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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) (I) 一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 已知 ，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2. 已知 ，其中為虛數(shù)單位，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，選A 3. 下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：由題意得，函數(shù)和，滿足，所以函數(shù)都是奇函數(shù)，函數(shù)滿足，所以函數(shù)都是偶函數(shù)，故選A. 考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性. 4. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何.”其意思為“已知甲乙丙丁戊五人分5錢，甲乙兩人所得與丙丁戊三人所得相同，且甲乙丙丁戊所得依次成等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（錢是古代的一種重量單位），這個(gè)問題中，甲所得為（ ） A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢 【答案】B 5. 函數(shù) 的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 的單調(diào)增區(qū)間是，所以是一個(gè)單調(diào)增區(qū)間，選C. 6. 已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為． 考點(diǎn)：雙曲線方程. 7. 若滿足約束條件，則的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析：約束條件，表示的可行域如圖，解得，解得，解得，把、、分別代入，可得的最小值是，故選A． 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃的應(yīng)用． 【方法點(diǎn)晴】1．求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．2．常見的目標(biāo)函數(shù)截距型：形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值，間接求出的最值．注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義． 8. 設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中，正確的是（ ） A. 若與所成的角相等，則 B. 若， 則 C. 若， 則 D. 若， 則 【答案】C 【解析】試題分析：因?yàn)閳A錐的所有母線都與底面成等角，所以A錯(cuò)，如果兩個(gè)平面互相垂直，平行于其中一個(gè)平面的直線與另一個(gè)平面可以成任意角，故B錯(cuò)，D項(xiàng)當(dāng)中的直線可以成任意角，故D錯(cuò)，根據(jù)一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂直，則兩面垂直，故C對(duì)，故選C． 考點(diǎn)：空間關(guān)系的考查． 9. 函數(shù)的圖象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于函數(shù)的圖象有意義，則滿足，根據(jù)定義域排除A,D然后在B,C中通過賦值法，令x=2,可知函數(shù)值大于零，圖像在x軸的上方，故排除C，選B. 考點(diǎn)：函數(shù)的圖像 點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的解析式和定義域以及函數(shù)的性質(zhì)來排除法得到結(jié)論。屬于基礎(chǔ)題。 10. 在中，是邊上的一點(diǎn)，的面積為， 則的長(zhǎng)為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,選C 11. 定義在上的函數(shù)滿足，任意的都有是的 （ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?，且關(guān)于對(duì)稱，所以時(shí)， 反之也成立：時(shí)，，所以選C. 點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法． 1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件． 2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件． 12. 已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】作圖，則滿足條件實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B 點(diǎn)睛： 對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13. 已知實(shí)數(shù)滿足的條件，則的最大值為__________． 【答案】 【解析】作可行域，則直線過點(diǎn)A（2，0）時(shí)取最大值6 點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一，準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三，一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得. 14. 已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)為，在直線的方程是__________． 【答案】 【解析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)知，拋物線方程為，設(shè)，則有，，兩式相減得，，所以直線方程為，即，故填． 15. 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為__________． 【答案】 【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 16. 給出下列命題： ①函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為； ②若為第一象限角，且，則； ③若，則存在實(shí)數(shù)，使得 ； ④在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則必有兩解； ⑤函數(shù) 的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象. 其中正確命題的序號(hào)是__________．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） 【答案】①③④ 【解析】試題分析：因?yàn)?，且，所以是函?shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以①是正確的，因?yàn)?，但是，所以②是錯(cuò)誤的，當(dāng)，所以有兩個(gè)向量是反向的，即是共線向量，所以一定存在實(shí)數(shù)，使得，故③是正確的，因?yàn)?，所以必有兩解，所以④是正確的，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，所以⑤是正確的，故答案為①③④． 考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，三角形解的個(gè)數(shù)，向量的關(guān)系． 【易錯(cuò)點(diǎn)睛】該題屬于選擇題性質(zhì)的填空題，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，屬于較難題目，在解題的過程中，需要對(duì)每個(gè)命題所涉及的知識(shí)點(diǎn)掌握的比較熟練，容易出錯(cuò)的地方是需要把握三角形解的個(gè)數(shù)的判定方法，以及圖像變換中涉及到左右平移時(shí)移動(dòng)的量那是自變量本身的變化量，以及三角函數(shù)在各象限內(nèi)是不具備單調(diào)性的． