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1、 精品資料 第3講　函數的奇偶性與周期性 一、填空題 1．若函數f(x)＝＋m為奇函數，則實數m＝________. 解析　由題意，得f(0)＝0，所以＋m＝0，即m＝－1. 答案?。? 2．設函數f(x)是奇函數且周期為3，f(－1)＝－1，則f(2 011)＝________ 解析　因為f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，f(－1)＝－1，所以f(1)＝1，f(2 011)＝f(3670＋1)＝f(1)＝1. 答案　1 3．已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝2x－3， 則f(

2、－2)＝________. 解析 ∵f(x)為R上的奇函數， ∴f(－2)＝－f(2)． 又當x＝2時，f(2)＝22－3＝1，∴f(－2)＝－1. 答案 －1 4．設f(x)是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f(1－x)＋f(1 ＋x)＝0恒成立．如果實數m、n滿足不等式組那么m2＋n2的取值范圍是________． 解析 考查函數單調性及對稱性，舉特殊函數是解決此類問題的一個重要方法．如：f(x)＝x－1，f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的對稱中心為(1,0)，∴不等式組由圖可知OA最小，OA＝，OB最大，OB＝7，∴m2＋n2∈(13,49)．

3、 答案 (13,49) 5．設定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，則 f(99)＝________. 解析 由f(x)f(x＋2)＝13得f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)． ∴f(x)是以4為周期的周期函數． ∴f(99)＝f(254－1)＝f(－1)＝＝. 答案 6．設奇函數f(x)的定義域為R，最小正周期T＝3，若f(1)≥1，f(2)＝， 則a的取值范圍是________． 答案 7．已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數y ＝f為奇函數，給出以下四個命題： ①

4、函數f(x)是周期函數； ②函數f(x)的圖象關于點對稱； ③函數f(x)為R上的偶函數； ④函數f(x)為R上的單調函數． 其中真命題的序號為________． 答案 ①②③ 8．若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函數，給出下列關于f(x)的判斷： ①f(x)是周期函數；②f(x)關于直線x＝1對稱； ③f(x)在[0,1]上是增函數；④f(x)在[1,2]上是減函數； ⑤f(2)＝f(0)． 其中正確的序號是________． 解析　∵f(x＋1)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2

5、)， ∴f(x)是周期為2的函數，①正確． 又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)， ∴y＝f(x)的圖象關于x＝1對稱，②正確． 又∵f(x)為偶函數且在[－1,0]上是增函數， ∴f(x)在[0,1]上是減函數．又∵對稱軸為x＝1， ∴f(x)在[1,2]上為增函數，f(2)＝f(0)，故③④錯誤，⑤正確． 答案?、佗冖? 9．已知函數f(x)＝x2－cos x，x∈，則滿足f(x0)>f的x0的取值范圍為________． 解析　f′(x)＝2x＋sin x，在區(qū)間內f′(x)>0， ∴f(x)在區(qū)間內單調遞增，此時由f(x0)>f得x0∈，易

6、證f(x)是偶函數，∴x0∈也符合題意． 答案　 10．已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足條件f＝－f(x)，且函數y＝f為奇函數，給出以下四個命題：①函數f(x)是周期函數；②函數f(x)的圖象關于點對稱；③函數f(x)為R上的偶函數；④函數f(x)為R上的單調函數．其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)． 解析　①由f＝－f(x)，得f(x＋3)＝－f＝f(x)，所以①正確．②由y＝f為奇函數，得f(x)圖象關于點對稱，所以②不正確．③由f＝－f，得f(x)＝－f，又f＝－f(x)，所以f＝f，所以f(x)是偶函數，③正確．由③正確知④不正確． 答案?、佗?

7、二、解答題 11．設f(x)＝ex＋ae－x(a∈R，x∈R)． (1)討論函數g(x)＝xf(x)的奇偶性； (2)若g(x)是偶函數，解不等式f(x2－2)≤f(x)． 解　(1)a＝1時，f(x)＝ex＋e－x是偶函數， 所以g(x)＝xf(x)是奇函數； a＝－1時，f(x)＝ex－e－x是奇函數， 所以g(x)＝xf(x)是偶函數． a≠1，由f(x)既不是奇函數又不是偶函數， 得g(x)＝xf(x)是非奇非偶函數． (2)當g(x)是偶函數時，a＝－1，f(x)＝ex－e－x是R上的單調遞增函數，于是由f(x2－2)≤f(x)得x2－2≤x， 即x2－x－2≤

8、0，解得－1≤x≤2. 12.已知函數f(x)＝x2＋(x≠0，a∈R)． (1)判斷函數f(x)的奇偶性； (2)若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數，求實數a的取值范圍． 解　(1)當a＝0時，f(x)＝x2(x≠0)為偶函數； 當a≠0時，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， ∴f(x)既不是奇函數也不是偶函數． (2)設x2>x1≥2， 則f(x1)－f(x2)＝x＋－x－ ＝[x1x2(x1＋x2)－a]， 由x2>x1≥2，得x1x2(x1＋x2)>16，x1－x2<0，x1x2>0. 要使f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數， 只需f(x1)－

9、f(x2)<0， 即x1x2(x1＋x2)－a>0恒成立，則a≤16. 13．定義在R上的增函數y＝f(x)對任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(0)； (2)求證：f(x)為奇函數； (3)若f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍． 解 (1)令x＝y(tǒng)＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，即f(0)＝0. (2)證明：令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，則有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)對任意x∈R成立， 所以f(x)是奇函數． (3)因為f(x)在R

10、上是增函數， 又由(2)知f(x)是奇函數． 所以f(k3x)<－f(3x－9x－2)＝f(－3x＋9x＋2)， 所以k3x<－3x＋9x＋2， 即32x－(1＋k)3x＋2>0對任意x∈R成立． 令t＝3x>0，問題等價于t2－(1＋k)t＋2>0對任意t>0恒成立． 令f(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其對稱軸為t＝， 當<0，即k<－1時，f(0)＝2>0，符合題意； 當≥0，即k≥－1時，f(t)>0對任意t>0恒成立? 解得－1≤k<－1＋2. 綜上所述，當k<－1＋2時，f(k3x)＋f(3x－9x－2)<0對任意x∈R恒成立． 14． (1)已知f(x)是R

11、上的奇函數，且當x>0時，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解 析式； (2)設a>0，f(x)＝＋是R上的偶函數，求實數a的值； (3)已知奇函數f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]內遞減，求滿足f(1－m)＋f(1－m2)<0的實數m的取值范圍． 解 (1)∵f(x)是定義在R上的奇函數， ∴f(0)＝0，當x<0時，－x>0， 由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝－f(x)． ∴f(x)＝－x2－x＋1. ∴f(x)＝ (2)∵f(x)是R上的偶函數， ∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立． 即＋＝＋， (a2－1)(e2x－1)＝0，對任意的x恒成立， ∴解得a＝1. (3)∵f(x)的定義域為[－2,2]， ∴有解得－1≤m≤.① 又f(x)為奇函數，且在[－2,0]上遞減， ∴在[－2,2]上遞減， ∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，即－2