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1、數(shù)學(xué)物理方程總結(jié) 浙江理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 第1章 ：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式: 其中是自變量，是未知函數(shù) 偏微分方程的分類:線性PDE和非線性PDE，其中非線性PＤＥ又分為半線性ＰDE,擬線性PDE和完全非線性PDE。 二階線性PDE的分類(兩個(gè)自變量情形): 　（一般形式 記為 PDE（1)） 主部 目的:可以通過(guò)自變量的非奇異變換來(lái)化簡(jiǎn)方程的主部，從而據(jù)此分類 非奇異　　 　　 根據(jù)復(fù)合求導(dǎo)公式最終可得到: 其中： 考慮如果能找到兩個(gè)相互獨(dú)立的解 　 　 　 　 　 那么就做變換 　從而有 在這里要用到下面兩個(gè)引理: 引

2、理１：假設(shè)是方程 （1)的特解，則關(guān)系式是常微分方程:　 （２）的一般積分。 引理２:假設(shè)是常微分方程(2)的一般積分,則函數(shù)是(1）的特解。 由此可知,要求方程（1）的解，只須求出常微分方程(2）的一般積分。常微分方程（2)為PDE（1)的特征方程,（1)的積分曲線為PDE(1)的特征曲線。 　 　 記 則: 一維的波動(dòng)方程： 一維的熱傳導(dǎo)方程 高維的情況只需要把改為lapｌacｅ的形式即可。 數(shù)學(xué)物理方程（泛定方程)加上相應(yīng)的定解條件就構(gòu)成了定界問(wèn)題。根據(jù)定解條件的不同，又可以把定解問(wèn)題分為三類： 初值問(wèn)題(Dirichlet）:定解條件僅有初值條件 邊值問(wèn)題

3、(Neumaｎn)：定解條件僅有邊值條件 混合問(wèn)題(Rｂｉｎ BC):定解條件有初值條件也有邊值條件 數(shù)學(xué)物理方程的解：如果一個(gè)函數(shù)在某一自變量的取值區(qū)域內(nèi)有所需要的各界連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),并且?guī)霐?shù)學(xué)物理方程使方程成為等式,稱此函數(shù)為在該取值區(qū)域方程的解。 定界問(wèn)題的適定性: 如果一個(gè)定解為題的解存在,唯一且穩(wěn)定，就稱這個(gè)定界問(wèn)題是適定的；反之,若有一個(gè)性質(zhì)不滿足,則稱這個(gè)定界問(wèn)題是不適定的。 所謂界存在,是指定解問(wèn)題至少有一個(gè)解。如果一個(gè)定界問(wèn)題的解不存在,這個(gè)問(wèn)題就完全失去了意義，但定界問(wèn)題反應(yīng)的是客觀物理實(shí)際，在實(shí)際問(wèn)題中解釋存在的。若定解問(wèn)題的解不存在,說(shuō)明所建立的定界問(wèn)

4、題是錯(cuò)誤的,可能是在推導(dǎo)過(guò)程中有非次要因素被忽略掉了,導(dǎo)致泛定方程錯(cuò)誤，還有可能定解條件給錯(cuò)了等。這就需要重新考慮定解問(wèn)題的提法。 　　解的唯一性從物理意義上講是顯然的,如果解存在但不唯一，將無(wú)法確定所求解是否是所需要的，當(dāng)然也無(wú)法求近似解。這表明問(wèn)題的提法還不夠確切，需要進(jìn)一步分析。? 　所謂解的穩(wěn)定性，是指當(dāng)定解問(wèn)題有微小變動(dòng)時(shí)，解是否相應(yīng)地有微小的變動(dòng)，如果是這樣,該解就是穩(wěn)定的解；否則所得的解就沒(méi)有實(shí)用價(jià)值，因?yàn)槎ń鈼l件通常是利用實(shí)驗(yàn)方法所獲得的,因而所得到的結(jié)果有一定的誤差，如果因此導(dǎo)致解的變動(dòng)很大,那么這種解顯然不符合客觀實(shí)際的要求。 而我們多學(xué)的定解問(wèn)題都是經(jīng)典問(wèn)題，他們

