《浙江版高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用講》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江版高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)(講練測)： 專題6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用講（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第第 0 05 5 節(jié)節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列的綜合應(yīng)用 【考綱解讀】【考綱解讀】 考 點 考綱內(nèi)容 五年統(tǒng)計 分析預(yù)測 與數(shù)列有關(guān)的綜合問題 1.理解等差數(shù)列、 等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前 n 項和公式及其應(yīng)用. 2了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、 等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 3會用數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系解決實際問題. 20 xx 浙江 6,22； 20 xx 浙江文 8;理 6,20； 20 xx 浙江理 20； 20 xx 浙江文 19；理 19. 1 1.高頻考向:根據(jù)數(shù)列的遞推式或者通項公式確定基本量，選擇合適的方法求和，進(jìn)一步證明不等式 2 2.低頻考向:數(shù)列與

2、函數(shù)相結(jié)合. 3 3.特別關(guān)注: （1）靈活選用數(shù)列求和公式的形式，關(guān)注應(yīng)用公式的條件； （2）熟悉分組求和法、裂項相消法及錯位相減法； （3)數(shù)列求和與不等式證明、不等式恒成立相結(jié)合求解參數(shù)的范圍問題. 【知識清單】【知識清單】 一、一、等差數(shù)列和等比數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列比較比較 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 1nnaa常數(shù) 1nnaa常數(shù) 通項公式 1(1)naand )0(111qaqaann 判定方法 (1)定義法； (2)中項公式法：212nnnaaanNna為等差數(shù)列； (3)通項公式法：napnq(, p q為常數(shù),nN) na為等差數(shù)列； (4)前n項和公式法：2nSAnBn(,

3、A B為常數(shù), nN) na為等差數(shù)列； (5) na為等比數(shù)列，且0na ，(1)定義法 (2)中項公式法：212nnnaaa nN (0na ) na為等比數(shù)列 (3)通項公式法：nnacq (, c q均是不為 0 的常數(shù)，nN)na為等比數(shù)列 (4) na為等差數(shù)列naA(naA總有意義)為等比數(shù)列 那么數(shù)列l(wèi)ogana (0a ，且1a )為等差數(shù)列 性質(zhì) (1)若m，n，p，qN，且mnpq， 則mnpqaaaa (2) ()nmaanm d (3) 232,nnnnnSSSSS，仍成等差數(shù)列 (1)若m，n，p，qN，且mnpq，則mnpqaaaa (2) mnmnqaa (3)

4、等比數(shù)列依次每n項和(0nS )，即 232,nnnnnSSSSS，仍成等比數(shù)列 前n項和 11()(1)22nnn aan nSnad 1q 時，1naSn；當(dāng)1q時，qqaSnn1)1 (1或11nnaa qSq. 對點練習(xí)：對點練習(xí)： 【屆廣西桂林市柳州市高三模擬金卷】已知 na是等差數(shù)列，公差d不為零若2a， 3a， 7a成等比數(shù)列，且1221aa，則na . 【答案】. 二數(shù)列求和二數(shù)列求和 1. 等差數(shù)列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad. 2等比數(shù)列前n項和公式 一般地， 設(shè)等比數(shù)列123,na a aa的前n項和是nS123naaaa， 當(dāng)1q時，

5、qqaSnn1)1 (1或11nnaa qSq；當(dāng)1q 時，1naSn（錯位相減法）. 3. 數(shù)列前n項和 重要公式： （1）1nkk1 23n 2) 1( nn （2）1(21)nkk1 3521n 2n （3）31nkk2333) 1(2121nnn （4）21nkk) 12)(1(613212222nnnn 等差數(shù)列中，m nmnSSSmnd； 等比數(shù)列中，nmm nnmmnSSq SSq S. 對點練習(xí)：對點練習(xí)： 【2017 屆浙江臺州中學(xué)高三 10 月月考】在等差數(shù)列na中，13a ，其前n項和為nS，等比數(shù)列 nb的各項均為正數(shù)，11b ，公比為q，且2212bS，22Sqb （

