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1、 絕密★啟用前 試卷類型：A 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷） 數(shù)學(xué)（理科） 本試卷共4頁，21小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。 注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。 2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答

2、在試卷上。 3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。 4．作答選做題時(shí)，請先用2B鉛筆填涂選做題的題號對應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。 5．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。 參考公式：臺體的體積公式，其中，分別表示臺體的上、下底面積，表示臺體的高． 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1. 設(shè)集合，，則 A．

3、 B． C． D． 2. 定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù)，，，中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是 A．4 B．3 C．2 D．1 3. 若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是 A． B． C． D． 4. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 1 2 3 則的數(shù)學(xué)期望 A． B．2 C． D．3 圖1 正視圖 俯視圖 側(cè)視圖 2 2 1 1 1 5. 某四棱臺的三視圖如圖1所示，則該四棱臺的體積是 A．4 B．

4、 C． D．6 6. 設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面， 下列命題中正確的是 A．若⊥，，，則⊥ B．若∥，，，則∥ C．若⊥，，，則⊥ D．若⊥，∥，∥，則⊥ 7. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率 等于，則的方程是 A． B． C． D． 8. 設(shè)整數(shù)，集合. 令集合且三條件，，恰有一個(gè)成立. 若和都在中，則下列選項(xiàng)正確的是 A．， B．， C．， D．， 是 圖2 輸出 結(jié)束 否 輸入 開始 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小

5、題5分，滿分30分． （一）必做題（9 ~ 13題） 9. 不等式的解集為 . 10. 若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，則 . 11. 執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入的值為4，則輸出的值 為 . 12. 在等差數(shù)列中，已知，則 . 13. 給定區(qū)域：. 令點(diǎn)集， 是在上取得最大值或最小值的點(diǎn)，則中的點(diǎn)共確定 條不同的直線. 圖3 （二）選做題（14 ~ 15題，考生只能從中選做一題） 14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），在點(diǎn)（1,1）處

6、的切線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正 半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則的極坐標(biāo)方程為 . 15.（幾何證明選講選做題）如圖3，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上， 延長到使，過作圓的切線交于. 若， ，則 . 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. （1）求的值； （2）若，，求. 17.（本小題滿分12分） 圖4 1 7 9 2 0 1 5 3 0 某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖4所示，其中莖

7、為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù). （1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值； （2）日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人. 根據(jù)莖葉圖推斷 該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？ （3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率. 18.（本小題滿分14分） 如圖5，在等腰直角三角形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn). 將△沿折起，得到如圖6所示的四棱椎， 圖6 圖5 其中. （1）證明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 19.（本小題滿分14分）

8、 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，. （1）求的值； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （3）證明：對一切正整數(shù)，有. 20.（本小題滿分14分） 已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn). （1）求拋物線的方程； （2）當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； （3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時(shí)，求的最小值. 21.（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值. 普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（

9、廣東卷） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A B D B B 二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分． （一）必做題（9 ~ 13題） 9. 10. 11. 7 12. 20 13.5 （二）選做題（14 ~ 15題，考生只能從中選做一題） 14.（填或也得滿分） 15. 三、解答題：本大題共6小題，

10、滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16.（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，. （1）求的值； （2）若，，求. 16. 解：（1） （2）因?yàn)椋? 所以 所以 所以 17.（本小題滿分12分） 圖4 1 7 9 2 0 1 5 3 0 某車間共有12名工人，隨機(jī)抽取6名，他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖4所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù). （1）根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值； （2）日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人. 根據(jù)莖葉圖推斷 該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？ （3）從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1

11、名優(yōu)秀工人的概率. 17. 解：（1）樣本均值為 （2）抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，所以12名工人中有4名優(yōu)秀工人 （3）設(shè)“從該車間12名工人中，任取2人，恰有1名優(yōu)秀工人”為事件， 所以，即恰有1名優(yōu)秀工人的概率為 18.（本小題滿分14分） 如圖5，在等腰直角三角形中，，，，分別是，上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn). 將△沿折起，得到如圖6所示的四棱椎， 圖6 圖5 其中. （1）證明：平面； （2）求二面角的平面角的余弦值. 18. 解：（1）連結(jié)， 因?yàn)樵诘妊苯侨切沃校?/p>

12、，， 所以在△中，，同理得 因?yàn)椋? 所以， 所以 所以，， 所以平面 （2）方法一：過點(diǎn)作的延長線于，連接 因?yàn)槠矫? 根據(jù)三垂線定理，有 所以為二面角的平面角 在△中， 在△中， 所以 所以二面角的平面角的余弦值為 方法二： 取中點(diǎn)，則 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、 軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 是平面的一個(gè)法向量 設(shè)平面的法向量為 ， 所以，令，則， 所以是平面的一個(gè)法向量 設(shè)二

13、面角的平面角為，且 所以 所以二面角的平面角的余弦值為 19.（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，. （1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）證明：對一切正整數(shù)，有. 19. 解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得 （2） ① 當(dāng)時(shí)， ② ①②得 整理得，即， 當(dāng)時(shí)， 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 所以，即 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為， （3）因?yàn)椋ǎ? 所以 20.（本小題滿分14分） 已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為，設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn). （1）求拋物線的方程； （2）當(dāng)

14、點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程； （3）當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時(shí)，求的最小值. 20. 解：（1）焦點(diǎn)到直線的距離，解得 所以拋物線的方程為 （2）設(shè)， 由（1）得拋物線的方程為，，所以切線，的斜率分別為， 所以: ① : ② 聯(lián)立①②可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即， 又因?yàn)榍芯€的斜率為，整理得 直線的斜率 所以直線的方程為 整理得，即 因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的點(diǎn)，所以，即 所以直線的方程為 （3）根據(jù)拋物線的定義，有， 所以 由（2）得，， 所以 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為 21.（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值. 21. 解：（1）當(dāng)時(shí)， 令，解得， 所以隨的變化情況如下表： 0 0 0 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為 （2），， ，解得， 令， 所以在上是增函數(shù) 所以，即 所以隨的變化情況如下表： 0 ↘ 極小值 ↗ ， 因?yàn)?，所? 對任意的，的圖象恒在下方，所以 所以，即 所以函數(shù)在上的最大值