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1、數學教學論文：初中二次函數在高中階段的應用 在初中教材中，對二次函數作了較詳細的研究，由于初中學生基礎薄弱，又受其接受能力的限制，這部份內容的學習多是機械的，很難從本質上加以理解。進入高中以后，尤其是高三復習階段，要對他們的基本概念和基本性質（圖象以及單調性、奇偶性、有界性）靈活應用，對二次函數還需再深入學習。 一、進一步深入理解函數概念 初中階段已經講述了函數的定義，進入高中后在學習集合的基礎上又學習了映射，接著重新學習函數概念，主要是用映射觀點來闡明函數，這時就可以用學生已經有一定了解的函數，特別是二次函數為例來加以更深認識函數的概念。二次函數是從一個集合A（定義域）到集合B（

2、值域）上的映射？：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對應，記為？（x）= ax2+ bx+c（a≠0）這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學生對函數的概念有一個較明確的認識，在學生掌握函數值的記號后，可以讓學生進一步處理如下問題： 類型I：已知？（x）= 2x2+x+2，求？（x+1） 這里不能把？（x+1）理解為x=x+1時的函數值，只能理解為自變量為x+1的函數值。 類型Ⅱ：設？（x+1）=x2－4x+1，求？（x） 這個問題理解為，已知對應法則？下，定義域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定

3、義域中元素X的象，其本質是求對應法則。 一般有兩種方法： （1）把所給表達式表示成x+1的多項式。 ？（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得？（x）=x2－6x+6 （2） 變量代換：它的適應性強，對一般函數都可適用。 令t=x+1，則x=t-1 ∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6從而？（x）= x2－6x+6 二、二次函數的單調性，最值與圖象。 在高中階階段學習單調性時，必須讓學生對二次函數y=ax2+bx+c在區(qū)間（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的單調性的結論用定義進行嚴格的論證，使它建立

4、在嚴密理論的基礎上，與此同時，進一步充分利用函數圖象的直觀性，給學生配以適當的練習，使學生逐步自覺地利用圖象學習二次函數有關的一些函數單調性。 類型Ⅲ：畫出下列函數的圖象，并通過圖象研究其單調性。 （1）y=x2+2|x－1|－1 （2）y=|x2－1| （3）= x2+2|x|－1 首先要使學生弄清楚題意，一般地，一個二次函數在實數集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當定義域發(fā)生變化時，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識，可以再給學生補充一些練習。 如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求該函數的值域。 三、二次函數的知識，

5、可以準確反映學生的數學思維： 類型Ⅴ：設二次函數？（x）=ax2+bx+c（a>0）方程？（x）－x=0的兩個根x1，x2滿足0

6、明顯有三條①圖象法②利用一元二次方程根與系數關系③利用一元二次方程的求根公式，輔之以不等式的推導。現以思路②為例解決這道題： （Ⅰ）先證明x<？（x），令？（x）=？（x）-x，因為x1，x2是方程？（x）-x=0的根，？（x）=ax2+bx+c，所以能？（x）=a（x－x1）（x－x2） 因為00，又a＞0，因此？（x） ＞0，即？（x）-x＞0.至此，證得x<？（x） 根據韋達定理，有 x1x2=ca ∵ 0＜x1＜x2<1a ，c=ax1x2

7、∴？（0）<？（x1）， 根據二次函數的性質，曲線y=？（x）是開口向上的拋物線，因此，函數y=？（x）在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在邊界點x=0或x=x1處達到，而且不可能在區(qū)間的內部達到，由于？（x1）>？（0），所以當x∈（0，x1）時？（x）<？（x1）=x1， 即x<？（x）0） 函數？（x）的圖象的對稱軸為直線x=－ b2a ，且是唯一的一條對稱軸，因此，依題意，得x0=－b2a ，因為x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根據違達定理得，x1+x2=－b-1a ，∵x2－1a <0， ∴x0=－b2a =12 （x1+x2－1a ）