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2019-2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 文(重點(diǎn)班，含解析) 一、選擇題（每小題5分，12小題共60分）： 1. 已知之間的一組數(shù)據(jù)如表所示，對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)在給出如下擬合直線，則根據(jù)最小二乘法思想判斷擬合程度最好的直線是（ ） 2 3 4 5 6 3 4 6 8 9 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)最小二乘法的思想得變量x與y間的線性回歸直線方程必過點(diǎn)（，），故只需計(jì)算，，并代入選項(xiàng)即可得正確結(jié)果． 【詳解】根據(jù)最小二乘法的思想得變量x與y間的線性回歸直線必過點(diǎn)（，）， 則==4，==6， A．y=x+1，當(dāng)x=4時，y=5，不成立； B．y=2x﹣1，當(dāng)x=4時，y=7≠6，不成立； C．y=1.6x﹣0.4，當(dāng)x=4時，y=6，適合 D．y=1.5x+0.1，當(dāng)x=4時，y=6.1，不成立. 故選：C 【點(diǎn)睛】本題考查了最小二乘法的思想，線性回歸方程的特點(diǎn)，理解最小二乘法，記住回歸直線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵． 2. 復(fù)數(shù)5i?2的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A i +2 B i -2 C -i -2 D 2 - i 【答案】B 【解析】 5i?2=5(i+2)(i?2)(i+2)=?2?i,所以其共軛復(fù)數(shù)為?2+i. 3. 如圖框圖屬于（ ） A. 流程圖 B. 結(jié)構(gòu)圖 C. 程序框圖 D. 工序流程圖 【答案】A 【解析】 本框圖顯然屬于順序結(jié)構(gòu)的流程圖. 4. 變量x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)x取值16,14,12,8時，通過觀測得到y(tǒng)的值分別為11,9，8,5，若在實(shí)際問題中，y的預(yù)報最大取值是10，則x的最大取值不能超過( ) A. 16 B. 17 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本題考查的知識點(diǎn)是線性回歸方程的求法，由已知中x取值為16，14，12，8時，y的值分別為11，9，8，5．我們可以計(jì)算出x=12.5，y=8.25，∑xiyi=438，∑xi2=660．代入回歸系數(shù)計(jì)算公式即可計(jì)算出斜率b的值，再由a=y-bx可以求出a值，代入即可得到回歸直線的方程．再將y的預(yù)報最大取值是10代入，即得答案． 【詳解】由題意得： x=12.5，y=8.25，∑xiyi=438，∑xi2=660． 則b=438-4128.25660-412.52≈0.7286，a=y-bx=-0.8575， 故回歸直線方程為y^=-8575+0.7286x， 由y^≤10， 得x≤14.90， 故x的最大值是15． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程，屬于難題.求回歸直線方程的步驟：①依據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，確定兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②計(jì)算x,y,i=1nxi2,i=1nxiyi的值；③計(jì)算回歸系數(shù)a,b；④寫出回歸直線方程為y=bx+a； 回歸直線過樣本點(diǎn)中心x,y是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計(jì)總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢. 5. 下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖牵? ） A. “若a?3=b?3,則a=b”類推出“若a?0=b?0,則a=b” B. “若(a+b)c=ac+bc”類推出“(a?b)c=ac?bc” C. “若(a+b)c=ac+bc” 類推出“a+bc=ac+bc c≠0” D. “abn=anbn” 類推出“a+bn=an+bn” 【答案】C 【解析】 【分析】 判斷一個推理過程是否是類比推理關(guān)鍵是看他是否符合類比推理的定義，即是否是由特殊到與它類似的另一個特殊的推理過程．另外還要看這個推理過程是否符合實(shí)數(shù)的性質(zhì)． 【詳解】對于A：“若a?3=b?3，則a=b”類推出“若a?0=b?0，則a=b”是錯誤的，因?yàn)?乘任何數(shù)都等于0， 對于B：“若（a+b）c=ac+bc”類推出“（a?b）c=ac?bc”，類推的結(jié)果不符合乘法的運(yùn)算性質(zhì)，故錯誤， 對于C：將乘法類推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”類推出“a+bc=+bc”是正確的， 對于D：“（ab）n=anbn”類推出“（a+b）n=an+bn”是錯誤的，如（1+1）2=12+12 故選：C． 【點(diǎn)睛】歸納推理與類比推理不一定正確，我們在進(jìn)行類比推理時，一定要注意對結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證，如果要證明一個結(jié)論是正確的，要經(jīng)過嚴(yán)密的論證，但要證明一個結(jié)論是錯誤的，只需要舉出一個反例． 