5、的適定性都是經(jīng)過(guò)證明了的。 第2章 ：分離變量法 分離變量法的主要思想：1、將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開(kāi)來(lái)，從而原方程拆分成多個(gè)更簡(jiǎn)單的只含１個(gè)自變量的常微分方程；２、運(yùn)用線性疊加原理,將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程；3、利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)、以及其他巧妙方法,求出各個(gè)方程的通解；4、最后將這些通解“組裝”起來(lái)。 分離變量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。主要根據(jù)的理論依據(jù)是線性方程的疊加原理和Stｕrm－Liouvilｌe 理論。最核心的思想是將偏微分方程的求解化為對(duì)常微分方程的求解。 下面就有界弦的自由振動(dòng)的定解問(wèn)題討論 觀察注意其特點(diǎn)是:　方程齊次

6、,　邊界齊次. 端點(diǎn)會(huì)引起波的反射，弦有限長(zhǎng),波在兩端點(diǎn)之間往返反射。兩列反向行進(jìn)的同頻率的波形成駐波。駐波的特點(diǎn)： （1) 沒(méi)有波形的傳播，即各點(diǎn)振動(dòng)相位與位置無(wú)關(guān),按同一方式隨時(shí)間振動(dòng)，可統(tǒng)一表示為(２)　各點(diǎn)振幅隨點(diǎn)而異，而與時(shí)間無(wú)關(guān),用 X(x) 表示,所以駐波可用 　表示 設(shè)且不恒為零，帶入方程和邊界條件中得到 （1） 由于不恒為零，有： (２） （3） 利用邊界條件: （4) （4） （5） 參數(shù)成為特征值。函數(shù)成為特征函數(shù)下面分三種情況討論特征值問(wèn)題 （i）方程的通解為由邊值條件得 C1　=Ｃ 2=0 從而 (iｉ）方程的通解同樣的到, (iｉi

7、）時(shí)，通解由邊值條件得 得到從而，故 即 而由于 再求T： 其解為: 所以根據(jù)疊加原理可以得到： 定解問(wèn)題的解是Fourｉｅr正弦級(jí)數(shù),這是在 ｘ=0 和 x＝ｌ 處的第一類齊次邊界條件決定的。 解的物理意義 　 　 　 　 　 　 u（x，t )是由無(wú)窮多個(gè)振幅、頻率、初位相各不相同的駐波疊加而成?！=１的駐波稱為基波,ｎ>1的駐波叫做n次諧波. 注意:分離變量法適用范圍:偏微分方程是線性齊次的,并且邊界條件也是齊次的。 其求解的關(guān)鍵步驟：確定特征函數(shù)和運(yùn)用疊加原理。對(duì)于不同類型的定解條件做了如下總結(jié) 左端點(diǎn) 右端點(diǎn) 特征值 特征

8、函數(shù) 取值范圍 一 一 ｎ=1,２,3,。。。 一 二 n=0,1，2,。。。 二 二 n=0，１,2，。。。 二 一 n＝0,１,2,。。。 齊次化原理:（Dｕｈamｅl） 設(shè)上的函數(shù)關(guān)于自變量x,t二次可微連同關(guān)于x和ｔ的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)都對(duì)在上連續(xù)，且滿足: 則函數(shù)是下面方程的解： 1、 圓域上的laplaｃe方程 定界問(wèn)題 邊界條件 想法是把空間柱面坐標(biāo)退化為二維的極坐標(biāo)。挖掘邊界條件: r的邊界是0和ａ， j的邊界是0和2π.自然邊界條件有限值,周期邊界條件:，分離變量令，帶入極坐標(biāo)Laplacｅ方程:得

