《高三數學理33個黃金考點總動員 考點06 基本初等函數指數函數、對數函數、冪函數、二次函數解析版 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數學理33個黃金考點總動員 考點06 基本初等函數指數函數、對數函數、冪函數、二次函數解析版 Word版含解析（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2016屆高三數學33個黃金考點總動員 【考點剖析】 1.最新考試說明： 1.理解指數冪的概念，理解指數函數的單調性，會解決與指數函數性質有關的問題. 2.理解對數的概念及其運算性質，會用換底公式將一般對數轉化為自然對數或常用對數；了解對數在簡化運算中的作用． 3.理解對數函數的概念，能解決與對數函數性質有關的問題. 4.結合函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，的圖象，了解它們的變化情況． 2.命題方向預測： 1.指數函數的概念、圖象與性質是近幾年高考的熱點． 2.通過具體問題考查指數函數的圖象與性質，或利用指數函數的圖象與性質解決一些實際問題是重點，也是難點，同時考

2、查分類討論思想和數形結合思想． 3.高考考查的熱點是對數式的運算和對數函數的圖象、性質的綜合應用，同時考查分類討論、數形結合、函數與方程思想． 4.關于冪函數常以5種冪函數為載體，考查冪函數的概念、圖象與性質，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題． 5.二次函數的圖象及性質是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點． 6.題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn). 1. 課本結論總結： 指數與指數函數 1．分數指數冪 (1)規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是 (a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是 (a&

3、gt;0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義． (2)有理指數冪的運算性質：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指數函數的圖象與性質 對數與對數函數 1．對數的概念 如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數的底數，__N__叫做真數． 2．對數的性質與運算法則 (1)對數的運算法則 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝logaM＋log

4、aN；②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM (n∈R)；④logamMn＝logaM. (2)對數的性質 ①alogaN＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)． (3)對數的重要公式 ①換底公式：logbN＝ (a，b均大于零且不等于1)； ②logab＝，推廣logab·logbc·logcd＝logad. 3．對數函數的圖象與性質 二次函數與冪函數 1．二次函數 (1)二次函數解析式的三種形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠

5、0)． ③零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函數的圖象和性質 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調性 在x∈上單調遞減；在x∈上單調遞增 在x∈上單調遞減在x∈上單調遞增 對稱性 函數的圖象關于x＝對稱 2.冪函數 (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數稱為冪函數，其中x是自變量，α是常數． (2)冪函數的圖象比較 (3)冪函數的性質比較 特征 函數 性質

6、 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數 非奇非偶函數 奇函數 單調性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 4.名師二級結論： （1）根式與分數指數冪的實質是相同的，分數指數冪與根式可以相互轉化，通常利用分數指數冪進行根式的化簡運算． （2）指數函數的單調性是由底數a的大小決定的，因此解題時通常對底數

7、a按：0＜a＜1和a＞1進行分類討論． （3）換元時注意換元后“新元”的范圍． （4）對數源于指數，指數式和對數式可以互化，對數的性質和運算法則都可以通過對數式與指數式的互化進行證明． （5）解決與對數有關的問題時，(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍． （6）對數值的大小比較方法 化同底后利用函數的單調性、作差或作商法、利用中間量(0或1)、化同真數后利用圖象比較． （7）函數y＝f(x)對稱軸的判斷方法 1、對于二次函數y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函數y＝f(x)的圖象關于x＝對稱． 2、對于二次函數y＝f(x)對定義

8、域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱(a為常數)． 5.課本經典習題： (1)新課標A版第 70 頁，B組第 2 題 指數函數的圖象如圖所示，求二次函數的頂點的橫坐標的取值范圍． 1 答案：由圖可知指數函數是減函數，所以． 而二次函數的頂點的橫坐標為， 所以，即二次函數的頂點的橫坐標的取值范圍是． 【經典理由】有效把指數函數和二次函數相結合 (2)新課標A版第 60 頁，B組第 4 題 設其中確定為何值時，有： 【解析】（1）3x+1=-2x時，得x=-; (2)時，單

