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2019屆高三數(shù)學上學期期中試題 (I) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 3．考試結(jié)束后，將答題卡收回。 1、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設(shè)集合=（ ） A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2．“”是“”的（ ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3．下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 5、設(shè)函數(shù)則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是（　?。? A．[-1,2] B．[0,2] C．[0,+∞) D．[1,+∞) 6、 函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1， 則cos＝(　　) A．0 B. C．－1 D．1 7. 已知數(shù)列的前項和為，且，則使不等式成立的的最大值為( ) A 3 B 4 C 5 D 6 8. 兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 9．曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 10．設(shè)，，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 11.已知是橢圓的左焦點，經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為 ( ) A． B． C. D． 12.已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)為 ( ) A． xx B．2016 C. 1010 D．1008 二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.已知向量滿足,,則_______________. 14．在△OAB中.點C滿足向量,則y-x= . 15．函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是________． 16．已知函數(shù)是可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，且，則不等式的解集為___________ 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.(12分) 已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上存在零點，求a的取值范圍. 18.（12分）△中，內(nèi)角的對邊分別為，若A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列， 求證：△為等邊三角形。 19.（12分） 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，，求平面與平面所成二面角的正弦值. 20.(12分) 某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文,數(shù)學和英語是考生的必考科目,考生還須從物理,化學,生物,歷史,地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學生的選考方案確定;否則,稱該學生選考方案待確定.例如,學生甲選擇“物理,化學和生物”三個選考科目,則學生甲的選考方案確定,“物理,化學和生物”為其選考方案. 某學校為了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表: 性別 選考方案確定情況 物理 化學 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確定的有8人 8 8 4 2 1 1 選考方案待確定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生 選考方案確定的有10人 8 9 6 3 3 1 選考方案待確定的有6人 5 4 1 0 0 1 ⑵假設(shè)男生,女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生中隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學科的概率; ⑶從選考方案確定的8名男生中隨機選出2名,設(shè)隨機變量,求的分布列及數(shù)學期望. 21. (12分) 已知函數(shù)，其中 （1）當，且為常數(shù)時，若函數(shù)對任意的，總有成立，試用表示出的取值范圍； （2）當時，若對x∈[0，＋∞)恒成立，求的最小值. 22．（12分）已知函數(shù)，； （1）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）求證：當時，． 沛西中學高三xx期中考試 數(shù)學能力測試 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。 注意事項： 1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡上。并檢查條形碼粘貼是否正確。 2．選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標號的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書寫在答題卡對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。 3．考試結(jié)束后，將答題卡收回。 2、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1.設(shè)集合=（ D ） A.{1,2,3} B.{1,2,4} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2．“”是“”的（ A ） A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 3．下列函數(shù)中，其定義域和值域與函數(shù)的定義域和值域相同的是（ C ） A. B. C. D. 4．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是減函數(shù)的是（ C ） A. B. C. D. 5、設(shè)函數(shù)則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是（　C　） A．[-1,2] B．[0,2] C．[0,+∞) D．[1,+∞) 7、 函數(shù)f(x)＝sinx在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，且f(a)＝－1，f(b)＝1， 則cos＝(　D　) A．0 B. C．－1 D．1 7. 已知數(shù)列的前項和為，且，則使不等式成立的的最大值為( B ) A 3 B 4 C 5 D 6 8. 兩個正實數(shù)滿足，且不等式有解，則實數(shù)的取值范圍是（ B ） A. B. C. D. 9．曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為（ A ） A． B． C． D． 10．