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1、 第三章　導數及其應用 學案13　導數的概念及運算 導學目標： 1.了解導數概念的實際背景，理解函數在一點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念．了解曲線的切線的概念.2.能根據導數定義，求函數y＝C (C為常數)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導數．熟記基本初等函數的導數公式(c，xm (m為有理數)，sin x，cos x，ex，ax，ln x，logax的導數)，能利用基本初等函數的導數公式及導數的四則運算法則求簡單函數的導數，能求簡單的復合函數(僅限于形如f(ax＋b))的導數． 自主梳理 1．函數的平均變化率 一般地，已知函數y＝f(x)，x0，x1是

2、其定義域內不同的兩點，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當Δx≠0時，商________________________＝稱作函數y＝f(x)在區(qū)間[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均變化率． 2．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數 (1)定義 函數y＝f(x)在點x0處的瞬時變化率______________通常稱為f(x)在x＝x0處的導數，并記作f′(x0)，即______________________________． (2)幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是過曲線y＝f

3、(x)上點(x0，f(x0))的____________． 導函數y＝f′(x)的值域即為__________________． 3．函數f(x)的導函數 如果函數y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內每一點都是可導的，就說f(x)在開區(qū)間(a，b)內可導，其導數也是開區(qū)間(a，b)內的函數，又稱作f(x)的導函數，記作____________． 4．基本初等函數的導數公式表 原函數 導函數 f(x)＝C f′(x)＝______ f(x)＝xα (α∈Q*) f′(x)＝______ (α∈Q*) F(x)＝sin x f′(x)＝__________ F(x)＝co

4、s x f′(x)＝____________ f(x)＝ax (a>0，a≠1) f′(x)＝____________(a>0，a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0) f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0) f(x)＝ln x f′(x)＝__________ 5．導數運算法則 (1)[f(x)g(x)]′＝__________； (2)[f(x)g(x)]′＝______________； (3)′＝______________ [g(x)≠0]． 6．復合函數的求導法則：

5、設函數u＝φ(x)在點x處有導數ux′＝φ′(x)，函數y＝f(u)在點x處的對應點u處有導數yu′＝f′(u)，則復合函數y＝f(φ(x))在點x處有導數，且y′x＝y(tǒng)′uu′x，或寫作f′x(φ(x))＝f′(u)φ′(x)． 自我檢測 1．在曲線y＝x2＋1的圖象上取一點(1,2)及附近一點(1＋Δx，2＋Δy)，則為 (　　) A．Δx＋＋2 B．Δx－－2 C．Δx＋2 D．2＋Δx－ 2．設y＝x2ex，則y′等于 (　　) A．x2ex＋2x B．2xex C．(2x＋x2)ex D．(x

6、＋x2)ex 3．(20xx全國Ⅱ)若曲線y＝x－在點(a，a－)處的切線與兩個坐標軸圍成的三角形的面積為18，則a等于 (　　) A．64 B．32 C．16 D．8 4．(20xx臨汾模擬)若函數f(x)＝ex＋ae－x的導函數是奇函數，并且曲線y＝f(x)的一條切線的斜率是，則切點的橫坐標是 (　　) A．－ B．－ln 2 C. D．ln 2 5．(2009湖北)已知函數f(x)＝f′()cos x＋sin x，則f()＝________. 探究點一　利用導數的

7、定義求函數的導數 例1　利用導數的定義求函數的導數： (1)f(x)＝在x＝1處的導數； (2)f(x)＝. 變式遷移1　求函數y＝在x0到x0＋Δx之間的平均變化率，并求出其導函數． 探究點二　導數的運算 例2　求下列函數的導數： (1)y＝(1－)；(2)y＝； (3)y＝xex；(4)y＝tan x. 變式遷移2　求下列函數的導數： (1)y＝x2sin x；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝. 探究點三　求復合函數的導數 例3　(20xx莆田模擬)求下列函數的導數： (1)y＝(1＋sin

