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1、 普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷） 數(shù)學(xué)理 第I卷（選擇題共50分） 一、選擇題：本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．若集合 （ 是虛數(shù)單位）， ，則 等于 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由已知得，故，故選C． 考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的概念；2、集合的運(yùn)算． 2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A． B． C． D． 【答案】D 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性． 3．若雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則 等于（?。? A．11 　　　B．9

2、 C．5 　　　D．3 【答案】B 【解析】 試題分析：由雙曲線定義得，即，解得，故選B． 考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義． 4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表： 收入 （萬(wàn)元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （萬(wàn)元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為( )] A．11.4萬(wàn)元 B．11.8萬(wàn)元 C．12.0萬(wàn)元 D．12.2萬(wàn)元 【答案】B 考點(diǎn)：線性回歸

3、方程． 5．若變量 滿足約束條件 則 的最小值等于 ( ) A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 試題分析：畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過(guò)可行域，盡可能向上移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，取到最小值，最小值為 ，故選A． 考點(diǎn)：線性規(guī)劃． 6．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為( ) A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解析】 試題分析：程序在執(zhí)行過(guò)程中的值依次為：；； ；；；，程序結(jié)束，輸出 ，故選C． 考點(diǎn)：程序框圖． 7．若 是兩條不同的直線， 垂

4、直于平面 ，則“ ”是“ 的 （ ） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 考點(diǎn)：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系． 8．若 是函數(shù) 的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且 這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】 試題分析：由韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，必為等比中項(xiàng)，故，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得，，綜上所述，，

5、所以，選D． 考點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)． 9．已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ） A．13 B．15 C．19 D．21 【答案】A 考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積；2、基本不等式． 10．若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)． 第II卷（非選擇題共100分） 二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置. 11． 的展開式中，的系數(shù)等于

6、．（用數(shù)字作答） 【答案】 【解析】 試題分析： 的展開式中項(xiàng)為，所以的系數(shù)等于． 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理． 12．若銳角的面積為 ，且 ，則 等于________． 【答案】 【解析】 試題分析：由已知得的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，． 考點(diǎn)：1、三角形面積公式；2、余弦定理． 13．如圖，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，函數(shù) ，若在矩形 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 ． 【答案】 【解析】 試題分析：由已知得陰影部分面積為．所以此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于． 考點(diǎn)：幾何概型． 14．若函數(shù) （ 且 ）的值域是 ，則實(shí)數(shù)

7、的取值范圍是 ． 【答案】 考點(diǎn)：分段函數(shù)求值域． 15．一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串 ，其中 稱為第 位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?） 已知某種二元碼 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組： 其中運(yùn)算 定義為： ． 現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 等于 ． 【答案】． 考點(diǎn)：推理證明和新定義． 三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。 16．某銀行規(guī)定

8、，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列見解析，期望為． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)首先記事件“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為．則銀行卡被鎖死相當(dāng)于三次嘗試密碼都錯(cuò)，基本事件總數(shù)為，事件包含的基本事件數(shù)為，代入古典概型的概

9、率計(jì)算公式求解；(Ⅱ)列出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別求取相應(yīng)值的概率，寫出分布列求期望即可． 試題解析：（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A， 則 （Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3 又 所以X的分布列為 所以． 考點(diǎn)：1、古典概型；2、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望． 17．如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn). (Ⅰ)求證：平面 ； (Ⅱ)求平面AEF與平面B

10、EC所成銳二面角的余弦值． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ． 試題解析：解法一：（Ⅰ）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，又G是BE的中點(diǎn)， ， 又F是CD中點(diǎn)，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以 ．從而四邊形是平行四邊形，所以，,又 ，所以． 所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為． 解法二：(Ⅰ)如圖，取中點(diǎn)，連接，，又是的中點(diǎn)，可知， 又面，面，所以平面． 在矩形ABCD中，由Ｍ，Ｆ分別是ＡＢ，ＣＤ的中點(diǎn)得． 又面，面，所以面． 又因?yàn)?，面，面? 所以面平面，因?yàn)槊?，所以平面? （Ⅱ）同解法一． 考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判斷；2、面面平行的判斷

11、和性質(zhì)；3、二面角． 18.．已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為． (Ⅰ)求橢圓E的方程； (Ⅱ)設(shè)直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) G在以AB為直徑的圓外． 在圓上． 試題解析：解法一：(Ⅰ)由已知得 解得 所以橢圓E的方程為． 故 所以，故G在以AB為直徑的圓外． 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，則 由所以 從而 所以不共線，所以為銳角. 故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外． 考