6、1）求na與nb； （2）證明：3211121nSSS 【答案】 （1）3nan，13nnb； （2）詳見解析. 試題解析：（1） 設(shè)na的公差為d， 222212bSSqb， 61 26qddqq， 解得3q 或4q （舍） ，3d ， 故33(1)3nann，13nnb； （2）(33 )2nnnS，122 11()(33 )31nSnnnn， 故121112111111121(1)()()()(1)322334131nSSSnnn， 1n ，11012n，111121n ，1212(1)3313n， 即121111233nSSS. 【考點深度剖析】【考點深度剖析】 數(shù)列求和是高考重點考查

7、的內(nèi)容之一，命題形式多種多樣，以解答題為主，難度中等或稍難，數(shù)列求和問題為先導(dǎo)，在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合. 【重點難點【重點難點突破】突破】 考點 1 等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題 【1-1】 【20 xx杭州調(diào)研】已知數(shù)列an，bn中，a11，bn1a2na2n11an1，nN*，數(shù)列bn的前 n 項和為 Sn. (1)若 an2n1，求 Sn； (2)是否存在等比數(shù)列an，使 bn2Sn對任意 nN*恒成立？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列an的通項公式；若不存在，請說明理由； (3)若an是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：Sn2. 【答案】(1)34

8、32n2. (2)滿足條件的數(shù)列an存在，且只有兩個，一個是 an1，另一個是 an(1)n1. (3)證明見解析. (2)解 滿足條件的數(shù)列an存在且只有兩個， 其通項公式為 an1 和 an(1)n1. 證明：在 bn2Sn中，令 n1，得 b3b1. 設(shè) anqn1，則 bn11q21qn. 由 b3b1得11q21q311q21q. 若 q1，則 bn0，滿足題設(shè)條件. 此時 an1 和 an(1)n1. 若 q1，則1q31q，即 q21，矛盾. 綜上所述，滿足條件的數(shù)列an存在，且只有兩個， 一個是 an1，另一個是 an(1)n1. (3)證明 因為 1a1a2an0，0anan

9、11，于是 0a2na2n11. bn1a2na2n11an11anan11anan11an1 1anan11an1an1anan121an1an1. 故 Snb1b2bn 21a11a221a21a321an1an1 21a11an1 211an12. 所以 Sn2. 【1-2】已知等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且 2a13a21，a239a2a6. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設(shè)bnlog3an，求數(shù)列1bnbn1的前n項和Tn. 【答案】 （1）an13n； （2）n4（n1） (2)an13n，bnlog 313n2n， 從而1bnbn114n（n1）141n1n1， Tn141

10、1212131n1n11411n1n4（n1）. 【領(lǐng)悟技法】 1公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前n項和的公式來求和.對于一些特殊的數(shù)列（正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方和立方數(shù)列等）也可以直接使用公式求和. 2倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法，如果一個數(shù)列 na的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)， 那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的 3 錯位相減法： 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項

11、和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的 若nnnabc，其中 nb是等差數(shù)列， nc是公比為q等比數(shù)列，令 1 12211nnnnnSbcb cbcb c，則nqS 1 22 311nnnnbcb cbcb c兩式錯位相減并整理即得. 4裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消， 于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和， 這一求和方法稱為裂項相消法.適用于類似1nnca a（其中 na是各項不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等. 5. 易錯提示 利用裂項相消法解決數(shù)列求和問題，容易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面

12、： (1)裂項過程中易忽視常數(shù)，如)211(21)2(1nnnn容易誤裂為112nn，漏掉前面的系數(shù)12； (2)裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或添項的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤 應(yīng)用錯位相減法求和時需注意： 給數(shù)列和Sn的等式兩邊所乘的常數(shù)應(yīng)不為零，否則需討論； 在轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的和后，求其和時需看準(zhǔn)項數(shù)，不一定為n. 【觸類旁通】 【變式一】 【20 xx東北三省四校模擬】已知等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn，公差 d0，且 S3S550，a1，a4，a13成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項公式； (2)設(shè)bnan是首項為 1，公比為 3 的等比數(shù)列，求數(shù)列bn的前 n 項和 Tn. 【