8、x)2；(2)y＝； (3)y＝ln；(4)y＝xe1－cos x. 變式遷移3　求下列函數的導數： (1)y＝； (2)y＝sin2； (3)y＝x. 探究點四　導數的幾何意義 例4　已知曲線y＝x3＋. (1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程； (2)求曲線過點P(2,4)的切線方程； (3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程． 變式遷移4　求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程． 1．準確理解曲線的切線，需注意的兩個方面： (1)直線與曲線公共點的個數不是切線的本質特征，若直線與曲線只

9、有一個公共點，則直線不一定是曲線的切線，同樣，若直線是曲線的切線，則直線也可能與曲線有兩個或兩個以上的公共點． (2)曲線未必在其切線的“同側”，如曲線y＝x3在其過(0,0)點的切線y＝0的兩側． 2．曲線的切線的求法： 若已知曲線過點P(x0，y0)，求曲線過點P的切線則需分點P(x0，y0)是切點和不是切點兩種情況求解． (1)點P(x0，y0)是切點的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)當點P(x0，y0)不是切點時可分以下幾步完成： 第一步：設出切點坐標P′(x1，f(x1))； 第二步：寫出過P′(x1，f(x1))的切線方程為y－f(x1)＝f′(

10、x1)(x－x1)； 第三步：將點P的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1； 第四步：將x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得過點P(x0，y0)的切線方程． 3．求函數的導數要準確地把函數分割為基本初等函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數．在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣法則，聯系基本初等函數求導公式，對于不具備求導法則結構形式的要適當變形． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．已知函數f(x)＝2ln(3x)＋8x，則 的值為 (　　) A．10 B

11、．－10 C．－20 D．20 2．(20xx溫州調研)如圖是函數f(x)＝x2＋ax＋b的部分圖象，則函數g(x)＝ln x＋f′(x)的零點所在的區(qū)間是 (　　) A. B．(1,2) C. D．(2,3) 3．若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為 (　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 4．(20xx遼寧)已知點P在曲線y＝上，α為曲線在點P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是

12、 (　　) A. B. C. D. 5．(20xx珠海模擬)在下列四個函數中，滿足性質：“對于區(qū)間(1,2)上的任意x1，x2 (x1≠x2)，|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|恒成立”的只有 (　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝|x| C．f(x)＝2x D．f(x)＝x2 題號 1 2 3 4 5 答案

13、 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是__________． 7．若點P是曲線f(x)＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為________． 8．設點P是曲線y＝－x2－3x－3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是__________________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)求下列函數在x＝x0處的導數． (1)f(x)＝＋，x0＝2； (2)f(x)＝，x0＝1. 10．(12分)(20xx保定模擬

14、)有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度． 11．(14分)(20xx平頂山模擬)已知函數f(x)＝x2－aln x(a∈R)． (1)若函數f(x)的圖象在x＝2處的切線方程為y＝x＋b，求a，b的值； (2)若函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數，求a的取值范圍． 自主梳理 1. 2.（1）　　(2)切線的斜率　切線斜率的取值范圍　 3.y′或f′(x) 4．0　αxα－1　cos x?。璼in x　axln a　ex　　 5．(1)f′(x)

15、g′(x)　(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) (3) 自我檢測 1．C　2.C　3.A　4.D 5．1 解析　∵f′(x)＝－f′()sin x＋cos x， ∴f′()＝－1. ∴f()＝1. 課堂活動區(qū) 例1　解題導引　(1)用導數定義求函數導數必須把分式中的分母Δx這一因式約掉才可能求出極限，所以目標就是分子中出現Δx，從而分子分母相約分． (2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”．“有理化”是處理根式問題常用的方法，有時用“分母有理化”，有時用“分子有理化”． (3)注意在某點處的導數與導數定義式的區(qū)別： ； ； (4)用導數的定義求導的步