6. 用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，假設(shè)正確的是（ ） A. 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B. 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度 C. 假設(shè)三內(nèi)角至少有一個大于60度 D. 假設(shè)三內(nèi)角至多有二個大于60度 【答案】B 【解析】 試題分析：由于本題所給的命題是一個特稱命題，故它的否定即為符合條件的反設(shè)，寫出其否定，對照四個選項(xiàng)找出答案即可 解：用反證法證明命題：“一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60”時，應(yīng)由于此命題是特稱命題，故應(yīng)假設(shè)：“三角形中三個內(nèi)角都小于60” 故選：B 點(diǎn)評：本題考查反證法的基礎(chǔ)概念，解答的關(guān)鍵是理解反證法的規(guī)則及特稱命題的否定是全稱命題，本題是基礎(chǔ)概念考查題，要注意記憶與領(lǐng)會． 7. 方程x=t+1ty=2（t為參數(shù)）表示的曲線是（ ）. A. 一條直線 B. 兩條射線 C. 一條線段 D. 拋物線的一部分 【答案】B 【解析】 試題分析：由于x=t+1ty=2，所以當(dāng)t>0時，x=t+1t≥2，當(dāng)t<0時，x=t+1t=?[(?t)+(?1t)]≤?2，所以方程x=t+1ty=2（為參數(shù)）表示的曲線是表示直線y=2(x≤?2或x≥2)，故選B. 考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程與普通方程的互化. 8. 設(shè)a<0,-1ab>a C. ab＞ab2＞a D. ab>a>ab2 【答案】C 【解析】 【分析】 利用不等式的性質(zhì)和“作差法”即可得出． 【詳解】∵﹣1＜b＜0，a＜0，∴ab＞0，b＜0＜1．b2＜1． ∴ab﹣ab2=ab（1﹣b）＞0，ab2﹣a=a（b2﹣1）＞0． ∴ab＞ab2＞a． 故選：C． 【點(diǎn)睛】熟練掌握不等式的性質(zhì)和“作差法”是解題的關(guān)鍵． 9. 曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ化為直角坐標(biāo)為（ ） A. x2+(y+2)2=4 B. x2+(y?2)2=4 C. (x?2)2+y2=4 D. (x+2)2+y2=4 【答案】B 【解析】 此題考查極坐標(biāo)方程的知識 ∵sinθ=yρ?????????????∴ρ=4yρ???????????????∴ρ2=4y??????????∵ρ2=x2+y2???∴x2+y2=4y???∴x2+(y?2)2=4答案 B 點(diǎn)評：通過極坐標(biāo)的公式就可以直接轉(zhuǎn)化 10. 集合A=0,2,a,B=1,a2,若A∪B=0,1,2,4,16,則的值為 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 由題意，得，解得． 考點(diǎn)：集合的運(yùn)算． 11. 已知命題“若p，則q”為真，則下列命題中一定為真的是(　　) A. 若p，則q B. 若q，則p C. 若q，則p D. 若q，則p 【答案】B 【解析】 【分析】 根據(jù)原命題與逆否命題同真同假作出判斷. 【詳解】若命題“若p則q”為真 則其逆命題，否命題真假不確定 只有其逆否命題“若q則p”為真命題 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是四種命題的真假關(guān)系，其中利用互為逆命題同真同假的原則易判斷原命題的逆否命題為真命題，是解答本題的關(guān)鍵． 12. 下列命題中的假命題是(　　) A. 任意x∈R，x3＞0 B. 存在x∈R，sin x＝0 C. 存在x∈R，lg x＝1 D. 任意x∈R，2x＞0 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)含有量詞的命題的真假判斷方法進(jìn)行判斷即可． 【詳解】對于A， 當(dāng)x≤0時，x3≤0，錯誤； 對于B，當(dāng)x=π時，sin x＝0，正確； 對于C，當(dāng)x=10時，lg x=1，正確； 對于D，任意x∈R，2x＞0，正確． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題． 填空題（每小題4分，共20分） 13. 集合A=0,2,a,B=1,a2,若A∪B=0,1,2,4,16,則a的值為 _____. 【答案】4 【解析】 【分析】 根據(jù)題意，由并集的計(jì)算方法，結(jié)合a與a2的關(guān)系，易得 &a2=16&a=4，即可得答案． 【詳解】∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16} ∴&a2=16&a=4 ∴a=4， 故答案為：4． 【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算，并用觀察法得到相對應(yīng)的元素，從而求得答案，本題屬于容易題． 14. 已知命題p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0，則p為_____. 【答案】?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0 【解析】 【分析】 根據(jù)題意把全稱命題改寫為特稱命題. 