9、到: 于是可以化為下面兩個(gè)常微分方程: 、求解式（1）的本征函數(shù)得到： 在求解(２)式,形式上是歐拉方程,因此可以通過(guò)來(lái)進(jìn)行代換，得: 因此式（2)化簡(jiǎn)為:它的通解是： m=０時(shí), m≠0時(shí)， 由自然邊界條件“u(0，j)=有限值“　可知=0和=0.所以，原Laplａce方程的通解為:再代入邊界條件： 上式實(shí)際上就是ｆ（ｊ)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式,所以待定系數(shù)可以確定: 　 ? ? 二維Lａplａce方程的一般解為： 1) 如果考慮圓內(nèi)問(wèn)題則其解為: 2) 如果考慮圓外問(wèn)題則其解為： 3) 如果考慮是圓環(huán)問(wèn)題,則其解為一般解，其中的系數(shù)由邊界條件確定。 關(guān)

10、于非齊次邊界條件的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為其次邊界條件，因此在這里就不多說(shuō)了,其求解原理和方法和求解其次邊界條件問(wèn)題是一樣的。 第3章 :行波法和積分變換 行波法: 1. 基本思想:先求出偏微分方程的通解，然后用定界問(wèn)題確定特解。 2. 關(guān)鍵步驟:通過(guò)變量代換，將波動(dòng)方程化為便于積分的其次二階偏微分方程 3. 適用范圍:無(wú)界域內(nèi)的波動(dòng)方程等 達(dá)朗貝爾公式： 其解為: （一味的達(dá)朗貝爾公式) 再次引入一個(gè)平均值函數(shù) 為了應(yīng)用這種表達(dá)式在這里令ａ＝x+ａt(yī);b=x-aｔ 則有 則達(dá)朗貝爾公式可以表示如下形式： 解的物理意義: a. 只有初始位移時(shí)，,代表以速度a 沿x 軸正向傳播的

11、波，代表以速度a 沿x 軸負(fù)向傳播的波。 b. 只有初始速度時(shí)：，假使初始速度在區(qū)間 上是常數(shù) ,而在此區(qū)間外恒等于０,。。 結(jié)論是:達(dá)朗貝爾解表示沿ｘ　軸正、反向傳播的兩列波速為ａ波的疊加,故稱為行波法。 相關(guān)概念: 當(dāng)方程為非齊次時(shí): 由疊加原理可知，如果ｖ（x，t)是初值問(wèn)題: 的解。 w(x,ｔ）是初值問(wèn)題: 則u=v+w是初值問(wèn)題（*)的解，即可直接寫(xiě)出(*)的解ｕ(x,ｔ)為： （這個(gè)公式成為一維非齊次波動(dòng)方程初值為題解的Kｉrｃhhoff公式) 半無(wú)界弦的振動(dòng)問(wèn)題： 1. 端點(diǎn)固定 求解的思想是，把它轉(zhuǎn)化為無(wú)界弦的振動(dòng)問(wèn)題，因此需要做一個(gè)奇延拓

12、: 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為： 即解為： 通過(guò)討論t的范圍（分為ｘ>aｔ,和0

13、球心，ｒ 為半徑的球面上的平均值。直接得出三維波動(dòng)方程的解為： 并令則得到： 二維波動(dòng)方程的初值問(wèn)題 求解方法:降維法:由高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題的解來(lái)求解低維波動(dòng)方程柯西問(wèn)題的方法。 由Hａdamard最早提出的。由于初始數(shù)據(jù)與第三個(gè)變量無(wú)關(guān)，因此，在上的球面積分可由在圓域：上的積分得到。r＝at 由 和可以得到二維波動(dòng)方程的解為： 物理意義:三維情況是惠更斯原理（有清晰的前鋒和后尾) 　 　二維情況是波的彌散(有清晰的前鋒但無(wú)后尾） 積分變換(Fｏurｉｅr變換和Laｐｌacｅ變換) 1. Fourier變換: 　定義:

