《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.5指數(shù)函數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2014年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析 2.5指數(shù)函數(shù)（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2014年高考一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)難點(diǎn)精講精析：2.5指數(shù)函數(shù) 一、冪的運(yùn)算的一般規(guī)律及要求 1．相關(guān)鏈接 (1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式根據(jù)可以相互轉(zhuǎn)化. (2)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪中的指數(shù)不能隨便約分,例如要將　 寫(xiě)成等必須認(rèn)真考查a的取值才能決定,如而無(wú)意義. (3)在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí),一般是先將根式化成冪的形式，并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算. (4)指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟：有括號(hào)先算括號(hào)里的,無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算,先乘除后加減,負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù),底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先要化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的,先化成假分?jǐn)?shù),若是根式,應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪

2、的形式表示,運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì). 指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值的原則及結(jié)果要求 （1）化簡(jiǎn)原則 ①化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪； ②化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪； ③化小數(shù)為分?jǐn)?shù)； ④注意運(yùn)算的先后順序. 注：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于0，否則不能用性質(zhì)運(yùn)算 （2）結(jié)果要求 ①若題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； ②若題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示； ③結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)冪。 2．例題解析 〖例1〗（1）化簡(jiǎn)：； （2）計(jì)算： 分析：（1）因?yàn)轭}目中的式子既有根式又有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪以便用法則運(yùn)算。

3、（2）題目中給出的是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，先看其是否符合運(yùn)算法則的條件，如符合用法則進(jìn)行下去，如不符合應(yīng)再創(chuàng)設(shè)條件去求。 2 / 15 解：（1）原式= ； （2）原式= 〖例2〗已知，求的值 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴ 二、指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用 1．相關(guān)鏈接 （1）圖象的變換 （2）從圖象看性質(zhì) 函數(shù)的圖象直觀地反映了函數(shù)的基本性質(zhì) ①圖象在x軸上的身影可得出函數(shù)的定義域； ②圖象在y軸上的身影可得出函數(shù)的值域； ③從左向右看，由圖象的變化得出增減區(qū)間，進(jìn)而得出最值； ④由圖象是否關(guān)于原點(diǎn)（或y軸）對(duì)稱得出函數(shù)

4、是否為奇（偶）函數(shù)； ⑤由兩個(gè)圖象交戰(zhàn)的橫坐標(biāo)可得方程的解。 （3）應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)： 對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等)的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過(guò)平移、對(duì)稱變換得到其圖象,然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解. （4）利用圖象解指數(shù)型方程、不等式： 一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解,往往利用相應(yīng)指數(shù)型 函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解. 2．例題解析 〖例1〗已知f(x)=|2x-1| (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間. (2)比較f(x+1)與f(x)的大小. (3)試確定函數(shù)g(x)=f(x)-x2零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【方法詮釋】(1)作出f(

5、x)的圖象,數(shù)形結(jié)合求解. (2)在同一坐標(biāo)系中分別作出f(x)、f(x+1)圖象，數(shù)形結(jié)合求解. (3)在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)與y=x2的圖象,數(shù)形結(jié)合求解. 解析：(1)由f(x)=|2x-1|=可作出函數(shù)的圖象如圖. 因此函數(shù)f(x)在(-∞,0)上遞減；函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞增. (2)在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)、f(x+1)的圖象，如圖所示. 由圖象知,當(dāng)時(shí),解得 兩圖象相交,從圖象可見(jiàn),當(dāng)時(shí),f(x)＞f(x+1)； 當(dāng)時(shí),f(x)=f(x+1); 當(dāng)時(shí),f(x)＜f(x+1). (3)將g(x)=f(x)-x2的

6、零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與y=x2圖象的交點(diǎn)問(wèn)題,在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)f(x)=|2x-1|和y=x2的圖象如圖所示，有四個(gè)交點(diǎn),故g(x)有四個(gè)零點(diǎn). 〖例2〗已知函數(shù)y=()|x+1|。 （1） 作出圖象； （2） 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間； （3） 由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)函數(shù)有最值。 分析：化去絕對(duì)值符號(hào)將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式作圖象寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間寫(xiě)出x的取值。 解答：（1）由已知可得 其圖象由兩部分組成： 一部分是： 另一部分是： 圖象如圖： （2）由圖象知函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。 （3）由圖象知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，無(wú)最小

7、值。 三、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 1、相關(guān)鏈接 （1）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域的求法 ①函數(shù)y=af(x)的定義域與y=f(x)的定義域相同； ②先確定f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域、單調(diào)性，可確定y=af(x)的值域； （2）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟 ①求復(fù)合函數(shù)的定義域； ②弄清函數(shù)是由哪些基本函數(shù)復(fù)合而成的； ③分層逐一求解函數(shù)的單調(diào)性； ④求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（注意“同增異減”）。 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解的問(wèn)題及方法 (1)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以比較同底數(shù)冪值的大小. (2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)定義域、值域(最值

