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1、 考點(diǎn)16 不等式 1.（20xx·安徽高考文科·Ｔ8）設(shè)x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是（ ） （A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查考生的作圖、運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】由約束條件畫可行域確定目標(biāo)函數(shù)的最大值點(diǎn)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的最大值 【規(guī)范解答】選C．約束條件表示的可行域是一個(gè)三角形區(qū)域，3個(gè)頂點(diǎn)分別 是，目標(biāo)函數(shù)在取最大值6，故C正確． 【方法技巧】解決線性規(guī)劃問(wèn)題，首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即

2、幾條直線圍成的區(qū)域），則區(qū)域中的某個(gè)端點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)取得最值． 2.（20xx·福建高考文科·Ｔ5）若，且，則的最小值等于（ ） (A)2 (B)3 (C)5 (D)9 【命題立意】本題考查利用線性規(guī)劃的方法求最值． 【思路點(diǎn)撥】先畫出不等式組表示的線性區(qū)域，再作出直線，平移，當(dāng)其截距越小，的值越?。? 【規(guī)范解答】選B．不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影所示： 作，平移至點(diǎn)位置時(shí)，取得最小值，即． 【方法技巧】本題可以采用多種解法，有些解法一反常規(guī)， 顛覆視覺(jué)． 方法一（特殊點(diǎn)法）：因?yàn)橹本€兩兩相交分別

3、交于，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； 所以當(dāng)時(shí)，． 方法二（反代入法）：，把代入得： 所以有最小值3． 方法三（向量法）：設(shè)，則 方向上的投影，所以當(dāng)在位置時(shí)取得最小值，所以當(dāng)時(shí)，為最小值． 3.（20xx·浙江高考文科·Ｔ7）若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，則x+y的最大值為（ ） （A）9 （B） （C）1 （D） 【命題立意】本題主要考查了平面區(qū)域的二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想， 屬中檔題． 【思路點(diǎn)撥】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用圖象求的最大值． 【規(guī)范解答】選A．

4、令，則，表示過(guò)可行 域內(nèi)點(diǎn)斜率為-1的直線在軸上的截距．由圖可知當(dāng)向上平移 使它過(guò)點(diǎn)時(shí)，． 【方法技巧】（1）畫可行域時(shí)：“直線定界、特殊點(diǎn)定域”． （2）尋找目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)先指明它的幾何意義，這樣才能找到相應(yīng)的最值． 4.（20xx·天津高考文科·Ｔ2）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y的最大值 為（ ） （A）12 （B）10 （C）8 （D）2 【命題立意】考查線性規(guī)劃的意義，求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合，畫圖分析求得最值． 【規(guī)范解答

5、】選B．在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出直線的圖象，作出可行域可知 直線平行移動(dòng)到直線的交點(diǎn)（2，1）處，目標(biāo)函數(shù)z=4x+2y取得最大值10. 【方法技巧】 線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)最優(yōu)點(diǎn)，畫圖失誤或求點(diǎn)失誤是常見(jiàn)的失誤點(diǎn)，解決最優(yōu)解問(wèn)題可將各個(gè)邊界點(diǎn)代入驗(yàn)證，然后尋找合適點(diǎn)． 5.（20xx·山東高考理科·Ｔ10）設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值分別為（ ） （A）3，－11 （B）－3, －11 （C）11, －3 （D）11,3 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、考查了考生的推理論證能力和

6、運(yùn)算求解能力. 【思路點(diǎn)撥】先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，再求解. 【規(guī)范解答】選A ．畫出平面區(qū)域如圖所示：可知當(dāng)平移到點(diǎn)（5，3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值3；當(dāng)平移到點(diǎn)（3，5）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值-11，故選A. 6.（20xx·浙江高考理科·Ｔ7）若實(shí)數(shù)，滿足不等式組且的最大值為9， 則實(shí)數(shù)（ ） （A） （B） （C）1 （D）2 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃的相關(guān)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想． 【思路點(diǎn)撥】畫出平面區(qū)域，利用的最大值為9，確定區(qū)域的邊界． 【規(guī)范解答】選C．令，則，表示斜率為-1的直

