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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(含解析) 一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分） 1.已知全集，則（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出全集中的元素，再由可得B，再由交集定義求解即可. 【詳解】全集， 由，可得. 所以. 故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于　　 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則把復(fù)數(shù)化簡為z，進(jìn)而得到答案． 【詳解】設(shè)z, 所以復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限． 故選：B． 【點(diǎn)睛】解決此類問題的關(guān)鍵是合理正確的運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及有關(guān)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，并且靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算技巧． 3.“”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 由得，，故“”是“”的必要不充分條件，故選B. 4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，若，則　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求解即可. 【詳解】向量. 若，則有：. 解得. 故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題. 5.設(shè)m，n是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，給出下列命題，正確的是（ ）． A. 若，，則 B. 若，，則 C. 若，，則 D. 若，，，則 【答案】B 【解析】 試題分析：對于A選項(xiàng)，可能m與相交或平行，對于選項(xiàng)B，由于，則在內(nèi)一定有一直線設(shè)為與平行，又，則，又，根據(jù)面面垂直的判定定理，可知，故B選項(xiàng)正確，對于C選項(xiàng)，可能有，對于D選項(xiàng)，可能與相交. 考點(diǎn)：線面間的位置關(guān)系 6.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則　　 A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由函數(shù)為奇函數(shù)可得，進(jìn)而代入解析式求解即可. 【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以. 又當(dāng)時，，所以. 所以. 故選D. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. 7.在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，若，則的值等于（ ） A. -xx B. -xx C. xx D. xx 【答案】A 【解析】 【分析】 設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，將通項(xiàng)公式代入條件可解得，再由前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式求解即可. 【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則， 所以. 則. 解得. 所以. 故選A. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和的通項(xiàng)公式，屬于公式應(yīng)用題，運(yùn)算是關(guān)鍵. 8.在中，的平分線交于，,則的長為（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】 過點(diǎn)D作分別交AB、AC于E、F，可得平行四邊形AFDE為菱形，所以，由三點(diǎn)共線的向量形式可得，進(jìn)而由的長可得，進(jìn)而得AC. 【詳解】 如圖所示，過點(diǎn)D作分別交AB、AC于E、F. 由，且B,C,D三點(diǎn)共線，所以，解得. 由圖可知：，所以，. 又為的平分線，所以平行四邊形AFDE為菱形，所以. ，所以，所以. 故選D. 【點(diǎn)睛】利用平面向量判定三點(diǎn)共線往往有以下兩種方法： ①三點(diǎn)共線； ②為平面上任一點(diǎn)，三點(diǎn)共線，且. 9.正項(xiàng)等比數(shù)列中，存在兩項(xiàng)使得，且，則的最小值是( ) A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 試題分析：由得解得，再由得，所以，所以. 考點(diǎn)：數(shù)列與基本不等式. 【思路點(diǎn)晴】本題主要考查等比數(shù)列的基本元思想，考查基本不等式.第一步是解決等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，也即求出等比數(shù)列的基本元，在求解過程中，先對具體的數(shù)值條件進(jìn)行化簡，可求出，由此化簡第一個條件，可得到；接下來第二步是基本不等式常用的處理技巧，先乘以一個常數(shù)，再除以這個常數(shù)，構(gòu)造基本不等式結(jié)構(gòu)來求. 10.已知函數(shù), 則函數(shù)的圖象（ ） A. 最小正周期為T=2p B. 關(guān)于點(diǎn)直線 對稱 C. 關(guān)于直線對稱 D. 在區(qū)間上為減函數(shù) 【答案】C 【解析】 【詳解】函數(shù) . 