【詳解】∵命題p：?x∈(1，＋∞)，log3x＞0， ∴p為：?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0 故答案為：?x0∈(1，＋∞)，log3x0≤0 【點(diǎn)睛】否命題與命題的否定形式的區(qū)別，前者是對條件結(jié)論都否定，后者只對結(jié)論做否定． 15. “p或q”為真命題是“p且q”為真命題的________條件. 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】 由真值表可知若p∧q為真命題，則p、q都為真命題，從而p∨q為真命題，反之不成立，故由充要條件定義知p∨q為真命題是p∧q為真命題的必要不充分條件 【詳解】∵p∨q為真命題，則p、q中只要有一個命題為真命題即可，p∧q為真命題，則需兩個命題都為真命題， ∴p∨q為真命題不能推出p∧q為真命題，而p∧q為真命題能推出p∨q為真命題 ∴p∨q為真命題是p∧q為真命題的必要不充分條件 故答案為 必要不充分 【點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p? q”為真，則p是q的充分條件． 2．等價法：利用p? q與非q?非p， q? p與非p?非q， p? q與非q?非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價法． 3．集合法：若A? B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 16. 已知x>0,y>0，且1x+9y=1，求x+y的最小值________. 【答案】16. 【解析】 【分析】 利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出． 【詳解】∵x＞0，y＞0，且1x+9y=1， ∴x+y=（x+y）(1x+9y)=10+yx+9xy≥10+2yx?9xy=16，當(dāng)且僅當(dāng)y=3x=12時取等號． 故答案為：16． 【點(diǎn)睛】在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值. 三、解答題（5小題共70分) 17. 已知a，b，c是全不相等的正實(shí)數(shù)，求證b+c?aa+a+c?bb+a+b?cc>3. 【答案】見解析 【解析】 本試題主要考查了不等式的證明，利用分析法和綜合法結(jié)合來證明。 18. 已知z1=5+10i，z2=3?4i，1z=1z1+1z2，求z. 【答案】5?52i 【解析】 【分析】 把z1、z2代入關(guān)系式，化簡即可 【詳解】1z=1z1+1z2=z1+z2z1z2， ∴z=z1z2z1+z2=(5+10i)(3-4i)(5+10i)+(3-4i)=55+10i8+6i=(55+10i)(8-6i)82+62=5-52i 【點(diǎn)睛】復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)， 則z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i， z1z2=a+bic+di=(a+bi)(c-di)(c+di)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)ic2+d2. 19. 已知2x+3y+6z=12，求x2+y2+z2的最小值.（利用柯西不等式） 【答案】14449 【解析】 【分析】 利用柯西不等式進(jìn)行求解． 【詳解】∴x2+y2+z2≥14449，當(dāng)且僅當(dāng)x2=y3=z62x+3y+6z=12,即x=2449,y=3649,z=7249 【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)最值的求法，主要通過消元和配方解決問題，也可以是利用柯西不等式進(jìn)行求解．考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力． 20. 已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的值組成的集合． 【答案】{0,?12,?13} 【解析】 分析：條件A∪B=A等價于B是A的子集，其中B可能是空集． 詳解：A={x|x2﹣5x+6=0}={2，3}， ∵A∪B=A，∴B?A． ①m=0時，B=?，B?A； ②m≠0時，由mx+1=0，得x=﹣1m． ∵B?A，∴﹣1m∈A， ∴﹣1m=2或﹣1m=3，得m=﹣12或﹣13． 所以適合題意的m的集合為{0，﹣12，﹣13}． 點(diǎn)睛：本題主要考查集合的運(yùn)算性質(zhì)A∪B=A，一般A∪B=A轉(zhuǎn)化成B?A來解決．若是A∩B=A，一般A∩B=A轉(zhuǎn)化成A?B來解決． 21. 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假. (1) 若x2＋y2＝0，則x，y全為零； (2) 若xy＝0，則x，y中至少有一個是零. 【答案】（1）見解析（2）見解析 【解析】 【分析】 根據(jù)原命題寫出它的逆命題、否命題和逆否命題，再判斷它們的真假性 【詳解】（1）逆命題：若x,y全為零，則x2＋y2＝0.（真）；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零.（真）；逆否命題：若x，y不全為零，則x2＋y2≠0.（真）. （2） 逆命題：若x＝0或y＝0，則xy＝0.（真）；否命題：若xy≠0，則x≠0且y≠0.（真）； 逆否命題：若x≠0且y≠0，則xy≠0.（真）. 【點(diǎn)睛】本題考查了原命題、逆命題、否命題和逆否命題之間的關(guān)系與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．