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1、 20xx年高考真題理科數(shù)學解析分類匯編4 數(shù)列 一、選擇題 1.【20xx高考重慶理1】在等差數(shù)列中，，則的前5項和= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因為，，所以，所以數(shù)列的前5項和,選B. 2.【20xx高考浙江理7】設是公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列﹛an﹜的前n項和，則下列命題錯誤的是 A.若d＜0，則數(shù)列﹛Sn﹜有最大項 B.若數(shù)列﹛Sn﹜有最大項，則d＜0 C.若數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列，則對任意，均有 D. 若對任意，均有，則數(shù)列﹛Sn﹜是遞增數(shù)列 【答

2、案】C 【解析】選項C顯然是錯的，舉出反例：—1，0，1，2，3，…．滿足數(shù)列{S n}是遞增數(shù)列，但是S n＞0不成立．故選C。 3.【20xx高考新課標理5】已知為等比數(shù)列，，，則（ ） 【答案】D 【解析】因為為等比數(shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，綜上選D. 4.【20xx高考上海理18】設，，在中，正數(shù)的個數(shù)是（ ） A．25 B．50 C．75 D．100

3、 【答案】D 【解析】當1≤≤24時，＞0，當26≤≤49時，＜0，但其絕對值要小于1≤≤24時相應的值，當51≤≤74時，＞0，當76≤≤99時，＜0，但其絕對值要小于51≤≤74時相應的值，∴當1≤≤100時，均有＞0。 【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力. 5.【20xx高考遼寧理6】在等差數(shù)列{an}中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前11項和S11= (A)58 (B)88 (C)143

4、 (D)176 【答案】B 【解析】在等差數(shù)列中，，答案為B 【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前n項和公式，同時考查運算求解能力，屬于中檔題。解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準確。 6.【20xx高考四川理12】設函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，，則（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列，且，即 ，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即 ，不是的倍數(shù)，. ，故選D. [點評]本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性

5、質(zhì)的綜合使用，需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡化學習. 另外，隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力. 7.【20xx高考湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)： ①； ②； ③； ④. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 A． ① ② B．③ ④ C．① ③ D．② ④ 【答案】C 考點分析：本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計算. 【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，，①； ②；③；④.選C 8.【20xx高考福建理2】等差數(shù)列{an

6、}中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 考點：等差數(shù)列的定義。 難度：易。 分析：本題考查的知識點為等差數(shù)列的通項公式。 【解析】法1：由等差中項的性質(zhì)知，又.故選B. 法2： 9.【20xx高考安徽理4】公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，且，則=（ ） 【答案】B 【解析】． 10.【20xx高考全國卷理5】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項和為 (A) (B)

7、 (C) (D) 【答案】A 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前項和的公式的運用，以及裂項求和的綜合運用，通過已知中兩項，得到公差與首項，得到數(shù)列的通項公式，并進一步裂項求和。 【解析】由,得，所以，所以，又，選A. 二、填空題 11.【20xx高考浙江理13】設公比為q（q＞0）的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=______________。 【答案】 【解析】將，兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子． 即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)． 12.【20xx高考四川理16】記為不超過實數(shù)的最大整數(shù)，

8、例如，，，。設為正整數(shù)，數(shù)列滿足，，現(xiàn)有下列命題： ①當時，數(shù)列的前3項依次為5,3,2； ②對數(shù)列都存在正整數(shù)，當時總有； ③當時，； ④對某個正整數(shù)，若，則。 其中的真命題有____________。（寫出所有真命題的編號） 【答案】①③④ 【命題立意】本題屬于新概念問題主要考查數(shù)列知識的靈活應用和推理論證能力，難度較大. 【解析】當時， ，，故①正確；同樣驗證可得③④正確，②錯誤. 13.【20xx高考新課標理16】數(shù)列滿足，則的前項和為 【答案】1830 【解析】由得， ， 即，也有，兩式相加得，設為整數(shù)， 則， 于是 14.【20xx高考

9、遼寧理14】已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列｛an｝的通項公式an =______________。 【答案】 【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式及方程思想，是簡單題. 【解析】 【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。 15.【20xx高考江西理12】設數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列，若，，則__________。 【答案】35 【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運算。考查等差中項的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學思想 【解析】（解法一）因為數(shù)列都是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列. 故由等差中項的性質(zhì)，得，即，解得. （解法