13、答案】(1)an2n1.(2)Tnn3n. (2)bnan3n1，bnan3n1(2n1)3n1， Tn353732(2n1)3n1， 3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n， 兩式相減得， 2Tn32323223n1(2n1)3n 323（13n1）13(2n1)3n2n3n， Tnn3n. 【變式二】在數(shù)列an中，a12，a212，a354，數(shù)列an13an是等比數(shù)列 (1)求證：數(shù)列an3n1是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列an的前 n 項和 Sn. 【答案】(1)證明：見解析(2)n123n12. 【解析】(1)證明：a12，a212，a354， a23a16，a33a218.

14、 又?jǐn)?shù)列an13an是等比數(shù)列， an13an63n123n，an13nan3n12， 數(shù)列an3n1是等差數(shù)列 (2)由(1)知數(shù)列an3n1是等差數(shù)列， an3n1a130(n1)22n，an2n3n1. Sn213022312n3n1， 3Sn21322322n3n. Sn3Sn2130213213n12n3n213n132n3n3n12n3n， Snn123n12. 考點 2 數(shù)列的綜合應(yīng)用 【2-1】 【安徽省六安市第一中學(xué)高三上學(xué)期第二次月考】某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)獎金投入.若該公司全年投入研發(fā)資金 130 萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長 12%，則該

15、公司全年投入的研發(fā)資金開始超過 200 萬元的年份是（參考數(shù)據(jù)：） （ ） A. 2021 年 B. C. D. 【答案】C 【2-2】已知 23,0,31xf xxx，已知數(shù)列 na滿足03,nanN，且122010670aaa，則122010()()()f af af a( ) A有最大值 6030 B . 有最小值 6030 C.有最大值 6027 D . 有最小值 6027 【答案】A 【解析】1( )33f，當(dāng)12201013aaa時，122010()()()f af af a=6030 對于函數(shù)23( )(03)1xf xxx,19( )316kf ,在13x 處的切線方程為 91

16、3()103yx 即3(11)10yx， 則 22331(11)(3)()01103xf xxxxx成立， 所以03,nanN時，有3(11 3)10nnf aa 122010()()()f af af a122010311 20103()603010aaa. 【2-3】 【浙江省湖州、衢州、麗水三市高三 4 月聯(lián)考】數(shù)列 na中， 112a ， 2*121nnnnaanNaa （）求證： 1nnaa； （）記數(shù)列 na的前n項和為nS，求證： 1nS 【答案】( )見解析；()見解析. 2121122111111111111111111111111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaa

17、aaa 112222233111111nnnnnnnaaaaaaa ，一個一個地變形最后可得111naa，從而證得題中不等式也可利用裂項方法，由已知遞推式得11111nnnaaa，這樣也可求得和式nS，完成不等式的證明. 試題解析： 證： （1）因為=，且，所以， 所以 所以，. （2） ，所以. （）證法 2：， . ， ， ， 所以. 【2-4】 【浙江省臺州市高三 4 月一?！恳阎獢?shù)列滿足：. （1）求證：； （2）求證：. 【答案】(1)見解析;(2)見解析. 所以，因為， 所以. （2）假設(shè)存在， 由（1）可得當(dāng)時， 根據(jù)，而， 所以. 于是， . 累加可得（*） 由（1）可得， 而

