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1、 精品資料 學(xué)案71　矩陣與變換 (一)二階矩陣與變換 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解矩陣的有關(guān)概念，理解二階矩陣與平面列向量的乘法.2.了解幾種常見的平面變換，理解矩陣對應(yīng)的變換把平面上的直線變成直線(或者點(diǎn)).3.理解二階矩陣的乘法及簡單性質(zhì)． 自主梳理 1．線性變換與二階矩陣 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，由(其中a，b，c，d是常數(shù))構(gòu)成的變換稱為線性變換．由四個(gè)數(shù)a，b，c，d排成的正方形數(shù)表稱為________，其中a，b，c，d稱為矩陣的________，矩陣通常用大寫字母A，B，C，…或(aij)表示(其中i，j分別為

2、元素aij所在的行和列)． 2．矩陣的乘法 行矩陣[a11a12]與列矩陣的乘法規(guī)則為[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二階矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則為＝.矩陣乘法滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律． 3．幾種常見的線性變換 (1)恒等變換矩陣M＝； (2)旋轉(zhuǎn)變換Rθ對應(yīng)的矩陣是M＝_____________________________________________； (3)反射變換要看關(guān)于哪條直線對稱．例如若關(guān)于x軸對稱，則變換對應(yīng)矩陣為M1＝；若關(guān)于y軸對稱，則變換對應(yīng)矩陣為M2＝__________；若關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，則變換對應(yīng)矩陣M3＝_________

3、___； (4)伸壓變換對應(yīng)的二階矩陣M＝，表示將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳_______倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腳_______倍，k1，k2均為非零常數(shù)； (5)投影變換要看投影在什么直線上，例如關(guān)于x軸的投影變換的矩陣為M＝__________； (6)切變變換要看沿什么方向平移，若沿x軸平移|ky|個(gè)單位，則對應(yīng)矩陣M＝__________，若沿y軸平移|kx|個(gè)單位，則對應(yīng)矩陣M＝.(其中k為非零常數(shù))． 4．線性變換的基本性質(zhì) 設(shè)向量α＝，規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量α的乘積λα＝__________；設(shè)向量α＝，β＝，規(guī)定向量α與β的和α＋β＝__________. (1)設(shè)M是一個(gè)

4、二階矩陣，α、β是平面上的任意兩個(gè)向量，λ是一個(gè)任意實(shí)數(shù)，則①M(fèi)(λα)＝__________，②M(α＋β)＝______________________________. (2)二階矩陣對應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線變成直線(或一點(diǎn))． 自我檢測 1．點(diǎn)A(3，－6)在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 2．設(shè)＝，則它表示的方程組為______________． 3．設(shè)矩陣A＝，矩陣A所確定的變換將點(diǎn)P(x，y)變換成點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 4．設(shè)△OAB的三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)為O(0,0)，A(A1，A2)，B(B1，B2)，在矩陣

5、M＝對應(yīng)的變換下作用后形成△OA′B′，則△OAB與△OA′B′的面積之比為____________________． 5．二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2,1)分別變?yōu)辄c(diǎn)(－1，－1)與(0，－2)． (1)求矩陣M； (2)設(shè)直線l在矩陣M對應(yīng)的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求l的方程． 探究點(diǎn)一　幾種常見的變換 例1 試討論下列矩陣將所給圖形變成了什么圖形，并指出該變換是什么變換． (1)，方程為y＝2x＋2； (2)，點(diǎn)A(2,5)； (3)，曲線方程為x2＋y2＝4.

6、 變式遷移1 將點(diǎn)(2,4)先經(jīng)過矩陣變換后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90角所得的點(diǎn)坐標(biāo)為________． 探究點(diǎn)二　矩陣的乘法及幾何意義 例2 驗(yàn)證下列等式，并從幾何變換的角度給予解釋： ＝. 變式遷移2 已知矩陣M＝和N＝，求證：MN＝NM. 探究點(diǎn)三　矩陣與變換的綜合應(yīng)用 例3 已知兩個(gè)城市甲與乙間的交通有陸路和航空兩種，其陸路可用矩陣表示為M＝，航空可用矩陣表示為N＝. (1)試從NM的結(jié)果中說明在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)里可以進(jìn)行怎樣的旅行？ (2)請計(jì)算M2，并據(jù)此矩陣說