10、二）設數(shù)列的公差分別為, 因為, 所以.所以. 【點評】對于等差數(shù)列的計算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時要注意合理使用等差數(shù)列的性質(zhì)進行巧解. 體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公式，前項和，等差中項的性質(zhì)等. 16.【20xx高考北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項和。若，，則=_______。 【答案】， 【解析】因為， 所以，。 17.【20xx高考廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1，，則an=____． 【答案】 【解析】由得到，即，應為{an}是遞增的等差數(shù)列，所以，故。 18.【20xx高考重慶理12】

11、 . 【答案】 【解析】 19.【20xx高考上海理6】有一列正方體，棱長組成以1為首項、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 。 【答案】。 【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項，為公比的等比數(shù)列， ∴++…+==，∴。 【點評】本題主要考查無窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義.考查知識較綜合. 20.【20xx高考福建理14】數(shù)列{an}的通項公式，前n項和為Sn，則S20xx=___________. 【答案】3018． 【命題立意】本題考查了數(shù)列通項公式的概念和前項和的求法，

12、以及余弦函數(shù)的周期性，同時考查了考生觀察分析發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的能力，難度較大． 【解析】因為函數(shù)的周期是4，所以數(shù)列的每相鄰四項之和是一個常數(shù)6，所以. 三、解答題 21【20xx高考江蘇20】（16分）已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：，， （1）設，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設，，且是等比數(shù)列，求和的值． 【答案】解：（1）∵，∴。 ∴ 。 ∴ 。 ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。 （2）∵，∴。 ∴。（﹡） 設等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，∴當時，，與（﹡

13、）矛盾。 若則，∴當時，，與（﹡）矛盾。 ∴綜上所述，?！?，∴。 又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 ∴中至少有兩項相同，與矛盾?！唷? ∴。 ∴ 。 【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。 【解析】（1）根據(jù)題設和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。 從而得到的結(jié)論，再由知是

14、公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。 22.【20xx高考湖北理18】（本小題滿分12分） 已知等差數(shù)列前三項的和為，前三項的積為. （Ⅰ）求等差數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）若，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項和. 【答案】 （Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則，， 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項公式可得 ，或. 故，或. （Ⅱ）當時，，，分別為，，，不成等比數(shù)列； 當時，，，分別為，，，成等比數(shù)列，滿足條件. 故

15、 記數(shù)列的前項和為. 當時，；當時，； 當時， . 當時，滿足此式. 綜上， 23.【20xx高考廣東理19】（本小題滿分14分） 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列． （1） 求a1的值； （2） 求數(shù)列{an}的通項公式． （3） 證明：對一切正整數(shù)n，有. 【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式，不等式證明問題，考查了學生的運算求解能力與推理論證能力，難度一般. 【解析】（1） 相減得：

16、 成等差數(shù)列 （2）得對均成立 得： （3）當時， 當時， 由上式得：對一切正整數(shù)，有。 24.【20xx高考陜西理17】（本小題滿分12分） 設的公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的公比； （2）證明：對任意，成等差數(shù)列。 【解析】（1）設數(shù)列的公比為（）。 由成等差數(shù)列，得，即。 由得，解得，（舍去），所以。 （2）證法一：對任意，（lby lfx）

17、 ， 所以，對任意，成等差數(shù)列。 證法二：對任意，， ， ， 因此，對任意，成等差數(shù)列。 25.【20xx高考四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項和為，且對一切正整數(shù)都成立。 （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）設，數(shù)列的前項和為，當為何值時，最大？并求出的最大值。 【答案】本題主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項和公式，以及對數(shù)運算等基礎知識，考查邏輯推理能力，基本運算能力，以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想 [解析]取n=1,得 ① 取n=2,得 ②

18、 又②-①，得 ③ （1）若a2=0, 由①知a1=0, (2)若a2, ④ 由①④得：…………………5分 （2）當a1>0時,由（I）知， 當 , (2+)an-1=S2+Sn-1 所以，an= 所以 令 所以，數(shù)列{bn}是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列. 則 b1>b2>b3>…>b7= 當n≥8時，bn≤b8= 所以，n=7時，Tn取得最大值，且Tn的最大值為 T7=…………………………12分 [點評]本小題主要從三個層面對考生進行了考查. 第一，知識層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎知識；第二，能力層面：考查思維、運算、分析