7、線在軸上的截距． 當(dāng)最大值為9時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，因此過(guò)點(diǎn)A，所以． 【方法技巧】畫平面區(qū)域時(shí)“直線定界、特殊點(diǎn)定域”． 7.（20xx·北京高考理科·Ｔ7）設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若指數(shù)函數(shù)y=的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)，則a 的取值范圍是（ ） （A）(1,3] (B)[2,3] (C) (1,2] (D)[ 3, ) 【命題立意】本題考查平面區(qū)域，指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)． 【思路點(diǎn)撥】畫出平面區(qū)域D，再觀察的圖象． 【規(guī)范解答】選A．區(qū)域D如圖所示，其中．當(dāng)恰過(guò)點(diǎn)A時(shí)，． 因此當(dāng)時(shí)，的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn)

8、． 【方法技巧】畫區(qū)域D時(shí)可采用“直線定界、特殊點(diǎn)定域”的方法． 8.（20xx·江蘇高考·Ｔ１2）設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，滿足3≤≤8，4≤≤9，則的最大值是 ． 【命題立意】本題考查不等式的基本性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想． 【思路點(diǎn)撥】 【規(guī)范解答】，，， 的最大值是27． 【答案】27 9.（20xx·浙江高考文科·Ｔ16） 某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3 860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月至十月份銷售總額至

9、少達(dá)7 000萬(wàn)元，則x的最小值為 ． 【命題立意】本題主要考查了用一元二次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬中檔題． 【思路點(diǎn)撥】把一到十月份的銷售額求和，列出不等式，求解． 【規(guī)范解答】七月份：，八月份：．所以一至十月份的銷售總額為： ，解得（舍）或， ． 【答案】20 10.（20xx·浙江高考文科·Ｔ15）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是 ． 【命題立意】本題主要考查了用基本不等式解決最值問(wèn)題的能力 ，以及換元思想和簡(jiǎn)單一元二次不等式的解法，屬中檔題． 【思路點(diǎn)撥】本題可利用基本不等式構(gòu)造出關(guān)于的不等式，解出的最小值． 【規(guī)范解答】

10、運(yùn)用基本不等式，，令，可得，注意到t＞0，解得t≥,故xy的最小值為18． 【答案】18 【方法技巧】基本不等式有兩個(gè)常用變形：（1）當(dāng)和為定值時(shí)，積有最大值，即．（2）當(dāng)積為定值時(shí)，和有最小值，即． 11.（20xx·山東高考文科·Ｔ１4）已知R+，且滿足，則xy的最大值為 . 【命題立意】本題考查均值定理，考查考生運(yùn)用基本不等式運(yùn)算求解能力. 【規(guī)范解答】R+，且，由基本不等式有，解得， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以xy的最大值為3. 【答案】3 12.（20xx·山東高考理科·Ｔ14）若對(duì)任意，恒成立，則的取值范圍

11、是 ． 【命題立意】本題考查了利用基本不等式求最值及不等式恒成立問(wèn)題以及參數(shù)問(wèn)題的求解，考查了考生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力． 【思路點(diǎn)撥】將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題. 【規(guī)范解答】因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以有 ，即的最大值為，故 . 【答案】 【方法技巧】1．不等式的恒成立問(wèn)題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決不等式恒成立問(wèn)題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題來(lái)解： 恒成立； 恒成立． 2．高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問(wèn)題，通常采用導(dǎo)數(shù)法解決. 13.（20xx·安徽高考文科·Ｔ15）若，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的恒成立

12、的是 (寫出所有正確命題的編號(hào))． ①； ②； ③ ； ④； ⑤． 【命題立意】本題主要考查均值定理，考查考生變形轉(zhuǎn)化的能力． 【思路點(diǎn)撥】可以利用特值排除，結(jié)合均值定理變形轉(zhuǎn)化求解． 【規(guī)范解答】令，排除②，④； 由，命題①正確； 由，命題③正確； 由，命題⑤正確． 【答案】①③⑤ 14.（20xx·陜西高考文科·Ｔ１4）設(shè)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y的最大值為 . 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)， 畫出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是 解答好本題的關(guān)鍵，屬中檔題．

13、【思路點(diǎn)撥】作出可行域作出直線3x－y＝0 平移3x-y=0結(jié)論 【規(guī)范解答】作出可行域 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝3x－y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值5. 【答案】５ 15.（20xx·北京高考文科·Ｔ11）若點(diǎn)P（m，3）到直線的距離為4，且點(diǎn)P在不等式 ＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m= ． 【命題立意】本題考查了點(diǎn)到直線的距離與線性規(guī)劃的知識(shí)． 【思路點(diǎn)撥】先利用點(diǎn)到直線的距離求出，再把所得點(diǎn)P的坐標(biāo)代入到不等式中去驗(yàn)證． 【規(guī)范解答】點(diǎn)P（m，3）到直線的距離為4，解得或m=．又因?yàn)辄c(diǎn)P在不等式＜3表示的平面區(qū)域內(nèi)，所以． 【答案】-3 【方法

