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2018-2019學年高二數(shù)學上學期期末考試試卷 文(重點班，含解析) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求) 1.如圖，一個空間幾何體正視圖與左視圖為全等的等邊三角形，俯視圖為一個半徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由三視圖可知，該幾何體表示底面半徑為，母線長為， 所以該幾何體的表面積為，故選B. 2.如圖，函數(shù)y＝f(x)在A，B兩點間的平均變化率等于(　 　) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)平均變化率的概念求解. 【詳解】易知f1=3，f3=1，因此f3?f13?1=?1，故選D 【點睛】求平均變化率的一般步驟：①求自變量的增量△x=x2-x1，②求函數(shù)值的增量△y=f（x2）- f（x1），③求函數(shù)的平均變化率ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1 . 3.下列導數(shù)公式正確的是( ) A. xn′=nxn B. 1x′=1x2 C. sinx′=?cosx D. ex′=ex 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，依次分析選項，計算選項中函數(shù)的導數(shù)，分析即可得答案． 【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項： 對于A，（xn）＝nxn﹣1，A錯誤； 對于B，（1x）′=-1x2，B錯誤； 對于C，（sinx）′＝cosx，C錯誤； 對于D，ex=ex，D正確； 故選：D． 【點睛】本題考查導數(shù)的計算，關鍵是掌握基本函數(shù)的導數(shù)計算公式，屬于基礎題. 4.為方程的解是為函數(shù)f(x)極值點的 （ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】 x0是f′(x)=0的解，則x0是函數(shù)f(x)的極值點或拐點；若x0是函數(shù)f(x)的極值點，則有f′(x0)=0。所以“x0是f′(x)=0的解”是“x0是函數(shù)f(x)的極值點”的必要不充分條件，故選B 5.在平面直角坐標系xOy中，點P的直角坐標為(1,?3).若以原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，則點P的極坐標可以是 A. (2,?π3) B. (2,4π3) C. (1,?π3) D. (2,?4π3) 【答案】A 【解析】 【分析】 由極坐標與直角坐標轉化式，將點坐標直接進行轉化即可。 【詳解】根據(jù)直角坐標與極坐標轉化方程， ρ2=x2+y2tanθ=yx ，代入得ρ=2θ=?π3 所以選A 【點睛】本題考查了極坐標與直角坐標的轉化，熟練記憶轉化公式是關鍵，是基礎題。 6.極坐標方程ρ＝1表示(　 　) A. 直線 B. 射線 C. 圓 D. 橢圓 【答案】C 【解析】 【分析】 先由極坐標方程ρ=1，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，進行代換即可得直角坐標方程，再利用直角坐標方程進行判斷即可得答案. 【詳解】將方程ρ=1化成直角坐標方程為x2+y2=1， 所以其表示的是以原點為圓心，以1為半徑的圓， 故選C. 【點睛】該題考查的是有關判斷曲線形狀的問題，涉及到的知識點有極坐標與平面直角坐標的轉化，另一種做法就是根據(jù)極徑的幾何意義，確定出其為滿足到極點的距離為定值1的動點的軌跡，從而得到結果. 7.在同一平面直角坐標系中，將曲線y＝13cos2x按伸縮變換x′=2xy′=3y后為( 　) A. y′＝cos x′ B. y′＝3cos12x′ C. y′＝2cos13x′ D. y′＝12cos 3x′ 【答案】A 【解析】 【分析】 把伸縮變換的式子變?yōu)橛脁,y表示x,y，再代入原方程即可求出結果. 【詳解】因為伸縮變換x=2xy=3y， 所以x=12x,y=13y，代入y=13cos2x，可得13y=13cos?(212x)， 化簡可得y=cosx， 故選A. 【點睛】該題考查的是有關伸縮變換后曲線方程的求解問題，涉及到的知識點有伸縮變換規(guī)律對應點的坐標之間的關系，屬于簡單題目. 8.已知函數(shù)y=f(x)，其導函數(shù)y=f(x)的圖像如圖所示，則y=f(x)（ ） A. 在(?∞,0)上為減函數(shù) B. 在x=0處取極小值 C. 在(4,+∞)上為減函數(shù) D. 在x=2處取極大值 【答案】C 【解析】 ：由導函數(shù)的圖像可知：x∈(?∞,0)∪(2,4)時，f(x)>0，x∈(0,2)∪(4,+∞)時，f(x)<0，因此f(x)在(?∞,0),(2,4)為增函數(shù)，在(0,2),(4,+∞)為減函數(shù)，所以x=0取得極大值，x=2取得極小值，x=4取得極大值，因此選C。 9.設函數(shù)f(x)=ax+3,若f′(1)=3,則等于( ) A. 2 B. -2 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】 對f(x)求導，令f(1)=3，即可求出的值. 【詳解】因為f(x)=ax+3，所以f(x)=a， 又因為f(1)=3， 所以a=3，故選C. 【點睛】該題考查的是有關根據(jù)某個點處的導數(shù)，求參數(shù)的值的問題，涉及到的知識點有函數(shù)的求導公式，屬于簡單題目. 10.函數(shù)y=f(x)的圖像在x=5處的切線方程是y=?2x+8,則f(5)?f′(5)等于() A. 1 B. 0 C. 2 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】 據(jù)切點處的導數(shù)值為切線的斜率，故f(5)為切線斜率，又由切線方程是y=?2x+8，即斜率為?2，故f(5)=?2，又f(5)為切點縱坐標，據(jù)切點坐標與斜率可求得答案. 【詳解】因為f(5)=?25+8=?2，f(5)=?2， 故f(5)?f(5)=0， 故選B. 【點睛】該題考查的是有關某個點處的函數(shù)值與導數(shù)的值的運算結果問題，涉及到的知識點有切點在切線上，切線的斜率即為函數(shù)在該點處的導數(shù)，從而求得結果. 11.