7、明網(wǎng)絡(luò)里可以進(jìn)行怎樣的旅行？ (3)請計(jì)算MNM，并據(jù)此說明網(wǎng)絡(luò)里可以做怎樣的旅行？ 變式遷移3 已知A＝，B＝，試求AB，并對其幾何意義給予解釋． 1．常見的變換矩陣 (1)恒等變換矩陣為M＝；(2)伸壓變換矩陣為M＝或M＝；(3)反射變換矩陣為M1＝，M2＝，M3＝；(4)旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M＝；(5)投影變換矩陣為M1＝，M2＝，M3＝；(6)切變變換矩陣為M＝或M＝. 2．矩陣的乘法不滿足交換律，不滿足消去律，但滿足結(jié)合律． 設(shè)A＝，B＝，則AB＝. (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分)

8、 1．矩陣(左)乘向量的法則是________． 2．(2010龍巖一模)在某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換中，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所對應(yīng)的變換矩陣為________． 3．直線2x＋y－1＝0經(jīng)矩陣M＝的變換后得到的直線方程為________． 4．設(shè)a，b∈R，若矩陣A＝將直線l：x＋y－1＝0變?yōu)橹本€x－y－2＝0，則a＝________，b＝________. 5．已知A＝，B＝，C＝.則AB＝________，AC＝________. 6．曲線y＝sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為________．(其中M＝，N＝.) 7．(2010南京二模)在直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)，A

9、(2,0)，B(1，)，△OAB在矩陣MN的作用下變換所得的圖形的面積為________(其中矩陣M＝，N＝)． 8．已知二階矩陣M滿足M＝，M＝，則M2＝________. 二、解答題(共42分) 9．(14分)(2011江蘇)已知矩陣A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β. 10．(14分)(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．設(shè)k為非零實(shí)數(shù)，矩陣M＝，N＝，點(diǎn)A、B、C在矩陣MN對應(yīng)的變換下得到的點(diǎn)分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC的面積的

10、2倍，求k的值． 11．(14分)(2010福建)已知矩陣M＝，N＝，且MN＝. ①求實(shí)數(shù)a，b，c，d的值； ②求直線y＝3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程． 學(xué)案71　矩陣與變換 (一)二階矩陣與變換 答案 自主梳理 1．二階矩陣　元素　3.(2) (3)　　(4)k1　k2　(5)　(6)　4.　　(1)λMα　Mα＋Mβ 自我檢測 1．(9，－3)　2.　3.(x－y，y) 4．1∶1 解析　由題意知TM為切變變換，

11、故變換前后圖形面積大小不變． 5．(1)　(2)x＋y＋2＝0 解析　(1)設(shè)M＝，則＝，＝.∴.① .② 由①②聯(lián)立得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4， 故M＝. (2)設(shè)(x′，y′)為l上任意一點(diǎn)，在經(jīng)矩陣M變換下對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)， 則＝∴， 代入x－y－4＝0得x′＋y′＋2＝0， 即x＋y＋2＝0. 課堂活動(dòng)區(qū) 例1 解題導(dǎo)引　對于已知變換前后的象和原象，要求變換矩陣這類問題，我們顯然無法對所有的變換進(jìn)行一一嘗試，用待定系數(shù)法解題可起到事半功倍的效果．通過具體的矩陣對平面上給定圖形(如正方形、三角形)的變換，應(yīng)充分地認(rèn)識(shí)到矩陣可表示如下的線性變換：恒等、反射、

12、伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變、投影． 解　(1)所給方程表示的是一條直線． 設(shè)A(x，y)為直線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過變換后的點(diǎn)為A′(x′，y′)． ∵＝， ∴x＝x′，y＝y(tǒng)′. 變換后的方程仍為y＝2x＋2. ∴該變換是恒等變換． (2)經(jīng)過變化后變?yōu)?－2,5)，它們關(guān)于y軸對稱，故該變換為關(guān)于y軸的反射變換． (3)所給方程是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，設(shè)A(x，y)為曲線上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過變換后的點(diǎn)為A1(x1，y1)，則＝＝， ∴2x＝x1，y＝y(tǒng)1. 將之代入到x2＋y2＝4可得方程＋＝4，此方程表示橢圓，所給方程表示的是圓，該變換是伸壓變換． 變式遷移1 (－8

