《2020高中數學北師大版選修44同步配套教學案：第二章 167;1 參數方程的概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020高中數學北師大版選修44同步配套教學案：第二章 167;1 參數方程的概念（14頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、北師大版2019-2020學年數學精品資料 章末復習課 [對應學生用書P18] [對應學生用書P19] 在平面直角坐標系內求曲線(軌跡)方程 由于在平面直角坐標系求曲線(軌跡)方程是解析幾何非常重要的一類問題，在高考中常以解答題中關鍵的一問的形式出現，一般與平面解析幾何、向量、函數等知識交匯命題． 常用的方法有： (1)直接法：如果題目中的條件有明顯的等量關系或者可以推出某個等量關系，即可用求曲線方程的五個步驟直接求解． (2)定義法：如果動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依定義寫出軌跡方程． (3)代入法：如果動點P(x，y)依賴于另一動點Q(x1，y1

2、)，而Q(x1，y1)又在某已知曲線上，則可先列出關于x，y，y1，x1的方程組，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲線方程即為所求． (4)參數法：動點P(x，y)的橫縱坐標用一個或幾個參數來表示，消去參數即得其軌跡方程． [例1]　如圖，圓O1和圓O2的半徑都是1，|O1O2|＝4，過動點P分別作圓O1和圓O2的切線PM，PN(M，N分別為切點)使得|PM|＝|PN|，試建立適當的坐標系，并求動點P的軌跡方程． [解]如圖，以直線O1O2為x軸，線段O1O2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，則兩圓心的坐標分別為O1(－2,0)，O2(2,0)． 設P(x，y)，

3、 則|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1. 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1. ∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2. 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]． 即x2－12x＋y2＋3＝0. 即動點P的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝33. 求曲線的極坐標方程 在極坐標系中求曲線的極坐標方程是高考考查極坐標系的一個重要考向，重點考查軌跡極坐標方程的探求及直線和圓的極坐標方程的確定與應用問題．求曲線的極坐標的方法和步驟，和求直角坐標方程類似，就是把曲線看作適合某種條件的點的集合或軌跡，將已知條件用曲線上的極坐標ρ，θ

4、的關系式f(ρ，θ)表示出來，就得到曲線的極坐標方程． [例2]　已知Rt△ABO的直角頂點A在直線ρcos θ＝9上移動(O為原點)，又∠AOB＝30，求頂點B的軌跡的極坐標方程． [解]　如圖①，設B(ρ，θ)，A(ρ1，θ1)． 則ρcos 30＝ρ1，即ρ1＝ρ. 又∵ρ1cos θ1＝9，而θ1＝θ－30， ∴ρcos 30cos＝9，即ρcos＝6. ①　　　　　　　?、? 若點B的位置如圖②所示，同理得點B的軌跡方程為 ρcos＝6. 綜上所述，點B的軌跡方程為ρcos＝6. [例3]　已知定點A(a,0)，動點P對極點O和點A的張角∠OPA＝.在OP的延長

5、線上取點Q，使|PQ|＝|PA|.當P在極軸上方運動時，求點Q的軌跡的極坐標方程． [解]　設Q，P的坐標分別是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，則θ＝θ1. 在△POA中，ρ1＝sin， |PA|＝，又|OQ|＝|OP|＋|PA|， ∴ρ＝2acos. 極坐標與直角坐標的互化 極坐標與直角坐標的互化主要考查點的極坐標與直角坐標的互化以及曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化，將不熟悉的極坐標(方程)問題轉化為熟知的問題求解．解決此類問題，要熟知：互化的前提依舊是把直角坐標系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸并在兩種坐標系下取相同的單位長度． 互化公式為 直角坐標方程化極坐標

6、方程可直接將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而極坐標方程化為直角坐標方程通常將極坐標方程化為ρcos θ，ρsin θ的整體形式，然后用x，y代替較為方便，常常兩端同乘以ρ即可達到目的，但要注意變形的等價性． [例4]　把下列極坐標方程化為直角坐標方程． (1)ρ＝2acos θ(a＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4； (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5. [解]　(1)ρ＝2acos θ，兩邊同時乘以ρ， 得ρ2＝2aρcos θ， 即x2＋y2＝2ax. 整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2， 是以(a

7、,0)為圓心，以a為半徑的圓． (2)兩邊同時乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x2＋y2＝9x＋9y， 又可化為2＋2＝， 是以為圓心，以為半徑的圓． (3)將ρ＝4兩邊平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16， 是以原點為圓心，以4為半徑的圓． (4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一條直線． [例5]　將下列極坐標方程化為直角坐標方程． (1)θ＝；(2)ρ2＝ρ；(3)2cos θ＝7sin θ. [解]　(1)∵tan θ＝，∴＝tan＝－. ∴y＋x＝0. (2)∵ρ2＝ρ，∴ρ＝0或ρ＝1. ∴x2＋y2＝0或x2＋y