9、調遞增，由于，得3x+1>-2x得x>-, ，單調遞減，由于，得3x+1-2x解得x-． 【經典理由】根據a的取值進行分類討論 (3)新課標A版第 72 頁，例8 比較下列各組數中兩個數的大?。? （1）log 2 3 . 4 與 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 與 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 與 log a 5 . 9 (且)． 解：（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函數且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；

10、 （2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是減函數且 1 . 8＜2 . 7， ∴l(xiāng)og 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7； （3）解：當時，∵ y = log a x在( 0 , + ∞) 上是增函數且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1log a 5 . 9， 當0＜a＜1時，∵ y = log a x在 ( 0 , + ∞) 上是減函數且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ． 【經典理由】以對數函數為載體，考查對數運算和對數函數的圖象與性質的應用 (4)新課標A版第

11、 822 頁，A組第10題 已知冪函數，試求出此函數的解析式，并作出圖像，判斷奇偶性、單調性． 【分析】根據冪函數的概念設，將點的坐標代入即可求得n值，從而求得函數解析式．要判斷函數的奇偶性我們可以根據函數奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，判斷函數圖象在（0，+∞）的單調性，進而畫出函數的圖象． 【解析】設,因為冪函數, ， 這個函數解析式為 ． 定義域為（0，+∞），它不關于原點對稱， 所以，y=f（x）是非奇非偶函數． 當x＞0時，f（x）是單調減函數，函數的圖象如圖． 【經典理由】本題通過待定系數法求冪函數解析式、解指數方程的解法、奇（偶）函數性、冪函數圖象考查學生對冪

12、函數有關知識的掌握程度和對知識的綜合應用能力 6.考點交匯展示： (1)基本初等函數與集合交匯 例1【河北省“五個一名校聯(lián)盟”2015高三教學質量監(jiān)測(一)1】設集合，，則( ) A.AB B.AB C.AB D.AB 【答案】B 考點：1.一元二次不等式解法；2.指數不等式解法；3.集合間關系與集合運算. 例2 設集合，，則等于 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】M＝，N＝，故＝ 考點：1.簡單不等式的解法；2.對數函數的性質；3.集合的運算. (2)基本初

13、等函數與基本不等式交匯 例1【成都石室中學2014屆高三上期“一診”模擬考試（一）】已知二次函數的值域為，則的最小值為 . 【答案】3 【解析】由題意得：. 考點：1.二次函數的圖象和性質；2.基本不等式. 【考點分類】 熱點1 指數函數、對數函數 1. 【2015高考四川，理8】設a，b都是不等于1的正數，則“”是“”的 （ ） （A） 充要條件 （B）充分不必要條件 （C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 考點:1.充要條件；2.指數函數、對數函數的性質. 2. 設，函數在單調遞

14、減，則（ ） A．在上單調遞減，在上單調遞增 B．在上單調遞增，在上單調遞減 C．在上單調遞增，在上單調遞增 D．在上單調遞減，在上單調遞減 【答案】A 【解析】由的圖像可知，函數在在上單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，因函數在單調遞減，故根據同增異減可知，故答案為A． 考點：1.對數函數的性質；2.復合函數的單調性. 3.【2014遼寧高考理第3題】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：所以，故選C. 考點：1.指數對數化簡；2.不等式大小比較. 4. 下列函數中，在內單調遞減，并且是偶函數的是（ ）

15、 A． B． C． D． 【答案】C 考點：函數奇偶性與單調性． 【方法規(guī)律】 1.求解與指數函數有關的復合函數問題，首先要熟知指數函數的定義域、值域、單調性等相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷，最終將問題歸納為內層函數相關的問題加以解決． 2.對數式的化簡與求值的常用思路(1)先利用冪的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數冪的形式，使冪的底數最簡，然后正用對數運算法則化簡合并． (2)先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對數真數的積、商、冪再運算. 3．比較對

