3、X),則P(X=4)的值為( C )
(A)1220 (B)2755 (C)27220 (D)2125
解析:由題意取出的3個球必為2個舊球1個新球,
故P(X=4)=C32C91C123=27220.
4.設(shè)隨機變量ξ的分布列為P（ξ=k5）=ak(k=1,2,3,4,5),則P（110<ξ<710）等于( C )
(A)35 (B)45 (C)25 (D)15
解析:由已知,分布列為
ξ
1
2
3
4
5
P
a
2a
3a
4a
5a
由分布列的性質(zhì)可得a+2a+3a+4a+5a=1,
解得a=115.
∴P（110<ξ<710）=P（ξ=15
4、）+P（ξ=25）+P（ξ=35）
=115+215+315
=25.
故選C.
5.有10件產(chǎn)品,其中3件是次品,從這10件產(chǎn)品中任取兩件,用ξ表示取到次品的件數(shù),則E(ξ)等于( A )
(A)35 (B)815 (C)1415 (D)1
解析:ξ服從超幾何分布P(X=ξ)=C3xC72-xC102(x=0,1,2),
∴P(ξ=0)=C72C102=2145=715,
P(ξ=1)=C71C31C102=2145=715,
P(ξ=2)=C32C102=345=115.
∴E(ξ)=0715+1715+2115
=915
=35.
故選A.
6.(2013高考
5、湖北卷)如圖,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體.經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為X,則X的均值E(X)等于( B )
(A)126125 (B)65 (C)168125 (D)75
解析:由題意知X可取0,1,2,3,且P(X=0)=33125=27125,P(X=1)=96125=54125,P(X=2)=312125=36125,P(X=3)=8125.故E(X)=54125+236125+38125=65.故選B.
二、填空題
7.設(shè)隨機變量ξ等可能取1,2,3,…,n,若P(ξ<4)=0.3,則n= .
解析:因為1
6、,2,3,…,n每個值被取到的概率為1n,
故P(ξ<4)=P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)
=1n+1n+1n
=3n
=0.3,
所以n=10.
答案:10
8.已知某籃球運動員比賽中罰球的命中率為0.8,每次罰球命中得1分,罰不中得0分,則他罰球一次得分ξ的期望為 .
解析:由題意,他得分的分布列為
ξ
1
0
P
0.8
0.2
,
∴E(ξ)=10.8+00.2=0.8.
答案:0.8
9.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽,則所選3人中女生人數(shù)不超過1人的概率是 .
解析:P=C43+C42C21C63=1620=4
7、5.
答案:45
10.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示.若E(X)=0,D(X)=1,則a= ,b= .
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
112
解析:由分布列的性質(zhì)得a+b+c+112=1,由E(X)=0得-a+c+16=0,由D(X)=1得(-1-0)2a+(0-0)2b+(1-0)2c+(2-0)2112=1,
即a+b+c=1112,a-c=16,a+c=23,解得a=512,b=14,c=14.
答案:512 14
11.某畢業(yè)生參加人才招聘會,分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷.假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為23,得到
8、乙、丙兩公司面試的概率均為p,且三個公司是否讓其面試是相互獨立的,記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù).若P(X=0)=112,則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)= .
解析:由題意知P(X=0)=13(1-p)2=112,∴p=12.
隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
112
13
512
16
E(X)=0112+113+2512+316=53.
答案:53
三、解答題
12.在一次購物抽獎活動中,假設(shè)某10張獎券中有一等獎券1張,可獲價值50元的獎品;有二等獎券3張,每張可獲價值10元的獎品;其余6張沒有獎.某顧客從此10張獎券中任抽2張,求:
9、
(1)該顧客中獎的概率;
(2)該顧客獲得的獎品總價值ξ(元)的概率分布列及期望E(ξ)和方差D(ξ).
解:(1)P=1-C62C102=1-13=23,
即該顧客中獎的概率為23.
(2)ξ的所有可能取值為0,10,20,50,60元.
P(ξ=0)=C62C102=13,
P(ξ=10)=C31C61C102=25,
P(ξ=20)=C32C102=115,
P(ξ=50)=C11C61C102=215,
P(ξ=60)=C11C31C102=115.
故ξ的分布列為
ξ
0
10
20
50
60
P
13
25
115
215
115
10、從而期望E(ξ)=013+1025+20115+50215+60115=16.
D(ξ)=(0-16)213+(10-16)225+(20-16)2115+(50-16)2215+(60-16)2115=384.
能力提升
13.已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸在y軸的左側(cè),其中a,b,c∈{-3,-2,-1,0,1,2,3},在這些拋物線中,記隨機變量ξ=|a-b|,則E(ξ)為( A )
(A)89 (B)35 (C)25 (D)13
解析:∵拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè),
∴-b2a<0,
即ba>0,
即a,b同號.
∴隨機變量ξ的分布列為
ξ
0
11、
1
2
P
618
818
418
∴E(ξ)=0618+1818+2418=89.
故選A.
14.馬老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如下表:
ξ
1
2
3
P
?
!
?
請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望.盡管“!”處完全無法看清,且兩個“?”處字跡模糊,但能斷定這兩個“?”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E(ξ)= .
解析:設(shè)“?”處的數(shù)值為x,則“!”處的數(shù)值為1-2x,則
E(ξ)=1x+2(1-2x)+3x=x+2-4x+3x=2.
答案:2
15.(2014保定模擬)某班同學利用寒假在三個小區(qū)進行了一次生活習慣是否符合低
12、碳觀念的調(diào)查,若生活習慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”,否則稱為“非低碳族”,這兩種人數(shù)占各自小區(qū)總?cè)藬?shù)的比例如下:
A小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
12
12
B小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
45
15
C小區(qū)
低碳族
非低碳族
比例
23
13
(1)從A,B,C三個小區(qū)中各選一人,求恰好有2人是低碳族的概率.
(2)在B小區(qū)中隨機選擇20戶,從中抽取的3戶中“非低碳族”數(shù)量為X,求X的分布列和期望E(X).
解:(1)記這3人中恰好有2人是低碳族為事件A,
P(A)=124513+121523+124523=715.
(2)在B小區(qū)
13、隨機選擇的20戶中,“非低碳族”有4戶,
P(X=k)=C4kC163-kC203(k=0,1,2,3),
X的分布列為
X
0
1
2
3
P
2857
819
895
1285
E(X)=02857+1819+2895+31285=0.6.
探究創(chuàng)新
16.(2015四川雅安中學檢測)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖所示.
(1
14、)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量;
(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件,設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列;
(3)從該流水線上任取5件產(chǎn)品,求恰有2件產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率.
解:(1)質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量是40(0.055+0.015)=12(件);
(2)Y的所有可能取值為0,1,2,
P(Y=0)=C282C402=63130,
P(Y=1)=C121C281C402=2865,
P(Y=2)=C122C402=11130,
Y的分布列為
Y
0
1
2
P
63130
2865
11130
(3)從流水線上任取5件產(chǎn)品,恰有2件產(chǎn)品的質(zhì)量超過505克的概率為
C122C283C405=121121282726321403938373654321=21113719=231703.
【導與練】新課標高三數(shù)學一輪復習 第10篇 第6節(jié) 離散型隨機變量的分布列及均值與方差課時訓練 理