8、2＝1. (3)兩邊同乘以ρ得：2ρcos θ＝7ρsin θ. ∴2x－7y＝0. [例6]　若兩圓的極坐標方程分別為ρ＝2cos θ和ρ＝2sin θ，求兩圓的公共弦長． [解]　法一：將兩圓方程化為直角坐標方程為： x2＋y2－2x＝0和x2＋y2－2y＝0. 由得y＝x， 即為公共弦所在直線方程． 由得交點坐標為(0,0)，(1,1)． ∴弦長為＝. 法二：設除極點外的公共點坐標為P(ρ，cos θ)(ρ＞0)． 則2cos θ＝2sin θ， ∴tan θ＝1. 由于0≤θ≤，∴θ＝. ∴ρ＝2cos＝. ∴公共弦長為. 　　 一、選擇題 1．在極

9、坐標系中，已知兩點A，B，則A，B兩點間的距離是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選D　設極點為O，∵∠AOB＝－＝π， ∴A，O，B三點共線． ∴A，B兩點間的距離|AB|＝|OA|＋|OB|＝3＋1＝4. 2．在極坐標系中，與點關于極點對稱的點的一個坐標是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　點(ρ，θ)關于極點對稱的點為(ρ，π＋θ)， 故關于極點對稱的點的一個坐標為，即. 3．在極坐標系中，已知一個圓的方程為ρ＝12sin，則過圓心與極軸垂直的直線的極坐標方程是(　　) A．ρsin θ＝3 B．ρsi

10、n θ＝－3 C．ρcos θ＝－3 D．ρcos θ＝3 解析：選C　圓ρ＝12sin(θ－)化為x2＋y2＋6x－6y＝0，其圓心為(－3,3)，∴所求直線方程為x＝－3化為極坐標方程：ρcos θ＝－3. 4．直線θ＝α和直線ρsin(θ－α)＝1的位置關系是(　　) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．重合 解析：選B　直線θ＝α化為直角坐標方程為y＝xtanα，ρsin(θ－α)＝1化為ρsin θcos α－ρcos θsin α＝1，即y＝xtanα＋. 所以兩直線平行． 二、填空題 5．已知一條直線的極坐標方程為ρsin＝，則極點到該直線的距

11、離是________． 解析：∵ρsin＝ρsin θcos ＋ρcos θsin ＝ρsin θ＋ρcos θ＝， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，即x＋y＝1. 則極點到該直線的距離d＝＝. 答案： 6．(上海高考)在極坐標系中，曲線ρ＝cos θ＋1與ρcos θ＝1的公共點到極點的距離為________． 解析：聯立得ρ(ρ－1)＝1?ρ＝，又ρ≥0，故兩曲線的公共點到極點的距離為. 答案： 7．極坐標方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0表示的曲線焦點的極坐標為____________________． 解析：極坐標方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0化為 5

12、ρ2(cos2θ－sin2θ)＋ρ2－24＝0， 即3x2－2y2＝12. 得標準方程為－＝1. 所以a2＝4，b2＝6，c＝. 所以兩焦點的極坐標為(，0)，(，π)． 答案：(，0)，(，π) 8．如圖，在極坐標系中，過點M(2,0)的直線l與極軸的夾角α＝.若將l的極坐標方程寫成ρ＝f(θ)的形式，則f(θ)＝________. 解析：在直線l上任取點P(ρ，θ)，在△OPM中，由正弦定理得＝，即＝，化簡得ρ＝，故f(θ)＝. 答案： 三、解答題 9．在極坐標系中P是曲線ρ＝12sin θ上的動點，Q是曲線ρ＝12cos上的動點，試求PQ的最大值． 解：以極點O

13、為原點，極軸為x軸建立直角坐標系xOy，將方程ρ＝12sin θ化為直角坐標方程為x2＋y2＝12y，它表示圓心為(0,6)，半徑為6的圓． 將ρ＝12cos化為直角坐標方程為 (x－3)2＋(y－3)2＝36，它表示以(3，3)為圓心，6為半徑的圓． 由圓的位置關系可知，當P，Q所在直線為連心線所在直線時，PQ長度可取最大值，且最大值為 ＋6＋6＝18. 10．已知A(－1,0)，B(1,4)，在平面上動點P滿足＝4，點Q是點P關于直線l：y＝2(x－4)的對稱點，求動點Q的軌跡方程． 解：法一：設P(x，y)， 則＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4?