14、技巧】判斷點(diǎn)是否在某平面區(qū)域內(nèi)，只需把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到不等式(組)中看是否成立即可． 16.（20xx·安徽高考理科·Ｔ13）設(shè)滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)的最大值為8，則的最小值為_(kāi)_______． 【命題立意】本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題和均值定理，考查考生的作圖、運(yùn)算求解能力． 【思路點(diǎn)撥】由約束條件畫可行域 確定目標(biāo)函數(shù)的最大值點(diǎn)計(jì)算的值 利用均值定理計(jì)算的最小值 【規(guī)范解答】 已知滿足約束條件，其可行域是一個(gè)四邊形，4個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 ，易得目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取最大值8， 所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 所以的最小值為4． 【答案】4 【方法技巧】

15、線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域），則目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值在區(qū)域的端點(diǎn)或邊界處取得． 17.（20xx·遼寧高考理科·Ｔ14）已知且，則的取值范圍 是_______（答案用區(qū)間表示）． 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題． 【思路點(diǎn)撥】 寫出答案 利用性質(zhì)求出范圍 作出可行域 【規(guī)范解答】作出可行域（如圖）， 將目標(biāo)函數(shù)z=2x-3y變形為，它表示與平行，截距是的一組平行直線，當(dāng)它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，此是z取得最小值；當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最小，此時(shí)z最大．由 由 ∴z=2x－３y的取值范圍是（3，8）．

16、【答案】（3，8） 【方法技巧】本題還可設(shè)，利用不等式求解．注意：不要先分別求， 的范圍再求的范圍，這樣會(huì)將范圍擴(kuò)大，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤． 18.（20xx·陜西高考理科·Ｔ１4）鐵礦石A和B的含鐵率為,冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石CO2的排放量b及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格c如下表： b(萬(wàn)噸) （百萬(wàn)元） A 50% 1 3 B 70% 0．5 6 某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬(wàn)噸)鐵,若要求CO2的排放量不超過(guò)2(萬(wàn)噸),則購(gòu)買鐵礦石的最少費(fèi)用 為_(kāi)　　_ (百萬(wàn)元)． 【命題立意】本題考查不等式中的線性規(guī)劃知識(shí)的應(yīng)用，畫出平面區(qū)域與正確理解目標(biāo)函數(shù)的幾何

17、意義是解答好本題的關(guān)鍵．屬中檔題． 【思路點(diǎn)撥】設(shè)購(gòu)買鐵礦石A，B分別為萬(wàn)噸線性約束條件最優(yōu)解結(jié)論． 【規(guī)范解答】設(shè)購(gòu)買鐵礦石A，B分別為萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石的費(fèi)用為z（百萬(wàn)元），則 ，目標(biāo)函數(shù)，， 畫出可行域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)P（1，2）時(shí)，z取到最小值15. 【答案】15 19.（20xx·廣東高考文科·Ｔ19）某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素．一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，

18、42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐? 【命題立意】本題為應(yīng)用題，考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題以及建立數(shù)學(xué)模型的方法. 【思路點(diǎn)撥】建立目標(biāo)函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】設(shè)為該兒童分別預(yù)定個(gè)單位的午餐和晚餐，共需元，則 . 作出可行域如圖： 所以，當(dāng)時(shí)，花費(fèi)最少，為 （元）. 答：應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定4個(gè)午餐和3個(gè)晚餐. 【方法技巧】線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)從目標(biāo)函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，

19、這樣思路更清晰. 20.（20xx·廣東高考理科·Ｔ19） 某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C.一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C. 如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？ 【命題立意】本題為應(yīng)用題，考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題以及建立數(shù)學(xué)模型的方法. 【思路點(diǎn)撥】建立目標(biāo)函數(shù)列出約束條件畫出可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值. 【規(guī)范解答】設(shè)為該兒童分別預(yù)定個(gè)單位的午餐和晚餐，共需元，則. 作出可行域如圖： 所以，當(dāng)時(shí)，花費(fèi)最少，為(元). 答：應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定4個(gè)午餐和3個(gè)晚餐. 【方法技巧】線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，應(yīng)從目標(biāo)函數(shù)入手，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，這樣思路更清晰.