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1、 20xx年高考真題理科數(shù)學(xué)解析分類(lèi)匯編14 推理與證明 1.【20xx高考江西理6】觀(guān)察下列各式： 則 A．28 B．76 C．123 D．199 【答案】C 【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式。 【解析】等式右面的數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項(xiàng)相加后面的項(xiàng)，即，所以可推出，選C. 2.【20xx高考全國(guó)卷理12】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE＝BF＝.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線(xiàn)喜愛(ài)那個(gè)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的方向的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射等于入射角，當(dāng)點(diǎn)P第一次

2、碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 （A）16 （B）14 （C）12 (D)10 【答案】B 【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用。通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可。 【解析】結(jié)合已知中的點(diǎn)E,F的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線(xiàn)是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點(diǎn)時(shí)，需要碰撞14次即可. 3.【20xx高考湖北理10】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑. “開(kāi)立圓術(shù)”

3、相當(dāng)于給出了已知球的體積，求其直徑的一個(gè)近似公式. 人們還用過(guò)一些類(lèi)似的近似公式. 根據(jù)判斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是 11. B． C． D． 【答案】D 考點(diǎn)分析：考察球的體積公式以及估算. 【解析】 4.【20xx高考陜西理11】 觀(guān)察下列不等式 ， …… 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為 . 【答案】. 【解析】通過(guò)觀(guān)察易知第五個(gè)不等式為. 5.【20xx高考湖南理16】設(shè)N=2n（n∈N*，n≥2），將N個(gè)數(shù)x1,x2,…，xN依次放入編號(hào)

4、為1,2，…，N的N個(gè)位置，得到排列P0=x1x2…xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置，得到排列P1=x1x3…xN-1x2x4…xN，將此操作稱(chēng)為C變換，將P1分成兩段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段作C變換，得到；當(dāng)2≤i≤n-2時(shí)，將Pi分成2i段，每段個(gè)數(shù)，并對(duì)每段C變換，得到Pi+1，例如，當(dāng)N=8時(shí)，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置. （1）當(dāng)N=16時(shí)，x7位于P2中的第___個(gè)位置； （2）當(dāng)N=2n（n≥8）時(shí)，x173位于P4中的第___個(gè)位置. 【答案】（1）6；（2） 【解析】（1）當(dāng)N

5、=16時(shí), ,可設(shè)為, ,即為, ,即, x7位于P2中的第6個(gè)位置,； （2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個(gè)位置. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力. 需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動(dòng)腦的習(xí)慣，才可順利解決此類(lèi)問(wèn)題. 6.【20xx高考湖北理13】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個(gè)：11，22，33，…，99．3位回文數(shù)有90個(gè)：101，111，121，…，191，202，…，999．則 （Ⅰ）4位回文數(shù)有 個(gè)； （Ⅱ）位回文數(shù)有

6、 個(gè)． 【答案】90， 考點(diǎn)分析：本題考查排列、組合的應(yīng)用. 【解析】（Ⅰ）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數(shù)有種。 答案：90 （Ⅱ）法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個(gè)數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項(xiàng)每項(xiàng)有10種情況，所以個(gè)數(shù)為. 法二、可以看出2位數(shù)有9個(gè)回文數(shù)，3位數(shù)90個(gè)回文數(shù)。計(jì)算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位

7、數(shù)的中間添加成對(duì)的“00,11,22,……99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個(gè)按此規(guī)律推導(dǎo),而當(dāng)奇數(shù)位時(shí)，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9這十個(gè)數(shù)，因此,則答案為. 7.【20xx高考北京理20】（本小題共13分） 設(shè)是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿(mǎn)足：每個(gè)數(shù)的絕對(duì)值不大于，且所有數(shù)的和為零. 記為所有這樣的數(shù)表組成的集合. 對(duì)于，記為的第行各數(shù)之和（），為的第列各數(shù)之和（）；記為，，…，，，，…，中的最小值. （1）對(duì)如下數(shù)表，求的值； （2）設(shè)數(shù)表形如

8、 求的最大值； （3）給定正整數(shù)，對(duì)于所有的，求的最大值. 【答案】解：（1）由題意可知，，，， ∴ （2）先用反證法證明： 若 則，∴ 同理可知，∴ 由題目所有數(shù)和為 即 ∴ 與題目條件矛盾 ∴． 易知當(dāng)時(shí)，存在 ∴的最大值為1 （3）的最大值為. 首先構(gòu)造滿(mǎn)足的： ， . 經(jīng)計(jì)算知，中每個(gè)元素的絕對(duì)值都小于1，所有元素之和為0，且 ， ， . 下面證明是最大值. 若不然，則存在一個(gè)數(shù)表，使得. 由的定義知的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都不小于，而兩個(gè)絕對(duì)值不超過(guò)1的數(shù)的和，其絕對(duì)值不超

9、過(guò)2，故的每一列兩個(gè)數(shù)之和的絕對(duì)值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個(gè)數(shù)符號(hào)均與列和的符號(hào)相同，且絕對(duì)值均不小于. 設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，則. 另外，由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù). 考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過(guò)個(gè)正數(shù)和不少于個(gè)負(fù)數(shù)，每個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值不超過(guò)1（即每個(gè)正數(shù)均不超過(guò)1），每個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值不小于（即每個(gè)負(fù)數(shù)均不超過(guò)）. 因此 ， 故的第一行行和的絕對(duì)值小于，與假設(shè)矛盾. 因此的最大值為。 8.【20xx高考湖北理】（本小題滿(mǎn)分14分） （Ⅰ）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的 最小值； （Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證

10、明如下命題： 設(shè)，為正有理數(shù). 若，則； （Ⅲ）請(qǐng)將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題. 注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式. 【答案】（Ⅰ），令，解得. 當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是減函數(shù)； 當(dāng) 時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù). 故函數(shù)在處取得最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，有，即 ① 若，中有一個(gè)為0，則成立； 若，均不為0，又，可得，于是 在①中令，，可得， 即，亦即. 綜上，對(duì)，，為正有理數(shù)且，總有. ② （Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為： 設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理

11、數(shù). 若，則. ③ 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （1）當(dāng)時(shí)，，有，③成立. （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，③成立，即若為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)， 且，則. 當(dāng)時(shí)，已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)， 且，此時(shí)，即，于是 =. 因，由歸納假設(shè)可得 ， 從而. 又因，由②得 ， 從而. 故當(dāng)時(shí)，③成立. 由（1）（2）可知，對(duì)一切正整數(shù)，所推廣的命題成立. 說(shuō)明：（Ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對(duì)成立，則后續(xù)證明中不需討論的情況. 9.【

12、20xx高考福建理17】（本小題滿(mǎn)分13分） 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù). （1）sin213+cos217-sin13cos17 （2）sin215+cos215-sin15cos15 （3）sin218+cos212-sin18cos12 （4）sin2（-18）+cos248- sin2（-18）cos248 （5）sin2（-25）+cos255- sin2（-25）cos255 Ⅰ 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù) Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論. 解答：（I）選擇（2）： （II）三角恒等式為：