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課時訓(xùn)練 08 楊輝三角
(限時：10分鐘)
1．在(a＋b)n的展開式中，第2項(xiàng)與第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則n＝( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：A
2．已知(a＋b)n展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
答案：D
3．若n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為( )
A．10 B．20
C．30 D．120
答案：B
4．設(shè)n的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為M，二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，若＝32，則展開式中x2的系數(shù)為_________
2、_．
答案：1 250
5．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a5.
(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|.
(3)求a1＋a3＋a5.
解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
因?yàn)榕紨?shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3
3、＋a5)＝1－35，
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
(限時：30分鐘)
一、選擇題
1．(1＋x)2n(n∈N*)的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)是( )
A．第n項(xiàng) B．第n＋1項(xiàng)
C．第n＋2項(xiàng) D．第n－1項(xiàng)
答案：B
2．若(x＋3y)n展開式的系數(shù)和等于(7a＋b)10展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和，則n的值為( )
A．5 B．8
C．10 D．15
答案：A
3．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
4、答案：B
4．(2－)8展開式中不含x4項(xiàng)的系數(shù)的和為( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：B
5．若(x＋1)5＝a5(x－1)5＋…＋a1(x－1)＋a0，則a1的值為( )
A．80 B．40
C．20 D．10
解析：由于x＋1＝x－1＋2，因此(x＋1)5＝[(x－1)＋2]5，故展開式中x－1的系數(shù)為C24＝80.
答案：A
二、填空題
6．若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于__________．
解析：設(shè)f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4
5、x4＋a5x5，因?yàn)閒′(x)＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，所以f′(1)＝a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5，又因?yàn)閒(x)＝(2x－3)5，所以f′(x)＝10(2x－3)4，所以f′(1)＝10，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝10.
答案：10
7．(1－2x)7展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為________．
解析：展開式共有8項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第1,3,5,7這四項(xiàng)中取得．又因(1－2x)7括號內(nèi)的兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)絕對值大于前項(xiàng)系數(shù)絕對值，故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右，故只需比較T5和T7兩項(xiàng)系數(shù)大小即可．
＝＝＞1，
所以系數(shù)最大的項(xiàng)是
6、第5項(xiàng)，
即T5＝C(－2x)4＝560x4.
答案：560x4
8．計算C＋3C＋5C＋…＋(2n＋1)C＝________(n∈N*)．
解析：設(shè)Sn＝C＋3C＋5C＋…＋(2n＋1)C，則
Sn＝(2n＋1)C＋(2n－1)C＋…＋3C＋C，
所以2Sn＝2(n＋1)(C＋C＋…＋C)＝2(n＋1)2n，
所以Sn＝(n＋1)2n.
答案：(n＋1)2n
三、解答題
9．已知n的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)．
解析：由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37，得n＝8.
8的展開式共有9項(xiàng)．
其中T5＝C4(2
7、x)4＝x4，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，系數(shù)為.
10．設(shè)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
(1)a0.
(2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100.
(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99.
(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
(5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
解析：(1)令x＝0，則展開式為a0＝2100.
(2)令x＝1，可得
a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a
8、3＋…＋a100＝(2＋)100.與(*)式聯(lián)立相減得
a1＋a3＋…＋a99＝.
(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝[(2－)(2＋)]100
＝1100＝1.
(5)因?yàn)門r＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
所以a2k－1＜0(k∈N*)，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100
＝(2＋)100.
11．已知n的展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
(1)求n的值．
(2)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
(3)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．
解析：(1)由題設(shè)，n的展開式的通項(xiàng)公式為：Tk＋1＝Cxn－kk＝kCx，
故C＋C＝2C，
即n2－9n＋8＝0.
解得n＝8或n＝1(舍去)．
所以n＝8.
(2)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第5項(xiàng)，則
T5＝4Cx＝x2.
(3)設(shè)第r＋1項(xiàng)的系數(shù)最大，
則
即
解得r＝2或r＝3.
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T3＝7x5，T4＝7x.
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