19、問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 26.【20xx高考四川理22】(本小題滿分14分) 已知為正實數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點，設為該拋物線在點處的切線在軸上的截距。 （Ⅰ）用和表示； （Ⅱ）求對所有都有成立的的最小值； （Ⅲ）當時，比較與的大小，并說明理由。 [解析]（1）由已知得，交點A的坐標為，對則拋物線在點A處的切線方程為 （2） 由（1）知f(n)=,則 即知，對于所有的n成立，特別地，取n=2時，得到a≥ 當, >2n3+1 當n=0,1,2時，顯然 故當a=時，對所有自然數(shù)都成立

20、所以滿足條件的a的最小值是。 （3）由（1）知，則， 下面證明： 首先證明：當0

21、3】（4+6+8=18分）對于數(shù)集，其中，，定義向量集，若對任意，存在，使得，則稱具有性質(zhì)．例如具有性質(zhì)． （1）若，且具有性質(zhì)，求的值； （2）若具有性質(zhì)，求證：，且當時，； （3）若具有性質(zhì)，且、（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項公式. [解]（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式. ……2分 所以x=2b，從而x=4. ……4分 （2）證明：取.設滿足. 由得，所以、異號. 因為-1是X中唯一的負數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，

22、 故1X. ……7分 假設，其中，則. 選取，并設滿足，即， 則、異號，從而、之中恰有一個為-1. 若=-1，則2，矛盾； 若=-1，則，矛盾. 所以x1=1. ……10分 （3）[解法一]猜測，i=1, 2, …, n. ……12分 記，k=2, 3, …, n. 先證明：若具有性質(zhì)P，則也具有

23、性質(zhì)P. 任取，、.當、中出現(xiàn)-1時，顯然有滿足； 當且時，、≥1. 因為具有性質(zhì)P，所以有，、，使得， 從而和中有一個是-1，不妨設=-1. 假設且，則.由，得，與 矛盾.所以.從而也具有性質(zhì)P. ……15分 現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明：，i=1, 2, …, n. 當n=2時，結(jié)論顯然成立； 假設n=k時，有性質(zhì)P，則，i=1, 2, …, k； 當n=k+1時，若有性質(zhì)P，則 也有性質(zhì)P，所以. 取，并設滿足，即.由此可

24、得s與t中有且只有一個為-1. 若，則1，不可能； 所以，，又，所以. 綜上所述，，i=1, 2, …, n. ……18分 [解法二]設，，則等價于. 記，則數(shù)集X具有性質(zhì)P當且僅當數(shù)集B關(guān)于 原點對稱. ……14分 注意到-1是X中的唯一負數(shù)，共有n-1個數(shù)， 所以也只有n-1個數(shù). 由于，已有n-1個數(shù)，對以下三角數(shù)陣

25、 …… 注意到，所以，從而數(shù)列的通項公式為 ，k=1, 2, …, n. ……18分 【點評】本題主要考查數(shù)集、集合的基本性質(zhì)、元素與集合的關(guān)系等基礎知識，本題屬于信息給予題，通過定義“具有性質(zhì)”這一概念，考查考生分析探究及推理論證的能力．綜合考查集合的基本運算，集合問題一直是近幾年的命題重點內(nèi)容，應引起足夠的重視． 28.【20xx高考重慶理21】（本小題滿分

26、12分，（I）小問5分，（II）小問7分.） 設數(shù)列的前項和滿足，其中. （I）求證：是首項為1的等比數(shù)列； （II）若，求證：，并給出等號成立的充要條件. 21、 【答案】（1）證明：由，得，即。 因，故，得， 又由題設條件知， 兩式相減得，即， 由，知，因此 綜上，對所有成立，從而是首項為1，公比為的等比數(shù)列。 （2） 當或時，顯然，等號成立。 設，且，由（1）知，，，所以要證的不等式化為： 即證： 當時，上面不等式的等號成立。 當時，與，（）同為負； 當時，

