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2019屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文(含解析) 一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分） 1.復(fù)數(shù)　　 A. 10 B. C. 10i D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算展開得到表達(dá)式，即可得到結(jié)果. 【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得到：. 故答案為：C. 【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算. 2.已知全集，集合，集合，則集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ,,則,故選B. 考點(diǎn)：本題主要考查集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算. 3.已知向量，，，則　　 A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】 由題意求出，利用∥（），得到12＝﹣1（1+m），求出m即可． 【詳解】向量（﹣1，1），（3，m），∴（2，1+m）， ∵∥（）， ∴12＝﹣1（1+m）， ∴m＝﹣3． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查向量共線與向量的平行的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力． 4.已知某幾何體的三視圖如圖所示俯視圖中曲線為四分之一圓弧，則該幾何體的表面積為　　 A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的柱體，代入柱體的表面公式，即可得到答案. 【詳解】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的柱體， 底面面積為， 底面周長(zhǎng)為，柱體的高為1， 所以該柱體的表面積為. 【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)表面積與體積公式求解. 5.函數(shù)的圖象可能是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 研究函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)作出判斷. 【詳解】 ，即函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。排除B,當(dāng) 則排除C,D.故選A. 【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是研究函數(shù)的性質(zhì). 6.設(shè)x，y滿足約束條件，則的最大值為　　 A. 8 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求z的最大值． 【詳解】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域， 由z＝x+2y，得y， 平移直線y，由圖象可知當(dāng)直線y經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線y的截距最大，此時(shí)z最大． 由，得， 即B（3，2）， 此時(shí)z的最大值為z＝3+22＝7， 故選B． 【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法． 7.在長(zhǎng)方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 在長(zhǎng)方體中，連接，可得,得即為異面直線與所成的角，在中，利用余弦定理即可求解. 【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，可得, 所以異面直線與所成的角，即為直線與直線所成的角， 即為異面直線與所成的角， 在長(zhǎng)方體中，設(shè)， 則， 在中，由余弦定理得，故選B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中異面直線所成角的求解，其中根據(jù)異面直線所成角的定義，得到為異面直線與所成的角，在中利用余弦定理即可求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，以及計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題. 8.一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說:“罪犯在 乙、丙、丁三人之中”；乙說:“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：乙說的是事實(shí)”.經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話， 且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 ∵乙、丁兩人的觀點(diǎn)一致，∴乙、丁兩人的供詞應(yīng)該是同真或同假； 若乙、丁兩人說的是真話，則甲、丙兩人說的是假話，由乙說真話推出丙是罪犯的結(jié)論；由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的結(jié)論，矛盾；∴乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話；由甲、丙的供述內(nèi)容可以斷定乙是罪犯． 9.如圖所示，已知四棱錐的高為3，底面ABCD為正方形，且，則四棱錐外接球的半徑為　　 A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知，四棱錐為正四棱錐，外接球的球心在四棱錐的高上，根據(jù)已知條件，求出，在中即可求出外接球半徑. 【詳解】由已知，四棱錐為正四棱錐，設(shè)外接球半徑為 連接、交于點(diǎn)，連接，外接球的球心在高上，連接，則 四棱錐的高為，，即 ，， 又 為直角三角形 ，即，解得. 故選B. 【點(diǎn)睛】本題考查棱錐外接球的計(jì)算，考查正四棱錐的特征，考查推理能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想. 10.利用反證法證明：“若，則”時(shí)，假設(shè)為 A. ，都不為0 B. 且，都不為0 C. 且，不都為0 D. ，不都為0 【答案】D 【解析】 原命題的結(jié)論是都為零，反證時(shí)，假設(shè)為不都為零. 11.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足,且恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. (-4,2) D. (-2,4) 【答案】D 【解析】 x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋2≥8，當(dāng)且僅當(dāng)，即4y2＝x2時(shí)等號(hào)成立．x＋2y＞m2＋2m恒成立，則m2＋2m＜8，m2＋2m－8＜0，解得－4＜m＜2，故選D. 12.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，，則，，，，中最大項(xiàng)為　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)镾19>0，S20<0，所以，且 所以， 所以， 當(dāng)時(shí)， 所以，中最大項(xiàng)為，故選C． 考點(diǎn)：等差數(shù)列． 二、填空題（本大題共4小題，共12.0分） 13.求經(jīng)過圓的圓心，且與直線平行的直線的一般式方程為______ 【答案】 【解析】 【分析】 由圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)題意設(shè)所求直線為，代入圓心坐標(biāo)，即可求解. 【詳解】由圓的方程，可得圓心坐標(biāo)， 又因?yàn)樗笾本€與直線平行，可設(shè)所求直線為， 代入圓心坐標(biāo)，可得，解的， 即所求直線的方程為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，合理設(shè)出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力. 14.給出下列命題： 命題1：點(diǎn)是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； 命題2：點(diǎn)是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； 命題3：點(diǎn)是直線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)； 觀察上面命題，猜想出命題是正整數(shù)為：______． 