可知函數(shù)的最小正周期為； ，為函數(shù)的最大值，所以直線為函數(shù)的對稱軸. 故選C. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡，用到了兩角和的余弦展開及二倍角公式，以及正弦型三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題. 11.在矩形中，，沿將矩形折疊，其正視圖和俯視圖如圖所示. 此時連結(jié)頂點(diǎn)形成三棱錐，則其側(cè)視圖的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 12.已知函數(shù)若當(dāng)方程有四個不等實(shí)根，，，（）時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 試題分析：當(dāng)時，，所以，由此畫出函數(shù)的圖象如下圖所示，由于，故.且.所以，，由分離參數(shù)得，，令，則上式化為，即，此方程有實(shí)數(shù)根，判別式大于或等于零，即，解得，所以，故選B. 考點(diǎn)：分段函數(shù)與不等式. 【思路點(diǎn)晴】本題考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.第一步是根據(jù)題意求完整的解析式，由于第二段函數(shù)是用對應(yīng)法則來表示，注意到當(dāng)時，，所以，由此求得函數(shù)的表達(dá)式并畫出圖象，根據(jù)圖象的對稱性可知，且.第二步用分離常數(shù)的方法，分離常數(shù)，然后利用求值域的方法求得的最小值. 二、填空題（本大題共4小題，共20.0分） 13.若，則_______ . 【答案】1 【解析】 【分析】 由計(jì)算求解即可. 【詳解】由. 解得或-2（舍） 故答案為：1. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 14.如圖，在正三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別為各邊的中點(diǎn)，G，H，I，J分別為AF，AD，BE、DE的中點(diǎn)將沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為______． 【答案】． 【解析】 【分析】 將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，則IJ∥側(cè)棱，故GH與IJ所成角與側(cè)棱與GH所成的角相等．AD為折成三棱錐的側(cè)棱，則GH與IJ所成角的度數(shù)為60． 【詳解】將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后， I、J分別為BE、DE的中點(diǎn)，則IJ∥側(cè)棱， 故GH與IJ所成角與側(cè)棱與GH所成的角相等； AD為折成三棱錐的側(cè)棱，因?yàn)椤螦HG＝60， 故GH與IJ所成角的度數(shù)為60， 故答案為：60． 【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線的角度及余弦值計(jì)算．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用． 15.在中，，，則在方向上的投影是__________． 【答案】 【解析】 △ABC中，∵， ∴ ， ∴， ∴ ； 又AB=3，AC=4， ∴在方向上的投影是-4； 如圖所示． 故選：C． 點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目. 16.用表示自然數(shù)n的所有因數(shù)中最大的那個奇數(shù)，例如：9的因數(shù)有1，3，9，，10的因數(shù)有1，2，5，10，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】 根據(jù)題中對g（n）的定義，判斷出g（n）＝g（2n），且若n為奇數(shù)則g（n）＝n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及逐差累加的方法及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2n﹣1），令n＝2xx﹣1求出g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2xx﹣1）． 【詳解】由g（n）的定義易知g（n）＝g（2n），且若n為奇數(shù)則g（n）＝n， 令f（n）＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）， 則f（n+1）＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n+1﹣1）＝1+3+…+（2n+1﹣1）+g（2）+g（4）+…+g（2n+1﹣2） g（1）+g（2）+…+g（2n+1﹣2）＝4n+f（n）， 即f（n+1）﹣f（n）＝4n， 分別取n為1，2，…，n并累加得f（n+1）﹣f（1）＝4+42+…+4n（4n﹣1）， 又f（1）＝g（1）＝1，所以f（n+1）（4n﹣1）+1， 所以f（n）＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（2n﹣1）（4n﹣1﹣1）+1， 令n＝2xx﹣1，得： g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2xx﹣1）（4xx﹣1﹣1）+1． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、逐差累加的方法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 三、解答題（本大題共6小題，共70.0分） 17.數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，等比數(shù)列滿足. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由，時，即可得； （2）先求出，由為等比數(shù)列可得，從而得，再利用等比數(shù)列求和公式求解即可. 