14、(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4， 即x2＋(y－2)2＝32. ∴P的軌跡是以C(0,2)為圓心，以3為半徑的圓． ∵點Q是點P關于直線y＝2(x－4)的對稱點， ∴動點Q的軌跡是一個以C0(x0，y0)為圓心，半徑為3的圓，其中C0(x0，y0)是點C(0,2)關于直線y＝2(x－4)的對稱點，即直線y＝2(x－4)與CC0垂直，且過CC0的中點，于是有 即? 故動點Q的軌跡方程為(x－8)2＋(y＋2)2＝9. 法二：設P(x，y)， 則＝(－1－x，－y)，＝(1－x,4－y)， 故由＝4?(－x－1)(1－x)＋(－y)(4－y)＝4，即x2＋(y－2

15、)2＝32(*)． 設點Q的坐標為Q(u，v)， ∵Q，P關于直線l：y＝2(x－4)對稱， ∴PQ與直線l垂直，于是有＝－　?、? ∵PQ的中點在l上，∴有＝2(－4)　　②. 由①②可解得 代入方程(*)得 (－3u＋4v＋32)2＋(4u＋3v－26)2＝(35)2， 化簡得u2＋v2－16u＋4v＋59＝0 ?(u－8)2＋(v＋2)2＝9. 故動點Q的軌跡方程為(x－8)2＋(y＋2)2＝9. [對應學生用書P41] (時間：90分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中只有一個是正確的) 1．在極

16、坐標中有如下三個結論：①點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程；②tan θ＝1與θ＝(ρ≥0)表示同一條曲線；③ρ＝3與ρ＝－3表示同一條曲線．在這三個結論中正確的是(　　) A．①③　　　　　　　　　 B．① C．②③ D．③ 解析：選D　在直角坐標系內，曲線上每一點的坐標一定適合它的方程，但在極坐標系內，曲線上一點的所有坐標不一定適合方程，故①是錯誤的；tan θ＝1不僅表示θ＝這條射線，還表示θ＝這條射線，故②亦不對；ρ＝3與ρ＝－3差別僅在于方向不同，但都表示一個半徑為3的圓，故③正確． 2．原點與極點重合，x軸正半軸與極軸重合，則點(－5，－5)的極坐標是

17、(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設點(－5，－5)的極坐標為(ρ，θ)，則tan θ＝＝，x<0，∴最小正角θ＝，ρ＝＝10. 3．已知點P的柱坐標為，則它的直角坐標為(　　) A．(，1,1) B．(1,1,1) C．(，，1) D．(1,0,1) 解析：選B　設點P的直角坐標為(x，y，z)． 則有x＝rcos θ＝cos ＝1， y＝rsin θ＝sin ＝1，z＝1. ∴點P的直角坐標為(1,1,1)． 4．ρ＝2cos θ－2sin θ表示的曲線是(　　) A．直線 B．圓 C．射線 D．半圓 解析：選B　兩邊同乘以ρ

18、得：ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ. 把ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入得： x2＋y2－2x＋2y＝0，表示圓． 5．曲線ρ2＋2ρ(3cos θ－2sin θ)＝0的對稱中心的直角坐標是(　　) A．(3,2) B．(2,3) C．(－3,2) D．(－3，－2) 解析：選C　原方程可化為：x2＋y2＋6x－4y＝0. 即：(x＋3)2＋(y－2)2＝13. ∴它的對稱中心為(－3,2)． 6．設點P的直角坐標為(4,4,4)，則它的球坐標為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設點P的球坐標為(r，φ，θ)，

19、 則r＝＝8，tan θ＝＝＝1. 又∵x>0，∴θ＝. ∵4＝8cos φ，∴cos φ＝. ∵0≤φ≤π，∴φ＝. ∴點P的球坐標為. 7．在極坐標系中，與圓ρ＝4sin θ相切的一條直線方程為(　　) A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2 C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4 解析：選B　如圖，⊙C的極坐標方程為ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA為直徑，|OA|＝4，ρsin θ＝2表示直線y＝2，ρcos θ＝4表示直線x＝4，ρcos θ＝－4表示直線x＝－4，均不與圓相切，只有B符合． 8．在極坐標系中，圓ρ＝4cos θ＋4sin θ的

20、圓心坐標是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　將原方程化成直角坐標方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝8，圓心坐標為(2,2)，化成極坐標為. 9．在極坐標系中，設圓ρ＝3上的點到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距離為d，則d的最大值為(　　) A．5 B．6 C．4 D．3 解析：選C　極坐標方程ρ＝3轉化成直角坐標方程為x2＋y2＝9，所以圓心為(0,0)，半徑為3，ρ(cos θ＋sin θ)＝2轉化成直角坐標方程為x＋y＝2.則圓心到直線x＋y＝2的距離d′＝＝＝1. ∴圓上的點到直線的最大距離為d′＋3＝1＋3＝4. 10．在極坐標系