【答案】點(diǎn)） 是直線y=nx與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn) 【解析】 解：由題意命題1：點(diǎn)(1,1)是直線y = x與雙曲線y =的一個(gè)交點(diǎn); 命題2：點(diǎn)(2,4)是直線y = 2x與雙曲線y =的一個(gè)交點(diǎn); 命題3：點(diǎn)(3,9)是直線y = 3x與雙曲線y =的一個(gè)交點(diǎn); 則歸納猜想可知，結(jié)論為是直線y=nx與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn) 15.已知中，，，，則面積為______ 【答案】 【解析】 【分析】 由已知及正弦定理可得sin（A﹣B）=0，結(jié)合A，B的范圍，可求﹣π＜A﹣B＜π，進(jìn)而求得A﹣B=0，可得a=b=1，利用余弦定理可求cosA，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解． 【詳解】∵acosB=bcosA， ∴由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，可得：sin（A﹣B）=0， ∵0＜A＜π，0＜B＜π，可得：﹣π＜A﹣B＜π， ∴A﹣B=0，可得：a=b=1， ∴cosA===，可得：sinA=， ∴S△ABC=bcsinA==． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題． 16.若，，，且，，則的值為______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先對(duì)所給的方程進(jìn)行恒等變形，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和角度的范圍求得的值，然后求解三角函數(shù)值即可. 【詳解】∵， ∴(?2β)3?2sinβcosβ?2λ=0， 即(?2β)3+sin(?2β)?2λ=0. 由可得. 故?2β和是方程x3+sinx?2λ=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解. 再由，，， 所以和的范圍都是， 由于函數(shù)x3+sinx在上單調(diào)遞增， 故方程x3+sinx?2λ=0在上只有一個(gè)解， 所以，，∴， 則的值為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分） 17.已知函數(shù)的最小正周期為． 求的值； 中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，面積，求b． 【答案】(1)(2)3 【解析】 【分析】 （1）化簡(jiǎn) ，根據(jù)函數(shù)的最小正周期即可求出的值 2）由（1）知，.由，求得，再根據(jù)的面積，解得，最后由余弦定理可求出. 【詳解】（1） 故函數(shù)的最小正周期，解得. （2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面積，解得.由余弦定理可得 ，所以. 【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題． 18.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且點(diǎn)在橢圓C上． 求橢圓C的方程； 若點(diǎn)P在第二象限，，求的面積． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸為，則橢圓方程可設(shè)為，再利用點(diǎn)在橢圓上可求得，從而得橢圓方程；（2）由（1）求得及，在中，由余弦定理可得，然后代入三角形面積公式可得面積． 試題解析：（1）因?yàn)榈慕裹c(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸為， 故可設(shè)橢圓的方程為（）， 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得， 所以，橢圓的方程為． （2）由（1）知，，，在中，由余弦定理可得：，即，∴，則. 19.如圖，四棱錐中，平面底面ABCD，是等邊三角形，底面ABCD為梯形，且，，． Ⅰ證明：； Ⅱ求A到平面PBD的距離． 【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】 （1）由余弦定理得，從而BD⊥AB，由AB∥DC，得BD⊥DC．從而BD⊥平面PDC，由此能證明BD⊥PC （2）設(shè)A到平面PBD的距離為h．取DC中點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，由VA-PBD=VP-ABD，能求出A到平面PBD的距離． 【詳解】（1）由余弦定理得， ∴，∴， ∴. 又平面 底面，平面 底面 ，底面， ∴平面， 又平面，∴. （2）設(shè)到平面的距離為 取中點(diǎn)，連結(jié),∵△是等邊三角形，∴. 又平面 底面，平面 底面 ，平面， ∴底面，且， 由（Ⅰ）知平面，又平面，∴. ∴，即2 1. 解得. 【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題． 20.已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最大正整數(shù)的值. 【答案】⑴，；⑵ 【解析】 【分析】 （1）利用得到，解出可得通項(xiàng)公式． （2）利用裂項(xiàng)相消法求后解不等式可得最大正整數(shù)的值． 【詳解】（1）由題意知，，即， 解得，故，． （2）由， 得， ， 由，解得． 故所求的最大正整數(shù)為5． 【點(diǎn)睛】數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法. 21.己知二次函數(shù)滿足，且． 求函數(shù)的解析式 令， 若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 求函數(shù)在區(qū)間的最小值． 【答案】（1）f(x)＝－x2＋2x＋15.（2）①m≤0或m≥2. ②見解析 【解析】 【分析】 （1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等解得． （2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x=m為對(duì)稱軸的拋物線， ①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2； ②分當(dāng)m≤0時(shí)，當(dāng)0＜m＜2時(shí)，當(dāng)m≥2時(shí)三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案． 【詳解】由已知令； （1） 又 . （2）①=其對(duì)稱軸為 在上不單調(diào)，，. ②當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)， 當(dāng)，即時(shí)，, 綜上， . 【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵． 22.設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，，構(gòu)成等比數(shù)列． 求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的前n項(xiàng)和為； 令，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 【答案】（1）, (2) 【解析】 【分析】 （1）利用等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,代入，求出，進(jìn)而求出；可看成是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的乘積，故可用錯(cuò)位相減法求和. （2）通過分奇偶討論求出，再利用參變分離求的范圍. 【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)，由題意， 則,解得.則. ?， ?， ?-?得 ， . (2), 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，， 綜上所述， 【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法是求數(shù)列前項(xiàng)和的一種基本方法，解題過程計(jì)算比較繁瑣，特別要注意解題中符號(hào)的變化以及相減后消去哪些項(xiàng)，保留哪些項(xiàng).處理數(shù)列與不等式相結(jié)合的恒成立問題，其方法與函數(shù)中恒成立問題相同，但是一定要注意數(shù)列中變量的取值的特殊性.