18、當(dāng)時，顯然有， 因此有， 這顯然與（*）矛盾，所以. 【領(lǐng)悟技法】 1. 數(shù)列與不等式的綜合問題是近年來的高考熱門問題，與不等式相關(guān)的大多是數(shù)列的前n項和問題，對于這種問題，在解答時需要利用化歸的思想將問題轉(zhuǎn)化為我們較熟悉的問題來解決，要掌握常見的解決不等式的方法，以便更好地解決問題 數(shù)列與不等式的結(jié)合，一般有兩類題：一是利用基本不等式求解數(shù)列中的最值；二是與數(shù)列中的求和問題相聯(lián)系，證明不等式或求解參數(shù)的取值范圍，此類問題通常是抓住數(shù)列通項公式的特征，多采用先求和后利用放縮法或數(shù)列的單調(diào)性證明不等式，求解參數(shù)的取值范圍 以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，或不等式的證明問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系，最

19、后利用函數(shù)的單調(diào)性求解，或利用放縮法證明. 解決數(shù)列和式與不等式證明問題的關(guān)鍵是求和，特別是既不是等差、等比數(shù)列，也不是等差乘等比的數(shù)列求和，要利用不等式的放縮法，放縮為等比數(shù)列求和、錯位相減法求和、裂項相消法求和，最終歸結(jié)為有限項的數(shù)式大小比較 數(shù)列與不等式綜合的問題是常見題型，常見的證明不等式的方法有：作差法；作商法；綜合法；分析法；放縮法. 2. 數(shù)列與解析幾何交匯問題主要是解析幾何中的點列問題，關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后借助數(shù)列的知識加以解決 3. 處理探索性問題的一般方法是：假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立或其中的一部分結(jié)論成立，然后在這個前提

20、下進(jìn)行邏輯推理若由此導(dǎo)出矛盾，則否定假設(shè)，否則，給出肯定結(jié)論，其中反證法在解題中起著重要的作用還可以根據(jù)已知條件建立恒等式，利用等式恒成立的條件求解 4. 解答數(shù)列綜合問題要善于綜合運用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項等方法來分析、解決問題數(shù)列與解析幾何的綜合問題解決的策略往往是把綜合問題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項公式，然后再利用數(shù)列知識和方法求解 5.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故數(shù)列有著許多函數(shù)的性質(zhì)等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最常見的數(shù)列，它們是研究數(shù)列性質(zhì)的基礎(chǔ)，它們與函數(shù)、方程、不等式、三角等內(nèi)容有著廣泛

21、的聯(lián)系，等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中也有著廣泛的應(yīng)用，隨著高考對能力要求的進(jìn)一步增加，這一部分內(nèi)容也將受到越來越多的關(guān)注 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，解決此類問題時要注意把握以下兩點： (1)正確審題，深摳函數(shù)的性質(zhì)與數(shù)列的定義； (2)明確等差、等比數(shù)列的通項、求和公式的特征 【觸類旁通】 【變式一】【浙江省杭州市高三 4 月二模】 已知數(shù)列 na的各項均為非負(fù)數(shù)， 其前n項和為nS，且對任意的*nN，都有212nnnaaa. （1）若11a ， 5052017a，求6a的最大值； （2）若對任意*nN，都有1nS ，求證： +1201nnaan n. 【答案】 （1）見解析（2）見解析 611

22、25aaddd，便可求出6a的最大值； （2）首先假設(shè)1kkaa，根據(jù)已知條件212nnnaaa得112kkkkaaaa ，于是通過證明對于固定的k值，存在121naaa，由此得出與1nS 矛盾，所以得到10nnaa，再設(shè)1kkkbaa，則根據(jù)121nnnnaaaa可得1,0kkkbbb，接下來通過放縮，可以得到1123nn b ，于是可以得出要證的結(jié)論. 試題解析： （1）由題意知121nnnnaaaa，設(shè)1iiidaa 1,2,504i ， 則123504dddd，且1235042016dddd， 1255ddd 67504409ddd 1252016409ddd， 所以12520ddd，