12、點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線和橢圓的位置關(guān)系；3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系． 19．已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度. (Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程； (Ⅱ)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解． （1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍； （2)證明： 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見解析． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)縱向伸縮或平移： 或；橫向伸縮或平移：（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍），(時(shí)，向左平移個(gè)單位；時(shí)，向右平移個(gè)單位)；(Ⅱ) （1)由(

13、Ⅰ)得，則，利用輔助角公式變形為（其中），方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，等價(jià)于直線和函數(shù)有兩個(gè)不同交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)結(jié)合圖像可得和，進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式結(jié)合已知條件求解． 試題解析：解法一：(1)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為 (2)1) （其中） 依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是. 2)因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解， 所以，. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), 所以 解法二：(1)同解法一.

14、 (2)1) 同解法一. 2) 因?yàn)槭欠匠淘趨^(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解， 所以，. 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí), 所以 于是 考點(diǎn)：1、三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)；2、輔助角公式和誘導(dǎo)公式． 20已知函數(shù)， (Ⅰ)證明：當(dāng)； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì) (Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有． 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析；(Ⅲ) ． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)構(gòu)造函數(shù)只需求值域的右端點(diǎn)并和0比較即可；(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)即，求導(dǎo)得 ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的形狀和最值，證明當(dāng)時(shí)，存在，使得即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，當(dāng)時(shí)，對(duì)于故，則不等式變形為，構(gòu)造函數(shù)，只需說(shuō)明，易發(fā)

15、現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，故不存在；當(dāng)時(shí)，由(Ⅱ)知，存在,使得對(duì)任意的任意的恒有，此時(shí)不等式變形為， 構(gòu)造，易發(fā)現(xiàn)函數(shù)在遞增，而，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，代入證明即可． 試題解析：解法一：(1)令則有 當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞減； 故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，． (2)令則有 當(dāng) ,所以在上單調(diào)遞增, 故對(duì)任意正實(shí)數(shù)均滿足題意. 當(dāng)時(shí)，令得． 取對(duì)任意恒有,所以在上單調(diào)遞增, ,即 . 綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)任意的恒有． (3)當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于故， ， 令，則有 故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在. 當(dāng)時(shí)，由（2）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有． 此時(shí),

16、 令，則有 故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為， 則當(dāng)，故滿足題意的t不存在. 當(dāng)，由（1）知，， 令，則有 當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意. 綜上，. 解法二：（1）（2）同解法一. （3）當(dāng)時(shí)，由（1）知，對(duì)于， 故， 令， 從而得到當(dāng)時(shí)，恒有,所以滿足題意的t不存在. 當(dāng)時(shí)，取 由（2）知存在,使得. 此時(shí), 令，此時(shí) , 記與中較小的為，則當(dāng)， 故滿足題意的t不存在. 當(dāng)，由（1）知，， 令，則有 當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故, 故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意 綜上，. 考點(diǎn)：導(dǎo)

17、數(shù)的綜合應(yīng)用． 21．本題設(shè)有三個(gè)選考題，請(qǐng)考生任選2題作答. 選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣 (Ⅰ)求A的逆矩陣； (Ⅱ)求矩陣C，使得AC=B. 【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)． 【解析】 試題分析：因?yàn)?，得伴隨矩陣，且，由可求得；(Ⅱ) 因?yàn)?，故，進(jìn)而利用矩陣乘法求解． 試題解析：(1)因?yàn)? 所以 (2)由AC=B得, 故 考點(diǎn)：矩陣和逆矩陣． 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為 (Ⅰ)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)

18、方程； (Ⅱ)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 【答案】(Ⅰ) ，；(Ⅱ) ． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)將圓的參數(shù)方程通過(guò)移項(xiàng)平方消去參數(shù)得 ，利用，將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)利用點(diǎn)到直線距離公式求解． 試題解析：(Ⅰ)消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為, 由，得, 所以直線l的直角坐標(biāo)方程為. (Ⅱ)依題意，圓心C到直線l的距離等于2，即 解得 考點(diǎn)：1、參數(shù)方程和普通方程的互化；2、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化；3、點(diǎn)到直線距離公式． 選修4-5：不等式選講 已知，函數(shù)的最小值為4． (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的最小值． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)． 【解析】 試題分析：(Ⅰ)由絕對(duì)值三角不等式得 的最小值為，故，即 ；(Ⅱ)利用柯西不等式求解． 試題解析：(Ⅰ)因?yàn)? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 又，所以,所以的最小值為, 所以． (Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得 , 即. 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，等號(hào)成立 所以的最小值為. 考點(diǎn)：1、絕對(duì)值三角不等式；2、柯西不等式．