16、數值大小時若底數相同，構造相應的對數函數，利用單調性求解；若底數不同，可以找中間量，也可以用換底公式化成同底的對數再比較． 4．利用對數函數的性質，求與對數函數有關的復合函數的值域和單調性問題，必須弄清三方面的問題，一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的． 【解題技巧】 1.圖像題要注意根據圖像的單調性和特殊點判斷 2.指數形式的幾個數字比大小要注意構造相應的指數函數和冪函數 3．判斷指數函數圖象上底數大小的問題，可以先通過令x＝1得到底數的值再進行比較． 4．指數函數y＝ax (a>0，a≠1

17、)的性質和a的取值有關，一定要分清a>1與0<a<1. 5．對和復合函數有關的問題，要弄清復合函數由哪些基本初等函數復合而成． 【易錯點睛】 1. 求解復合函數的單調性要注意“同增異減”的應用 2. 涉及到對數函數的運算是要首先考慮其定義域 3.恒成立問題一般與函數最值有關，要與方程有解區(qū)別開來． 4.復合函數的問題，一定要注意函數的定義域． 5.對可化為a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助換元法解決，但應注意換元后“新元”的范圍. 6.在運算性質logaMα＝αlogaM中，要特別注意條件

18、，在無M＞0的條件下應為logaMα＝αloga|M|(α∈N＋，且α為偶數)． 7.解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值 例1：方程的解是_________. 【答案】 【解析】,,,. 【易錯點】應用換元法的時候要注意選取合適的元，且要注意元的取值范圍 例2：設a＞0且a≠1，函數f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，則不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為________． 【答案】{x|2＜x＜3} 【解析】∵函數y＝lg(x2－2x＋3)有最小值，f(x)＝alg(x2－2x＋3)有最大值，∴0

19、＜a＜1. ∴由loga(x2－5x＋7)>0，得0＜x2－5x＋7＜1， 解得2＜x＜3. ∴不等式loga(x2－5x＋7)>0的解集為{x|2＜x＜3}． 【易錯點】指數函數和對數函數中注意討論底數a的大小，復合函數的單調性往往也和a的取值有關 熱點2 冪函數、二次函數 1. 【2015高考天津，理8】已知函數 函數 ，其中，若函數 恰有4個零點，則的取值范圍是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】D 考點:求函數解析、函數與方程思、數形結合. 2.【2014高考江蘇卷第10題】已知函數，若對于任意的都

20、有，則實數的取值范圍為 . 【答案】 【解析】據題意解得． 考點:二次函數的性質． 3.【2014浙江高考理第15題】設函數若，則實數的取值范圍是______ 【答案】 考點：1.分段函數；2.二次函數的性質. 4.【2014高考上海理科第9題】若，則滿足的取值范圍是 . 【答案】 【解析】根據冪函數的性質，由于，所以當時，當時，，因此的解集為. 考點：冪函數的性質. 【方法規(guī)律】 1.二次函數在閉區(qū)間上的最值與拋物線的開口方向、對稱軸位置、閉區(qū)間三個要素有關； 2.常結合二次函數在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數圖象的頂點處取

21、得最值.二次函數、二次方程、二次不等式之間可以相互轉化．一般規(guī)律(1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解． 3.冪函數y＝xα的圖象與性質由于α的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查 (1)α的正負：α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． (2)曲線在第一象限的凹凸性：α>1時，曲線下凸；0<α<1時，

22、曲線上凸；α<0時，曲線下凸． 4．二次函數、二次方程、二次不等式間相互轉化的一般規(guī)律： (1)在研究一元二次方程根的分布問題時，常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從：①開口方向；②對稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有關問題時，一般需借助于二次函數的圖象、性質求解． 5．冪函數y＝xα(α∈R)圖象的特征 α>0時，圖象過原點和(1,1)，在第一象限的圖象上升；α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立． 【解題技巧】 2. 做二次函數類型題是注意數形結合的應用，畫出函數的草圖能幫助我們理清

23、思路 3. 二次函數中如果含有參數，往往要進行分類討論 3.對于函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況． 4.冪函數的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數的奇偶性；冪函數的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內；如果冪函數圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點. 【易錯點睛】 1.注意冪函數與指數函數的聯(lián)系與區(qū)別 2.冪函數的增減與α的關系 3.對于函數y＝ax2＋bx＋c，要認為它是二次函數，就必須滿足a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0