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）分別寫出曲線與曲線的普通方程； （2）若曲線與曲線交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng). 【答案】(1) ， (2) 【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)，得曲線，利用，得曲線； （2）把曲線和曲線聯(lián)立消去得，結(jié)合弦長(zhǎng)公式即可求得弦的長(zhǎng)． 試題解析：（1）曲線， 曲線． （2）聯(lián)立，得， 設(shè)，則，， 于是． 故線段的長(zhǎng)為． 考點(diǎn)：參數(shù)方程；極坐標(biāo)方程；直線與圓錐曲線的位置關(guān)系． 18. 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （1）求直方圖的的值； （2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由. （3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù). 【答案】(1) (2)36000（3） 【解析】試題分析：本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力. 第（Ⅰ）問，由高組距=頻率，計(jì)算每組的頻率，根據(jù)所有頻率之和為1，計(jì)算出a的值；第（Ⅱ）問，利用高組距=頻率，先計(jì)算出每人月均用水量不低于3噸的頻率，再利用頻率樣本容量=頻數(shù)，計(jì)算所求人數(shù)；第（Ⅲ）問，將前5組的頻率之和與前4組的頻率之和進(jìn)行比較，得出2≤x<2.5，再估計(jì)月均用水量的中位數(shù). 試題解析：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，可知：月均用水量在[0,0.5）的頻率為0.080.5=0.04. 同理，在[0.5,1），[1.5,2），[2,2.5），[3,3.5），[3.5,4），[4,4.5）等組的頻率分別為0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02. 由1–（0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02）=0.5a+0.5a， 解得a=0.30. （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12. 由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12="36" 000. （Ⅲ）設(shè)中位數(shù)為x噸. 因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73＞0.5， 而前4組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5 所以2≤x<2.5. 由0.50（x–2）=0.5–0.48，解得x=2.04. 故可估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸. 【考點(diǎn)】頻率分布直方圖 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題、解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第n個(gè)小矩形的面積就是相應(yīng)組的頻率，所有小矩形的面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ)． 19. 若是公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等比數(shù)列，. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù). 【答案】(1) (2) 的最小值為. 【解析】試題分析：第一問根據(jù)條件中數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，根據(jù)題中的條件，建立關(guān)于等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差的等量關(guān)系式，從而求得結(jié)果，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，第二問利用第一問的結(jié)果，先寫出，利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前項(xiàng)和，根據(jù)條件，得出相應(yīng)的不等式，轉(zhuǎn)化為最值來處理，從而求得結(jié)果． 試題解析：（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)的首項(xiàng)為，公差為 ，所以 ．又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以．所以． 因?yàn)楣畈坏扔?，所以．又因?yàn)椋?，所以? （2）因?yàn)椋? 所以 ． 要使對(duì)所有都成立，則有，即．因?yàn)椋缘淖钚≈禐?0． 考點(diǎn)：等差數(shù)列，裂項(xiàng)相消法求和，恒成立問題． 20. 在四棱錐中，底面是矩形，平面，，以的中點(diǎn)為球心，為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn). （1）求證：平面平面； （2）求點(diǎn)到平面的距離. 【答案】（1）見解析 （2） 【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得,再由平面得,又由矩形得AD,根據(jù)線面垂直判定定理得平面,即得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得平面平面（2）求點(diǎn)到平面距離一般轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)三棱錐的高，利用等體積法求體積，再根據(jù)體積公式求結(jié)果 試題解析：（1）易得平面，所以平面平面（2）由 所以點(diǎn)到平面的距離為 點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 21. 已知函數(shù). （1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程； （2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：(1）時(shí)求導(dǎo)，得到在切點(diǎn)處切線斜率，代入點(diǎn)斜式即可； (2) 求導(dǎo)對(duì)分情況討論，討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目要求對(duì)任意恒成立名即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍； 試題解析：(1） 時(shí)，， 切點(diǎn)為， 時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為 （2）（i），， 當(dāng)時(shí)，，， 在上單調(diào)遞增，， 不合題意． ②當(dāng)即時(shí)，在上恒成立， 在上單調(diào)遞減，有， 滿足題意． ③若即時(shí)，由，可得，由，可得， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， ， 不合題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 22. 在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)） （1）求的直角坐標(biāo)方程； （2）當(dāng)與有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（I）曲線的極坐標(biāo)方程為，展開可得：，利用互化公式可得可得直角坐標(biāo)方程；（II）當(dāng)曲線和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，數(shù)形結(jié)合可得：圓心到直線的距離，解出即可得出． 試題解析：（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程為， ∴曲線的直角坐標(biāo)方程為. （Ⅱ）曲線的直角坐標(biāo)方程為：， 實(shí)數(shù)的取值范圍：. 考點(diǎn)：（1）簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；（2）參數(shù)方程化為普通方程.