16、驟為： ①求函數的增量Δy；②求平均變化率；③化簡取極限． 解　(1)＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. (2)＝ ＝ ＝ ＝， ∴ ＝－. 變式遷移1　解　∵Δy＝－ ＝ ＝， ∴＝. ∴ ∴y= ＝＝. 例2　解題導引　求函數的導數要準確地把函數分割為基本函數的和、差、積、商及其復合運算，再利用運算法則求導數．在求導過程中，要仔細分析函數解析式的結構特征，緊扣求導法則，聯系基本函數求導公式．對于不具備求導法則結構形式的要適當恒等變形． 解　(1)∵y＝(1－) ＝－＝， ∴y′＝ ＝. (2)y′＝′＝ ＝. (3)y′＝x′ex＋x

17、(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)． (4)y′＝′＝ ＝＝. 變式遷移2　解　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln 3ex＋3xex－2xln 2 ＝(ln 3＋1)(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ ＝＝. 例3　解題導引　(1)求復合函數導數的思路流程為： →→ (2)由復合函數的定義可知，中間變量的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，

18、一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程． 解　(1)y′＝[(1＋sin x)2]′ ＝2(1＋sin x)(1＋sin x)′ ＝2(1＋sin x)cos x ＝2cos x＋sin 2x. (2)y′＝′ (3)y′＝(ln)′ ＝()′ ＝(x2＋1)－(x2＋1)′ ＝. 變式遷移3　解　(1)設u＝1－3x，y＝u－4. 則yx′＝y(tǒng)u′ux′＝－4u－5(－3) ＝. (2)設y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′uv′vx′＝2ucos v2 ＝4sincos ＝2sin. (3)y′＝

19、(x)′ ＝x′＋x()′ ＝＋＝. 例4　解題導引　(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異；過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點． (2)求函數對應曲線在某一點處的切線的斜率，只要求函數在該點處的導數即可． (3)解決“過某點的切線”問題，一般是設出切點坐標解決． 解　(1)∵y′＝x2， ∴在點P(2,4)處的切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝4. ∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為 y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則

20、切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝x. ∴切線方程為y－＝x(x－x0)， 即y＝xx－x＋. ∵點P(2,4)在切線上，∴4＝2x－x＋， 即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0， ∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， 解得x0＝－1或x0＝2， 故所求切線方程為4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. (3)設切點為(x0，y0)，則 切線的斜率為k＝x＝1，解得x0＝1， 故切點為，(－1,1)． 故所求切線方程為y－＝x－1和y－1＝x＋1， 即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0. 變式遷移4　解　f′(x)＝3x

21、2－6x＋2.設切線的斜率為k. (1)當切點是原點時k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x. (2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0)，則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，① 又k＝＝x－3x0＋2，② 由①②得x0＝，k＝－. ∴所求曲線的切線方程為y＝－x. 綜上，曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程為 y＝2x或y＝－x. 課后練習區(qū) 1．C　2.C　3.A　4.D　5.A 6．1秒或2秒末 7. 8．12x＋3y＋8＝0 9．解　(1)∵f′(x)＝′＝ ＝，∴f′(2)＝0.…………………………

22、……………………………………(6分) (2)∵f′(x)＝(x－)′－x′＋(ln x)′ ＝－x－－1＋，∴f′(1)＝－.……………………………………………………(12分) 10．解　設經時間t秒梯子上端下滑s米， 則s＝5－， 當下端移開1.4 m時，……………………………………………………………………(3分) t0＝＝，……………………………………………………………………………(5分) 又s′＝－(25－9t2)－(－92t) ＝9t，…………………………………………………………………………(10分) 所以s′(t0)＝9 ＝0.875 (m/s)． 故所求的梯子

23、上端下滑的速度為0.875 m/s.……………………………………………(12分) 11．解　(1)因為f′(x)＝x－(x>0)，……………………………………………………(2分) 又f(x)在x＝2處的切線方程為y＝x＋b， 所以……………………………………………………………（5分） 解得a＝2，b＝－2ln 2.……………………………………………………………………(7分) (2)若函數f(x)在(1，＋∞)上為增函數， 則f′(x)＝x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，……………………………………………(10分) 即a≤x2在(1，＋∞)上恒成立． 所以有a≤1.……………………………………………………………………………(14分)