24、和a≠0兩種情況． 例 如圖是函數(m、n∈N*，m、n互質)的圖象，則下列判斷正確的是________． ①m、n是奇數，且＜1 ②m是偶數，n是奇數且＞1 ③m是偶數，n是奇數且＜1 ④m是奇數，n是偶數且＞1 解析：將分數指數式化為根式，由定義域為R，值域為[0，＋∞)知n為奇數，m為偶數，又由冪函數y＝xα，當α＞1時，圖象在第一象限的部分下凸，當0＜α＜1時，圖象在第一象限的部分上凸，故③正確． 答案：③ 【易錯點】冪函數的單調性和a有關，注意a與0和1的比較 【熱點預測】 1.函數的單調增區(qū)間與值域相同，則實數的取值為( ) A． B．

25、 C． D． 【答案】B 【解析】函數的單調增區(qū)間為當為函數的最小值，故有 2.函數的圖象過一個定點P，且點P在直線上，則的最小值是（ ） A.12 B.13 C.24 D.25 【答案】D 3.已知函數,且函數恰有3個不同的零點,則實數的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，其頂點為，點在函數圖象上，而點不在函數圖象上.結合圖形可知，當，函數恰有3個不同的零點. 4.已知函數的值域是，則實數的取值范圍是 ( ) A．； B

26、．； C．； D．. 【答案】C 5.已知函數是定義在實數集上的以2為周期的偶函數，當時，.若直線與函數的圖像在內恰有兩個不同的公共點，則實數的值是( ) A．或； B．0； C．0或； D．0或. 【答案】D 【解析】根據已知可得函數，在直角坐標系中作出它的圖象，如圖，再作直線，可見當直線與拋物線相切時，或者直線過原點時，符合題意，此時或. 6.【河南省安陽一中2015屆高三第一次月考】設函數在區(qū)間內有零點，則實數的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】Ｃ 7.【北京市重點中學2015屆高三8月開學測試】函數的零點個數

27、為（ ） A. B. C. D. 【答案】B. 【解析】 試題分析：令，則，即，如圖，分別作出與的圖象，則可知有兩個交點，即零點個數為兩個. 8.【2014天津高考理第4題】函數的單調遞增區(qū)間是 （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 9.【2015高考浙江，理12】若，則 ． 【答案】. 【解析】∵，∴，∴. 10.【2015高考上海，理7】方程的解為 ． 【答案】 【解析】設，則 11.已知函數是奇函數，則函數的定義域為 【答案】 【解析】

28、 本題定義域不確定，不要用奇函數的必要條件來求參數，而就根據奇函數的定義有，即，化簡得恒成立，所以，則.由，解得. 12.【2015高考湖南，理15】已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值范圍是 . 【答案】. 13.【2015高考四川，理15】已知函數，（其中）.對于不相等的實數，設，.現(xiàn)有如下命題： （1）對于任意不相等的實數，都有； （2）對于任意的a及任意不相等的實數，都有； （3）對于任意的a，存在不相等的實數，使得； （4）對于任意的a，存在不相等的實數，使得. 其中的真命題有 （寫出所有真命題的序號）. 【

29、答案】①④ 【解析】 設. 對（1），從的圖象可看出，恒成立，故正確. 對（2），直線CD的斜率可為負，即，故不正確. 對（3），由m=n得，即. 令，則. 由得：，作出的圖象知，方程不一定有解，所以不一定有極值點，即對于任意的a，不一定存在不相等的實數，使得，即不一定存在不相等的實數，使得.故不正確. 對（4），由m=－n得，即. 令，則. 由得：，作出的圖象知，方程必一定有解，所以一定有極值點，即對于任意的a，一定存在不相等的實數，使得，即一定存在不相等的實數，使得.故正確. 所以（1）（4） 14.【2015高考浙江，理18】已知函數，記是在區(qū)間上的最大值. （1） 證明：當時，； （2）當，滿足，求的最大值. 【答案】（1）詳見解析；（2）. ，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為.