13、,2) 解析　由題意知 ＝＝＝ 例2 解題導(dǎo)引?、偈煜ちN線性變換，方可理解矩陣乘法的幾何意義．矩陣乘法MN的幾何意義為對向量連續(xù)依次實(shí)施的兩次幾何變換(先TN后TM)的復(fù)合變換． ②因?yàn)榫仃嚨某朔ㄟ\(yùn)算不滿足變換律，對應(yīng)地，對一個(gè)向量a先實(shí)施變換f，再實(shí)施變換g與先實(shí)施變換g，再實(shí)施變換f，其結(jié)果通常也是不一樣的．因而做題時(shí)必須認(rèn)真審題．弄清題意，不能混淆f(g(a))和g(f(a))． 解　等式右邊表示的是對點(diǎn)(x，y)先作沿x軸的切變變換得(x＋y，y)，再將所得的點(diǎn)進(jìn)行保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍的伸壓變換得(x＋y,2y)，最后將得到的點(diǎn)作沿y軸的切變變換得(x＋

14、y，x＋3y)．等式左邊表示的是將點(diǎn)(x，y)作如下變換： ＝＝，即它也是將點(diǎn)(x，y)變成了點(diǎn)(x＋y，x＋3y)，因此，等式兩邊表示的變換相同，所以有＝ 變式遷移2 解　MN＝ ＝， NM＝＝， 故MN＝NM. 例3 解題導(dǎo)引　M的意義表示陸路的網(wǎng)絡(luò)圖為甲→乙；N的意義表示航空的網(wǎng)絡(luò)圖為甲→乙． 解　(1)NM＝＝，這說明，在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路后航空的旅行． (2)M2＝＝，這說明，在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路后再陸路的旅行． (3)MNM＝＝，這說明，在此網(wǎng)絡(luò)中可以選擇先陸路，再航空，然后再陸路的旅行． 變式遷移3 解　AB＝ ＝ ＝ AB表示的變換為逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

15、α＋β. A表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α，B表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β. 課后練習(xí)區(qū) 1.＝ 2. 解析　順時(shí)針旋轉(zhuǎn)即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π， 變換矩陣為 ＝＝. 3．2x＋y＋1＝0 解析　由變換矩陣M知坐標(biāo)變換公式為， 即， 代入直線方程2x＋y－1＝0得2x′＋y′＋1＝0. 即2x＋y＋1＝0. 4．2　－1 解析　在直線l上任取一點(diǎn)P(x，y)，經(jīng)矩陣變換后為點(diǎn)P′(x′，y′)， 則由＝＝， 得 所以ax＋y－by－2＝0，即ax＋(1－b)y－2＝0， 于是由＝＝，解得a＝2，b＝－1. 5.， 解析　AB＝＝， AC＝＝. 6．y＝2sin 2x 解析　MN＝＝，

16、 即在矩陣MN變換下→＝， 則y′＝sin 2x′，即曲線y＝sin x在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y＝2sin 2x. 7．1 解析　MN＝，＝， ＝，＝. 可知O，A，B三點(diǎn)在矩陣MN作用下變換所得的點(diǎn)分別為O′(0,0)，A′(2,0)，B′(2，－1)．可知△O′A′B′的面積為1. 8. 解析　設(shè)M＝，由M＝得，＝，所以a＝1，c＝0. 由M＝得，＝，所以b＝1，d＝2. 所以M＝. 所以M2＝＝. 所以M2＝＝. 9．解　A2＝＝.(4分) 設(shè)α＝，由A2α＝β，得＝，(7分) 從而解得所以α＝.(14分) 10．解　由題設(shè)得MN＝?。?(4分)

17、 由＝，＝， ＝，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．(10分) 計(jì)算得△ABC的面積是1，△A1B1C1的面積是|k|， 由題設(shè)知|k|＝21＝2，所以k的值為－2或2.(14分) 11．解　方法一?、儆深}設(shè)得解得(6分) ②因?yàn)榫仃嘙對應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點(diǎn))，所以可取直線y＝3x上的兩點(diǎn)(0,0)，(1,3)． 由＝， ＝得 點(diǎn)(0,0)，(1,3)在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象分別是點(diǎn)(0,0)，(－2,2)．(12分) 從而直線y＝3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y＝－x.(14分) 方法二?、偻椒ㄒ唬? ②設(shè)直線y＝3x上的任意點(diǎn)(x，y)在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象是點(diǎn)(x′，y′)，由＝＝＝ 得y′＝－x′，即點(diǎn)(x′，y′)必在直線y＝－x上．由(x，y)的任意性可知，直線y＝3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的象的方程為y＝－x.