14、性質(zhì)： 1. 線性性質(zhì): 2. 尺度性質(zhì): 3. 位移性質(zhì): 4. 微分性質(zhì)：一般情況下有 5. 積分性質(zhì)： 6. 卷積公式： 　 　 7. Ｐarsｅｖaｌ等式 Laplaｃe 變化及性質(zhì) 性質(zhì)： 1. 線性性質(zhì) 2. 　 3. 相似性質(zhì) 4. 微分性質(zhì)： 一般情況　 ? 5. 積分性質(zhì): 6. 乘多項(xiàng)式性質(zhì)： 7. 延遲性質(zhì): 8. 初值定理： 9. 終止定理: 10. 卷積公式： 第4章 ：拉普拉斯方程的grｅｅn函數(shù)法 Ｇreen函數(shù)： 　 格林函數(shù)，又稱點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的重要概念，代表一

15、個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場(chǎng),而知道了點(diǎn)源的場(chǎng),可以用疊加的方法計(jì)算任意源產(chǎn)生的場(chǎng).。 第一ｇrｅｅn公式： 同理　 　 第二gｒeen公式:兩式相減就得到（ｇreeｎ第二公式） 討論帶有一定邊界條件的泊松方程的求解問(wèn)題,泊松方程而第一,第二,第三類邊界條件可以統(tǒng)一表示為其中f是區(qū)域邊界上給定的函數(shù)，為第一類邊界條件（Diricｈleｔ BC），為第二類邊界條件（Nｅuｍaｎn BC);為第三類邊界條件（Roｂin BC) 三維空間Laplacｅ方程的基本解： 定點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)是 二維空間Laplace方程的基本解: ，動(dòng)點(diǎn)是 基本解:

16、 調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)： 1) .牛曼問(wèn)題有解的必要條件 2) 平均值公式則 3) 極值原理：則只在區(qū)域的邊界上取得最大值和最小值. 4) Ｄｉrichlet問(wèn)題的解釋唯一的，Ｎeumann內(nèi)的解(只相差一個(gè)常數(shù)）也是唯一的 二 ）狄內(nèi)問(wèn)題Ｇreen函數(shù)法的步驟 （1） 、半空間問(wèn)題;(鏡象法構(gòu)造gｒｅｅｎ函 任取置＋e電荷，在對(duì)稱點(diǎn)置-e電荷，則任意點(diǎn)M的電位當(dāng)M位于邊界上時(shí)有 (２)．球域 其格林函數(shù)是: （3） 推廣:第一掛限和第二掛限 它的格林函數(shù)的形式是: 圖和上述第一種類型圖相似,其中點(diǎn)是關(guān)于xoz平面的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于xoz平面的對(duì)稱點(diǎn)。 (4) 在上半半平面的半球域 構(gòu)造格林函數(shù)法思想如第三種類型其格林函數(shù)是: 其中點(diǎn)是關(guān)于ｘoy平面的對(duì)稱點(diǎn),點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于xoy平面的對(duì)稱點(diǎn)。 課程感悟： 　 通過(guò)這門(mén)課程讓我學(xué)到了怎樣去解一些簡(jiǎn)單的偏微分方程，了解古典方程的類型，明白了其物理意義和現(xiàn)象。中間老師給我們布置了一個(gè)小論文,讓我明白了現(xiàn)在自己的知識(shí)很有限，這樣就需要查閱更多的資料和文獻(xiàn)。在無(wú)形中就提高了自己的知識(shí)面和自己的寫(xiě)作的能力。這樣的訓(xùn)練讓我受益匪淺,雖然在花費(fèi)了大量的時(shí)間在這門(mén)課上，但是我覺(jué)得很值得。現(xiàn)在了解了最簡(jiǎn)單基本的方程和模型,我相信這對(duì)以后的學(xué)習(xí)會(huì)有很大的幫助。