21、中，過點A(6，π)作圓ρ＝－4cos θ的切線，則切線長為(　　) A．2 B．6 C．2 D．2 解析：選C　圓ρ＝－4cos θ化為(x＋2)2＋y2＝4，點(6，π)化為(－6,0)，所以切線長＝＝＝2. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上) 11．已知曲線C1，C2的極坐標方程分別為ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，則曲線C1與C2交點的極坐標為________． 解析：由 得4cos2θ＝3. ∴2(1＋cos 2θ)＝3，cos 2θ＝. 又0≤2θ<π，∴θ＝.故ρ＝2， ∴曲線C1與C2的交點的極坐標為. 答

22、案： 12．若曲線的極坐標方程為ρ＝tan θ，則該曲線的直角坐標方程為________． 解析：由ρ＝tan θ＝，得ρcos2θ＝sin θ， ∴ρ2cos2θ＝ρsin θ，化為直角坐標方程為x2＝y. 答案：x2＝y 13．在極坐標系中，點到直線ρsin＝1的距離是________． 解析：點化為直角坐標為(，1)，直線方程可化為ρsin θ－ρcos θ＝1，即x－y＋2＝0，由點到直線的距離公式得d＝＝1. 答案：1 14．在極坐標系中，曲線C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1與曲線C2：ρ＝a(a>0)的一個交點在極軸上，則a＝________. 解析：曲線C

23、1的直角坐標方程為x＋y＝1，曲線C2的直角坐標方程為x2＋y2＝a2，C1與x軸的交點坐標為，此點也在曲線C2上，代入解得a＝. 答案： 三、解答題(本大題共4小題，共50分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)(廣東高考改編)在極坐標系中，曲線C1和C2的方程分別為ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C1和C2的交點的直角坐標． 解析：由ρsin2θ＝cos θ?ρ2sin2θ＝ρcos θ?y2＝x， 又由ρsin θ＝1?y＝1，聯立? 故曲線C1和C2交點的

24、直角坐標為(1,1)． 16．(本小題滿分12分)極坐標方程ρ＝－cos θ與ρcos＝1表示的兩個圖形的位置關系是什么？ 解：ρ＝－cos θ可變?yōu)棣?＝－ρcos θ， 化為普通方程為x2＋y2＝－2x， 即(x＋1)2＋y2＝1，它表示圓，圓心為(－1,0)，半徑為1. 將ρcos＝1化為普通方程為x－y－2＝0. ∵圓心(－1,0)到直線的距離為＝＞1， ∴直線與圓相離． 17．(本小題滿分12分)在平面直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設橢圓的長軸長為10，中心為(3,0)，一個焦點在直角坐標原點． (1)求橢圓的直角坐標方程，并化為極坐標方

25、程； (2)當橢圓過直角坐標原點的弦長為時，求弦所在直線的直角坐標方程． 解：(1)由已知，得a＝5，c＝3，故b＝＝4， 所以橢圓的直角坐標方程為＋＝1. 由于x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入上式，得 ＋＝1， 即25ρ2＝(16＋3ρcos θ)2，即5ρ＝16＋3ρcos θ. 所以橢圓的極坐標方程為ρ＝. (2)設過直角坐標原點的弦的傾斜角為θ，弦的兩端點分別為P1(ρ1，θ)，P2(ρ2，θ＋π)，則有ρ1＝， ρ2＝. 由于ρ1＋ρ2＝，所以＋＝，則 ＝?cos2θ＝?cos θ＝ ?θ＝或θ＝. 所以所求直線的直角坐標方程為y＝x或y＝－x.

26、18.(本小題滿分14分)如圖所示，點P為直線x＋y＝1上的動點，O為原點，求正方形OPQR的頂點R，Q軌跡的極坐標方程，并化成直角坐標方程． 解：以Ox為極軸建立極坐標系，則直線x＋y＝1的極坐標方程為ρ(cos θ＋sin θ)＝1. 設點P(ρ0，θ0)，Q(ρ1，θ1)，R(ρ2，θ2)， 由題意① ② 由①得 ∵ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1， ∴點Q的軌跡方程為 ρ1＝1， 化簡得ρ1sin θ1＝1或ρ1cos θ1＝1. 化為直角坐標方程為y＝1或x＝1. 由②得 代入ρ0(cos θ0＋sin θ0)＝1得 ρ2＝1， 化簡得點R的軌跡方程為 ρ2(sin θ2－cos θ2)＝1或ρ2(cos θ2－sin θ2)＝1. 化為直角坐標方程為：x－y＋1＝0或x－y－1＝0.