設(shè)，，若對任意的，存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為（ D ） A． B． C． D． 11.已知是橢圓的左焦點，經(jīng)過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，且，則橢圓的離心率為 ( C ) A． B． C. D． 12.已知偶函數(shù)，且，則函數(shù)在區(qū)間的零點個數(shù)為 ( A ) A． xx B．2016 C. 1010 D．1008 二.填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分. 13.已知向量滿足,,則_______5__________. 14．在△OAB中.點C滿足向量,則y-x= . 15．函數(shù)有極大值又有極小值，則的取值范圍是_____或_____． 16．已知函數(shù)是可導函數(shù)，其導函數(shù)為，且滿足，且，則不等式的解集為_______________ 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17.(12分) 已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3，a∈R. (1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無交點，求a的取值范圍； (2)若函數(shù)y＝f(x)在[－1,1]上存在零點，求a的取值范圍. 答案： 解　(1)若函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸無交點， 則方程f(x)＝0的根的判別式Δ<0，即16－4(a＋3)<0， 解得a>1. 故a的取值范圍為a>1. (2)因為函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3圖象的對稱軸是x＝2， 所以y＝f(x)在[－1,1]上是減函數(shù)． 又y＝f(x)在[－1,1]上存在零點， 所以即 解得－8≤a≤0. 故實數(shù)a的取值范圍為－8≤a≤0. 18.（12分）△中，內(nèi)角的對邊分別為，若A,B,C成等差數(shù)列，a,b,c成等比數(shù)列， 求證：△為等邊三角形。 答案： A+B+C=180 2B=A+C B=60 4分 b=ac 6分 b= a-2acCOSB= a-ac 8分 ac=a-ac 9分 （a- c）=0 10分 a=c 11分 △為等邊三角形 12分 19.（12分） 如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，是中點. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，，求平面與平面所成二面角的正弦值. 答案 （Ⅰ）證明：如圖3，連接，，連接， 四棱錐的底面為菱形， 為中點，又是中點， 在中，是中位線，， 又平面，而平面，平面． （Ⅱ）解：如圖，取的中點，連接，， 為菱形，且，為正三角形，． 設(shè)，，，且為等腰直角三角形，即， ， 平面，且， ，， 如圖，建立空間直角坐標系，以為原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸， 則，，，，，，， ，，，， 設(shè)為平面的一個法向量， 則即可?。? 設(shè)為平面的一個法向量， 則即可?。? 于是．所以平面與平面所成二面角的正弦值為． 20.(12分) 某地區(qū)高考實行新方案,規(guī)定:語文,數(shù)學和英語是考生的必考科目,考生還須從物理,化學,生物,歷史,地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.若一個學生從六個科目中選出了三個科目作為選考科目,則稱該學生的選考方案確定;否則,稱該學生選考方案待確定.例如,學生甲選擇“物理,化學和生物”三個選考科目,則學生甲的選考方案確定,“物理,化學和生物”為其選考方案. 某學校為了解高一年級420名學生選考科目的意向,隨機選取30名學生進行了一次調(diào)查,統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表: 性別 選考方案確定情況 物理 化學 生物 歷史 地理 政治 男生 選考方案確定的有8人 8 8 4 2 1 1 選考方案待確定的有6人 4 3 0 1 0 0 女生 選考方案確定的有10人 8 9 6 3 3 1 選考方案待確定的有6人 5 4 1 0 0 1 ⑴估計該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有多少人? ⑵假設(shè)男生,女生選擇選考科目是相互獨立的.從選考方案確定的8位男生中隨機選出1人,從選考方案確定的10位女生中隨機選出1人,試求該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學科的概率; ⑶從選考方案確定的8名男生中隨機選出2名,設(shè)隨機變量,求的分布列及數(shù)學期望. 答案： ⑴由題可知,選考方案確定的男生中確定選考生物的學生有4人,選考方案確定的女生中確定選考生物的學生有6人.該學校高一年級選考方案確定的學生中選考生物的學生有人. ⑵由數(shù)據(jù)可知,選考方案確定的8位男生中選出1人選考方案中含有歷史學科的概率為; 選考方案確定的10位女生中選出1人含有歷史學科的概率為,所以該男生和該女生的選考方案中都含有歷史學科的概率為. ⑶由數(shù)據(jù)可選,選考方案確定的男生 中有4人選擇物理,化學和生物;有2人選擇物理,化學和歷史,有1人選擇物理化學和地理;有1人選擇物理,化學和政治.由已知得的取值為1, 2. ;. ∴. 21. (12分) 已知函數(shù)，其中 （1）當，且為常數(shù)時，若函數(shù)對任意的，總有成立，試用表示出的取值范圍； （2）當時，若對x∈[0，＋∞)恒成立，求的最小值. 答案： (1)由題意，得在上單調(diào)遞增 ∴在上恒成立 ∴在上恒成立 構(gòu)造函數(shù) 則 ∴F(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 (i)當，即時，F(xiàn)(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ∴ ∴，從而 (ii)當，即時，F(xiàn)(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞增 ，從而 8分 綜上，當時，，時，； (2)當時，構(gòu)造函數(shù) 由題意，有對恒成立 ∵ (i)當時， ∴在上單調(diào)遞增 ∴在上成立，與題意矛盾. (ii)當時，令 則，由于 ①當時，，在上單調(diào)遞減 ∴，即在上成立 ∴在上單調(diào)遞減 ∴在上成立，符合題意 ②當時， ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ∵ ∴在成立，即在成立 ∴在上單調(diào)遞增 ∴在上成立，與題意矛盾 綜上，a的最小值為1 22．（12分）已知函數(shù)，； （1）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）求證：當時，． 【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）由題得，， ①當時，，此時在上單調(diào)遞減， ②當時，令，得，令，得， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ③當時，令，得，令，得， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， （2）要證，即證，令， 當時，，∴成立； 當時，， 當時，；當時，， ∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， ∴． ∵，∴，， ∴，即成立，故原不等式成立．