【詳解】（1）由，得； 當(dāng)時，， 因?yàn)闈M足上式，所以. （2）等比數(shù)列滿足， 所以公比為，所以. . 所以數(shù)列的前項(xiàng)和. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題. 18.如圖，在直三棱柱中，，，，，M是棱的中點(diǎn)， 求證：； 求直線AM與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 【分析】 （1）由題意利用幾何體的垂直關(guān)系建立直角坐標(biāo)系，求對應(yīng)向量的數(shù)量積為零，即得出垂直； （2）在（1）的坐標(biāo)系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積求余弦值的絕對值，即為所求． 【詳解】 如圖，以B為原點(diǎn)，BA、所在直線為y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則0，，2，，2，，， ，， ， 即，； 軸面，面的法向量取0，， 設(shè)直線AM與平面所成角為， ， 直線AM與平面所成角的正弦值為． 【點(diǎn)睛】本題考查了線線垂直和線面角，利用幾何體垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，再利用對應(yīng)向量的數(shù)量積證明線線垂直和求解線面角的正弦值，這是立體幾何中常用的一種方法． 19.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足． 求角A的大?。? 若D為BC上一點(diǎn)，且滿足，，，求a． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理將變化為角，再利用兩角和的正弦展開化簡可得，從而得解； （2）由條件可得，兩邊平方可得，再由余弦定理可得，從而可得解. 【詳解】（1）由正弦定理，可得：， 即，由，可得. 由為的內(nèi)角，所以. （2）由，可得. 將上式平方可得：. 解得. 由余弦定理可得. 所以. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦定理求解三角形，涉及到了向量基本運(yùn)算，屬于中檔題. 20.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列，． Ⅰ求數(shù)列的通項(xiàng)公式； Ⅱ令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對于任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 【解析】 【分析】 （Ⅰ）通過設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，并用首項(xiàng)和公差d表示其他項(xiàng)，通過聯(lián)立方程組計(jì)算即得結(jié)論； （Ⅱ）通過（I），裂項(xiàng)可知{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而并項(xiàng)相加即得結(jié)論． 【詳解】解：Ⅰ設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 由，得 即， 解得：，或， 當(dāng)，時，沒有意義， ，， 此時 Ⅱ由可知， . . ， ， 為滿足題意，必須，或 【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 21.已知函數(shù). （1）當(dāng)時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程； （2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù). ①求最大整數(shù)值； ②證明：. 【答案】（1）；（2）①2；②見解析． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率為，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）①先轉(zhuǎn)化條件為恒成立，再根據(jù)，得當(dāng)時，恒成立.最后舉反例說明當(dāng)時，不恒成立.②對應(yīng)要證不等式，在中取，得，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得左邊和為，顯然. 試題解析：（1）當(dāng)時，，∴， 又，∴， 則所求切線方程為，即. （2）由題意知，， 若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立. ①先證明.設(shè)，則， 則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ∴，即. 同理可證，∴,∴. 當(dāng)時，恒成立. 當(dāng)時，，即不恒成立. 綜上所述，的最大整數(shù)值為2. ②由①知，，令， ∴，∴. 由此可知，當(dāng)時，.當(dāng)時，， 當(dāng)時，，，當(dāng)時，. 累加得. 又， ∴. 22.已知函數(shù) （Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式的解集； （Ⅱ）若的解集包含，求的取值范圍. 【答案】（1）；（2） 【解析】 試題分析：（1）當(dāng)a=1時，不等式可化為，然后再進(jìn)行分段，即可求出不等式的解集；（2）的解集包含，不等式可化為，解得，由已知得，據(jù)此即可求出結(jié)果． 試題解析：（1）當(dāng)a=1時，不等式可化為， ①當(dāng)時，不等式為，解得，故； ②當(dāng)時，不等式為，解得，故； ③當(dāng)時，不等式為，解得，故． 綜上，原不等式的解集為． （2）的解集包含，不等式可化為，解得，由已知得，解得，所以a的取值范圍是． 考點(diǎn)：1．絕對值不等式的解法；2．集合的包含關(guān)系．