8、)、單調(diào)性、奇偶性的求解方法,與前面所講一般函數(shù)的求解這些問(wèn)題的方法一致,只需根據(jù)條件靈活選擇即可. 2、例題解析 〖例1〗(1)函數(shù)的定義域是______. (2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_____,值域?yàn)開(kāi)_____. (3)(2012金華模擬)已知函數(shù) (a＞0且a≠1) ①求f(x)的定義域和值域； ②討論f(x)的奇偶性； ③討論f(x)的單調(diào)性. 【方法詮釋】根據(jù)待求的指數(shù)型函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,選擇恰當(dāng)?shù)? 求函數(shù)定義域、值域(最值)、單調(diào)區(qū)間、奇偶性的方法求解. 解析：(1)由題意知 ∴32x-1≥3-3,∴2x-1≥-3, ∴x≥-1,即定義域是

9、[-1,+∞). 答案：[-1,+∞) (2)令g(x)=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,由于g(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增,在(-2,+∞)上單調(diào)遞減,而在R上為 單調(diào)遞減,所以f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞減.又 g(x)=-(x+2)2+7≤7, 答案：(-∞,-2)　　[3-7,+∞) (3)①f(x)的定義域是R, 令得ax=-, ∵ax＞0,∴-＞0,解得-1＜y＜1, ∴f(x)的值域?yàn)閧y|-1＜y＜1}. ② ∴f(x)是奇函數(shù). ③ 設(shè)x1,x2是R上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1＜x2, 則 ∵x1＜x2,∴當(dāng)a＞1時(shí),　 從

10、而 ∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),f(x)為R上的增函數(shù). 當(dāng)0＜a＜1時(shí), 從而 ∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),f(x)為R上的減函數(shù). 〖例2〗如果函數(shù)f(x)=ax(ax-3a2-1)(a>0且a≠1)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 分析：先化簡(jiǎn)f(x)的表達(dá)式，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的方法求解，或利用求導(dǎo)的方法來(lái)解。 解答：由題意得f(x)= （ax）2-（3a2+1）ax， 令t= ax。f(t)=t2-(3a2+1)t(t>0). 當(dāng)a>1時(shí)，t= ax在上為增函數(shù)，則此時(shí)t1, 而對(duì)于f(t)而言，對(duì)

11、稱軸t=>2, 故f(x)在上不可能為增函數(shù)； 當(dāng)00,a≠1). (1)判斷f(x)的奇偶性 (2)討論f(x)的單調(diào)性； (3)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，f(x)≥b恒成立，求b的取值范圍. 思路分析：本題(1)(2)問(wèn)判斷f(x)的奇偶性、討論它的單調(diào)性，由于已知函數(shù)的解析式，因此用定義判斷或利用導(dǎo)數(shù)判斷；(3)恒成立問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是探求f(x)的最小值. 解答

12、： (1) 函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， (2) ∵，∴f(x)為奇函數(shù)； （2）方法一：設(shè)，則 當(dāng)a>1時(shí)， >0，>0，＞0， ∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)00， ∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，此時(shí)函數(shù)f(x)為增函數(shù)； 綜上可知：函數(shù)f(x)= (ax-a-x) (a>0,a≠1)在定義域上為增函數(shù)； 方法二：∵f(x)= (ax-a-x)，∴f′(x)= (axlna+a-xlna)= 當(dāng)a＞1時(shí)，f’(x)＞0,此時(shí)f(x)為增函數(shù)；

13、 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f’(x)＞0,此時(shí)f(x)為增函數(shù)， 綜合可知：f(x)為增函數(shù)。 (3)由(2)知f(x)在R上是增函數(shù)， ∴f(x)在區(qū)間[-1,1]上為增函數(shù)， ∴f(-1)≤f(x)≤f(1)， ∴f(x)min=f(-1)= (a-1-a) ==-1， 要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立，則只需b≤-1，故b的取值范圍是(-∞,-1]. 方法指導(dǎo)：1.判斷函數(shù)的奇偶性，先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(-x)與f(x)之間的關(guān)系； 2.在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決相關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí)，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類(lèi)討論； 3.解決恒成立問(wèn)題，一般需通過(guò)分離變量，通過(guò)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來(lái)實(shí)現(xiàn). 4.解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的綜合問(wèn)題時(shí),除用研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)及相關(guān)問(wèn)題的處理方法外,同時(shí),要適時(shí)地用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì). 5.關(guān)于非具體函數(shù)（或具體函數(shù)）的不等式，往往先根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值間的不等式轉(zhuǎn)化為自變量間的不等式. 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！