如果函數(shù)f(x)=ax3?x2+x?5在-∞，+∞上單調遞增,則的取值范圍是( ) A. a>13 B. a≥13 C. a<13 D. a≤13 【答案】B 【解析】 【分析】 已知函數(shù)f(x)=ax3?x2+x?5在(?∞,+∞)上單調遞增，對其進行求導轉化為f(x)≥0在x∈R恒成立，從而求解得結果. 【詳解】因為函數(shù)f(x)=ax3?x2+x?5在(?∞,+∞)上單調遞增， 所以f(x)=3ax2?2x+1≥0在x∈R恒成立， 所以a>0Δ=4?43a≤0， 解得a≥13，故選B. 【點睛】該題考查的是根據(jù)函數(shù)在定義域上單調求參數(shù)的取值范圍的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的符號與函數(shù)的單調性的關系，易錯點就是導數(shù)大于等于零，而不是大于零. 12.對于函數(shù)f(x)=x3?3x2,給出下列命題:(1)f(x)是增函數(shù),無最值;(2)f(x)是減函數(shù),無最值;(3)f(x)的遞增區(qū)間為-∞，0和2，+∞,遞減區(qū)間為0,2;(4)f(0)=0是最大值,f(2)=?4是最小值.其中正確的有( ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 【答案】A 【解析】 【分析】 令f(x)=0，求得x=0或x=2，再利用導數(shù)的符號求得函數(shù)的單調區(qū)間，從而得到函數(shù)的極值，從而得出結論. 【詳解】對于函數(shù)f(x)=x3?3x2，求得f(x)=3x2?6x=3x(x?2)， 令f(x)=0，求得x=0或x=2， 在(?∞,0)上，f(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)； 在(0,2)上，f(x)<0，函數(shù)f(x)為減函數(shù)； 在(2,+∞)上，f(x)>0，函數(shù)f(x)為增函數(shù)；從而得到函數(shù)沒有最大最小值， 故排除①②④，只有③正確， 故選A. 【點睛】該題考查的是有關正確命題的個數(shù)問題，涉及到的知識點有函數(shù)的單調性與導數(shù)符號的關系，函數(shù)極值的概念，極值與最值的關系，屬于中檔題目. 二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13.函數(shù)y=?1x在12，-2處的切線方程是____________________ 【答案】y=4x?4 【解析】 【分析】 首先利用求導公式對函數(shù)求導，將x=12代入導函數(shù)解析式，求得導函數(shù)在x=12處的函數(shù)值，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，可知導數(shù)即為切線的斜率，根據(jù)點斜式方程，寫出切線的方程，化簡求得結果. 【詳解】由y=?1x得y=1x2，所以y|x=12=4，所以切線的斜率為4， 根據(jù)點斜式可知所求的切線方程為y?(?2)=4(x?12)，化簡得y=4x?4， 故答案為y=4x?4. 【點睛】該題考查的是導數(shù)的幾何意義，首先要求出函數(shù)的導數(shù)，涉及到的知識點有函數(shù)的求導公式，直線方程的點斜式，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵. 14.在極坐標系中，圓ρ=4sinθ的圓心到直線θ=π6(ρ∈R)的距離是_____ 【答案】3 【解析】 圓ρ=4sinθ?x2+(y?2)2=4的圓心C(0,2) 直線l:θ=π6(ρ∈R)?x?3y=0；點C到直線的距離是|0?23|2=3 【此處有視頻，請去附件查看】 15.曲線C的直角坐標方程為x2＋y2-2x=0，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立積坐標系，則曲線C的極坐標方程為___________。 【答案】ρ=2cosθ 【解析】 將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcosθ代入x2＋y2－2x＝0得ρ2－2ρcosθ＝0，整理得ρ＝2cosθ 【此處有視頻，請去附件查看】 16. 已知函數(shù)y＝xf′（x）的圖象如圖所示（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導函數(shù)），給出以下說法： ①函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，＋∞）上是增函數(shù)； ②函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1,1）上無單調性； ③函數(shù)f（x）在x＝－12處取得極大值； ④函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值．其中正確的說法有________． 【答案】①④ 【解析】 試題分析：由圖像可知當x0; 當?10,可得此時f(x)<0; 當01時xf(x)>0,可得此時f(x)>0, 綜上可得x1時f(x)>0;當?10，即x<-2或x>2，函數(shù)f(x)單調遞增， 當f(x)<0，即-205?2x>0x>0?x∈(0,52)……………6分 V=12x2?52x+40,令V=0,得x=1,或x=103，x=103（舍去）…10分 V極大值=V(1)=18，在定義域內僅有一個極大值， ∴V最大值=18…14分 22.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD,E,F是線段AB上的兩點,且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使兩點A,B重合于點G,得到多面體CDEFG（1）求證：平面DEG ⊥平面CFG;（2）求多面體CDEFG的體積 【答案】：（Ⅰ）見解析（Ⅱ）16 【解析】 ：（Ⅰ）證明：因為DE⊥EF,CF⊥EF，所以四邊形平面CDEF為矩形， 由GD=5,DE=4，得CE=GD2?CF2=4所以EF=5，在△EFG中 ， 有EF2=GE2+FG2，所以EG⊥GF又因為CF⊥EF,CF⊥FG， 得CF⊥平面EFG， 所以CF⊥EG，所以EG⊥平面CFG，即平面DEG ⊥平面CFG; （Ⅱ）：在平面EGF中，過點G作GH⊥EF于點H， 則GH=EG?GFEF=125 因為平面CDEF ⊥平面EFG， 得平面， 【此處有視頻，請去附件查看】