23、 6112521aaddd. （2）若存在*kN，使得1kkaa，則由212nnnaaa， 得112kkkkaaaa， 因此，從na項開始，數(shù)列 na嚴(yán)格遞增， 故12naaa 1kknaaa 1knka， 對于固定的k，當(dāng)n足夠大時，必有121naaa，與題設(shè)矛盾，所以 na不可能遞增，即只能10nnaa. 令1kkkbaa， *kN， 由112kkkkaaaa，得1kkbb， 0kb ， 故121naaa 122nbaaa 12332nbbaaa， 122nnbbnbna 11 22nnn nn bb， 所以21nbn n， 綜上，對一切*nN，都有1201nnaan n. 【變式二】【浙

24、江省嘉興一中、 杭州高級中學(xué)、 寧波效實中學(xué)等高三下五校聯(lián)考】 已知數(shù)列 na中，滿足1111,22nnaaa記nS為na前 n 項和 （I）證明： 1nnaa； （）證明： 1cos3 2nna （）證明： 22754nSn. 【答案】 （1）見解析； （2）見解析； （3）見解析 試題解析：證明： （I）因2221221 2112,nnnnnnaaaaaa 故只需要證明1na 即可 3 分 下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)1n 時， 1112a 成立 假設(shè)nk時， 1ka 成立， 那么當(dāng)1nk時， 111 1122kkaa， 所以綜上所述，對任意n， 1na 6 分 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明1cos3

25、?2nna 當(dāng)1n 時， 11cos23a成立 假設(shè)nk時， 1cos3?2kka 那么當(dāng)1nk時， 11cos113?2cos223?2kkkkaa 所以綜上所述，對任意n， 1cos3?2nna 10 分 （）22211111111sin223?23?2nnnnnaaa 得211219?4nna 12 分 故22212211241127119?4229316454nniniSnn 15 分 【易錯試題常警惕易錯試題常警惕】 易錯典例：易錯典例： 【20 xx 高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列 na滿足112nnaa，n （I）證明：1122nnaa，n； （II）若32nna，n，證明：2na ，n

26、易錯分析：易錯分析：一是不能正確理解題意，二是在證明過程中不能正確第進(jìn)行不等式的放縮. 試題解析： （I）由112nnaa得1112nnaa，故 111222nnnnnaa，n， 所以 11223111223122222222nnnnnnaaaaaaaa 121111222n 1， 因此 1122nnaa （II）任取n，由（I）知，對于任意mn， 1121112122222222nmnnnnmmnmnnnnmmaaaaaaaa 11111222nnm 112n， 故 11222mnnnmaa 11132222mnnm 3224mn 從而對于任意mn，均有 3224mnna 由m的任意性得2n

27、a 否則，存在0n，有02na，取正整數(shù)000342log2nnam且00mn，則 003040002log23322244nnammnna， 與式矛盾 綜上，對于任意n，均有2na 溫馨提醒溫馨提醒：（I） 先利用三角形不等式及變形得111222nnnnnaa， 再用累加法可得1122nnaa，進(jìn)而可證1122nnaa； （II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得3224mnna，再利用m的任意性可證2na 【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】 -數(shù)列數(shù)列求和與比較大小求和與比較大小 數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考

28、查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明.在解決這些問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.如果是解不等式問題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法. 【典例】數(shù)列an是公比為12的等比數(shù)列，且 1a2是 a1與 1a3的等比中項，前 n 項和為 Sn；數(shù)列bn是等差數(shù)列，b18，其前 n 項和 Tn滿足 Tnnbn1( 為常數(shù)，且 1) (1)求數(shù)列an的通項公式及 的值； (2)比較1T11T21T31Tn與12Sn的大小 【答案】 設(shè)bn的公差為 d， 又 T1b2，T22b3，即 8，16d， 解得 12，d8或 1，d0(舍)，12. (2)由(1)知 Sn112n， 12Sn1212n114， 又 Tn4n24n，1Tn1141n1n1， 1T11T21Tn 1411212131n1n1 1411n114， 由可知1T11T21Tn12Sn.