《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)浙江理科一輪【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 定積分的概念與微積分基本定理（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 精品資料 第4講 定積分的概念與微積分基本定理 一、選擇題 1．以初速度40 m/s豎直向上拋一物體，t秒時刻的速度v＝40－10t2，則此物體達(dá)到最高時的高度為(　　)． A. m B. m C. m D. m 解析　v＝40－10t2＝0，t＝2，(40－10t2)dt＝＝40×2－×8＝(m)． 答案　A 2．已知f(x)＝2－|x|，則－1f(x)dx等于 (　　)． A．3 B．4 C. D. 解析　f(x)＝2－|x|＝ ∴－1f(x)dx＝

2、－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝. 答案　C 3．函數(shù)f(x)滿足f(0)＝0，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示， 則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 (　　)． A. B. C．2 D. 解析　由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知函數(shù)f(x)為二次函數(shù)，且對稱軸為x＝－1，開口方向向上．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因過點(－1,0)與(0,2)，則有∴∴f(x)＝x2＋2x，則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S

3、＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝. 答案　B 4．已知a＝2，n∈N*，b＝x2dx，則a，b的大小關(guān)系是(　　)． A．a(chǎn)>b B．a(chǎn)＝b C．a(chǎn)<b D．不確定 答案　A 5．下列積分中 ①dx；②－2x dx；③dx； ④∫0dx，積分值等于1的個數(shù)是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 解析?、伲?， ②＝0， ③dx＝(π22)＝1， ④∫0dx＝∫0(cos x＋sin x)dx ＝(sin x－cos)|0＝1. 答

4、案　C 6．如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y＝x2和曲線y＝圍成一個葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內(nèi)隨機投一點(該點落在正方形AOBC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為12＝1，陰影區(qū)域的面積等于(－x2)dx＝＝，因此所投的點落在葉形圖內(nèi)部的概率等于，選D. 答案　D 二、填空題 7．如果10 N的力能使彈簧壓縮10 cm，為在彈性限度內(nèi)將彈簧拉長6 cm，則力所做的功為______． 解析 由F(

5、x)＝kx，得k＝100，F(xiàn)(x)＝100x，100xdx＝0.18(J)． 答案 0.18 J 8．曲線y＝與直線y＝x，x＝2所圍成的圖形的面積為____________． 答案?。璴n 2 9．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．則k＝________. 解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1. 答案　0或－1 10．設(shè)f(x)＝xn＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，則12展開式中各項的系數(shù)和為________． 解析　因為f(x)＝xn＋ax的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)＝2x＋1.

6、故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展開式中各項的系數(shù)和為12＝1. 答案　1 三、解答題 11．已知f(x)是一次函數(shù)，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值． 解　∵f(x)是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b. ∴a＋b＝5.① 又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx ＝＝a＋b. ∴a＋b＝.② 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， ∴dx＝dx＝dx ＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2. 12．如圖所示，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖

7、形為面積相等的兩部分，求k的值． 解　拋物線y＝x－x2與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為x1＝0，x2＝1， 所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積 S＝(x－x2)dx＝＝. 又拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點的橫坐標(biāo)為 x3＝0，x4＝1－k，所以， ＝∫(x－x2－kx)dx＝ ＝(1－k)3. 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－ ＝1－. 13．在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 解　面積S1等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積， 即S1＝t

8、83;t2－x2dx＝t3. S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t， 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝. t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝. 所以當(dāng)t＝時，S最小，且最小值為. 14. 已知二次函數(shù)f(x)＝3x2－3x，直線l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t為常數(shù)，且0<t<1)，直線l2與函數(shù)f(x)的圖象以及直線l1、l2與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉

9、圖形如圖K15－3，設(shè)這兩個陰影區(qū)域的面積之和為S(t)． (1)求函數(shù)S(t)的解析式； (2)定義函數(shù)h(x)＝S(x)，x∈R.若過點A(1，m)(m≠4)可作曲線y＝h(x)(x∈R)的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍． 解析 (1)由得x2－(t＋1)x＝0， 所以x1＝0，x2＝t＋1. 所以直線l2與f(x)的圖象的交點的橫坐標(biāo)分別為0，t＋1. 因為0<t<1，所以1<t＋1<2. 所以S(t)＝∫[3tx－(3x2－3x)]dx＋t＋1[(3x2－3x)－3tx]dx ＝＋ ＝(t＋1)3－6t＋2. (2)依據(jù)定義，h(x)＝(

10、x＋1)3－6x＋2，x∈R， 則h′(x)＝3(x＋1)2－6. 因為m≠4，則點A(1，m)不在曲線y＝h(x)上． 過點A作曲線y＝h(x)的切線，設(shè)切點為M(x0，y0)， 則3(x0＋1)2－6＝， 化簡整理得2x－6x0＋m＝0，其有三個不等實根． 設(shè)g(x0)＝2x－6x0＋m，則g′(x0)＝6x－6. 由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1； 由g′(x0)<0，得－1<x0<1， 所以g(x0)在區(qū)間(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1,1)上單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x0＝－1時，函數(shù)g(x0)取極大值； 當(dāng)x0＝1時，函數(shù)g(x0)取極小值． 因此，關(guān)于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三個不等實根的充要條件是 即即－4<m<4. 故實數(shù)m的取值范圍是(－4,4)．