27、 與，（）同為正； 因此當且時，總有 （）（）>0,即 ，（）。 上面不等式對從1到求和得， 由此得 綜上，當且時，有，當且僅當或時等號成立。 29.【20xx高考江西理16】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}的前n項和，,且Sn的最大值為8. （1）確定常數(shù)k，求an； （2）求數(shù)列的前n項和Tn。 【答案】解: （1）當時，取最大值，即，故，從而，又，所以 （1） 因為， 所以 【點評】本題考查數(shù)列的通項，遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應用.利用來實現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注意不能用來求解首項，首項一般通過來求解.運用錯

28、位相減法求數(shù)列的前n項和適用的情況：當數(shù)列通項由兩項的乘積組成，其中一項是等差數(shù)列、另一項是等比數(shù)列. 30.【20xx高考安徽理21】（本小題滿分13分） 數(shù)列滿足： （I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是； （II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 【答案】本題考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎知識，考查綜合運用知識分析問題的能力，推理論證和運算求解能力。 【解析】（I）必要條件 當時，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。 充分條件 數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列， 得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。 （II）由（I）得：， ①

29、當時，，不合題意； ②當時，， ， 。 當時，與同號， 由， 。 當時，存在，使與異號，與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾， 得：當時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。 31.【20xx高考天津理18】（本小題滿分13分） 已知是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，是等比數(shù)列，且， . （Ⅰ）求數(shù)列與的通項公式； （Ⅱ）記，，證明（）. 【答案】 （1） 設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為； 則 得： （2） 【點評】該試題命制比較直接，沒有什么隱含的條件，就是等比與等差數(shù)列的綜合應用，但方法多樣，第二問可以用錯位相減法求解

30、證明，也可用數(shù)學歸納法證明，給學生思維空間留有余地，符合高考命題選拔性的原則. 32.【20xx高考湖南理19】（本小題滿分12分） 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+……+an，B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1,2，…… （1） 若a1=1，a2=5，且對任意n∈N﹡，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列{ an }的通項公式. （2） 證明：數(shù)列{ an }是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列. 【答案】解（１）對任意,

31、三個數(shù)是等差數(shù)列，所以 　　　　　　　　　　　　 即亦即 故數(shù)列是首項為１，公差為４的等差數(shù)列.于是 （Ⅱ）（１）必要性：若數(shù)列是公比為ｑ的等比數(shù)列，則對任意，有 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. （２）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列， 則 　　　， 于是得即 　　　 由有即，從而. 因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， 綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意n∈N﹡，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列. 【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問

32、由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證. 33.【20xx高考山東理20】本小題滿分12分） 在等差數(shù)列中，. （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為，求數(shù)列的前項和. 【答案】解：（Ⅰ）因為是一個等差數(shù)列， 所以，即． 所以，數(shù)列的公差， 所以， （Ⅱ）對，若 ， 則 ，因此 ， 故得 （lb ylfx） 于是 34.【20xx高考全國卷理22】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無效） 函數(shù)f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1

33、是過兩點P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標. （Ⅰ）證明：2 xn＜xn+1＜3； （Ⅱ）求數(shù)列{xn}的通項公式. 解：（1）為，故點在函數(shù)的圖像上，故由所給出的兩點，可知，直線斜率一定存在。故有 直線的直線方程為，令，可求得 所以 下面用數(shù)學歸納法證明 當時，，滿足 假設時，成立，則當時，， 由即也成立 綜上可知對任意正整數(shù)恒成立。 下面證明 由 由，故有即 綜上可知恒成立。 （2）由得到該數(shù)列的一個特征方程即，解得或 ① ② 兩式相除可得,而 故數(shù)列是以為首項以為公比的等比數(shù)列 ,故。 【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運用。先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點坐標，再運用數(shù)學歸納法進行證明，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進而求得數(shù)列的通基。 【點評】以函數(shù)為背景，引出點的坐標，并通過直線與坐標軸的交點得到數(shù)列的遞推公式。既考查了直線方程，又考查了函數(shù)解析式，以及不等式的證明，試題比較綜合，有一定的難度。做這類試題那就是根據(jù)已知條件，一步一步的翻譯為代數(shù)式，化簡得到要找的關(guān)系式即可。