y0) 處的切線相同. ∵f (x) =x+2a, g(x) =, 由題意f(x0) =g(x0) , f (x0) =g(x0) . 即 由x0+2a=得x0=a或x0=-3a(舍去) . 則有b=a2+2a2-3a2ln a=a2-3a2ln a. 令h(t) =t2-3t2ln t(t>0) , 則h(t) =2t(1-3ln t) . 于是 當(dāng)t(1-3ln t) >0, 即00; 當(dāng)t(1-3ln t) <0, 即t>時(shí), h(t) <0. 故h(t) 在(0, -) 為增函數(shù), 在(, +∞) 為減函數(shù). 于是h

62、(t) 在(0, +∞) 的最大值為h() =. (Ⅱ) 證明:設(shè)F(x) =f(x) -g(x) =x2+2ax-3a2ln x-b(x>0) , 則F(x) =x+2a-=(x>0) . 故F(x) 在(0, a) 為減函數(shù), 在(a, +∞) 為增函數(shù), 于是函數(shù)F(x) 在(0, +∞) 上的最小值是 F(a) =F(x0) =f(x0) -g(x0) =0. 故當(dāng)x>0時(shí), 有f(x) -g(x) ≥0, 即當(dāng)x>0時(shí), f(x) ≥g(x) . 　　49.(Ⅰ) 因f(x) =x3+ax2+bx+1, 故f (x) =3x2+2ax+b. 令x=1, 得f

63、 (1) =3+2a+b, 由已知f (1) =2a, 因此3+2a+b=2a, 解得b=-3. 又令x=2, 得f (2) =12+4a+b, 由已知f (2) =-b, 因此12+4a+b=-b, 解得a=-. 因此f(x) =x3-x2-3x+1, 從而f(1) =-. 又因?yàn)閒 (1) =2=-3, 故曲線y=f(x) 在點(diǎn)(1, f(1) ) 處的切線方程為y-=-3(x-1) , 即6x+2y-1=0. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知g(x) =(3x2-3x-3) e-x, 從而有g(shù)(x) =(-3x2+9x) e-x. 令g(x) =0, 得-3x2+9x=0, 解得

64、x1=0, x2=3. 當(dāng)x∈(-∞, 0) 時(shí), g(x) <0, 故g(x) 在(-∞, 0) 上為減函數(shù); 當(dāng)x∈(0, 3) 時(shí), g(x) >0, 故g(x) 在(0, 3) 上為增函數(shù); 當(dāng)x∈(3, +∞) 時(shí), g(x) <0, 故g(x) 在(3, +∞) 上為減函數(shù); 從而函數(shù)g(x) 在x1=0處取得極小值g(0) =-3, 在x2=3處取得極大值g(3) =15e-3. 　　50.(Ⅰ) f (x) =-. 由于直線x+2y-3=0的斜率為-, 且過點(diǎn)(1, 1) , 故即解得a=1, b=1. (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知f(x) =+, 所以 f(x

65、) -=. 考慮函數(shù)h(x) =2ln x+(x>0) , 則h(x) =. (i) 設(shè)k≤0. 由h(x) =知, 當(dāng)x≠1時(shí), h(x) <0. 而h(1) =0, 故當(dāng)x∈(0, 1) 時(shí), h(x) >0, 可得h(x) >0; 當(dāng)x∈(1, +∞) 時(shí), h(x) <0, 可得h(x) >0. 從而當(dāng)x>0, 且x≠1時(shí), f(x) ->0, 即f(x) >+. (ii) 設(shè)00, 故h(x) >0. 而h(1) =0, 故當(dāng)x∈時(shí), h(x) >0, 可得h(x) <0. 與題設(shè)矛盾. (i

66、ii) 設(shè)k≥1. 此時(shí)h(x) >0, 而h(1) =0, 故當(dāng)x∈(1, +∞) 時(shí), h(x) >0, 可得h(x) <0. 與題設(shè)矛盾. 綜合得, k的取值范圍為(-∞, 0]. 　　51.(Ⅰ) 設(shè)Pk-1(xk-1, 0) , 由y=ex得Qk-1(xk-1, ) 點(diǎn)處切線方程為y-=(x-xk-1) , 由y=0得xk=xk-1-1(2≤k≤n) . (Ⅱ) 由x1=0, xk-xk-1=-1, 得xk=-(k-1) , 所以|PkQk|==e-(k-1) , 于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1) ==. 　　52.(Ⅰ) 由題可得f (x