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1、經濟數學基礎講義 第2章 導數與微分 第2章 導數與微分 2.1 極限概念 研究函數是利用極限的方法來進行；極限是一個變量在變化過程中的變化趨勢. 例1 圓的周長的求法.早在公元263年，古代數學家劉徽用圓內接正四邊形、正五邊形、正八邊形、正十六邊形……等的邊長近似圓的周長，顯然隨著邊數的增加，正多邊形的邊長將無限趨近圓的周長. 例2 討論當時，的變化趨勢. 例3 討論一個定長的棒，每天截去一半，隨著天數的增加，棒長的變化趨勢。 “一尺之棰，日截其半，萬世不竭”——莊子?天下 定義2.3 設函數在點的鄰域（點可以除外）內有定義，如果當無限趨于（但）時，無限趨近于某個常數，則稱趨

2、于時，以為極限，記為 或 若自變量趨于時，函數沒有一個固定的變化趨勢，則稱函數在處沒有極限. 在理解極限定義時要注意兩個細節(jié)： 1.時，（） 2.（包括這兩種情況） 例1 討論時, =？ 解：求極限時，可以利用極限的概念和直觀的了解，我們可以借助幾何圖形來求函數的極限.由幾何圖形可以看出，當時，，即=4 例2討論函數,當時的極限 解：此函數在處沒有定義，可以借助圖形求極限.由 圖形得到 2.1.3 左極限和右極限 考慮函數，依照極限的定義，不能考慮的極限. 因為在處無定義. 又如函數，如果討論是的極限，則函數分別在和時不是同一個表達式，必須分別考慮.由此引出左

3、右極限的概念. 定義2.4 設函數在點的鄰域（點可以除外）內有定義， 如果當且x無限于（即x從的左側趨于，記為）時，函數無限地趨近于常數L，則稱當x趨于時，以L為左極限，記作　= L； 如果當且x無限趨于（即x從的右側趨于，記為）時，函數無限地趨近于常數R，則稱當x趨于時，以R為右極限，記作= R . 極限存在的充分必要條件： 極限存在的充分必要條件是：函數在處的左，右極限都存在且相等.即 例3 , 求 解：注意到此函數當x=0的兩側表達式是不同，在0點處分別求左、右極限. ， 可見左右極限都存在但不相等；由幾何圖形易見,由極限的定義知，函數在某點處有極限存在需在該點處

4、的左右端同趨于某個常數，因此此函數在0點處極限不存在. 2.1.4 無窮小量 稱當時，為無窮小量，簡稱無窮小. 補充內容： 無窮小量是一個特殊的變量，它與有極限變量的關系是： 變量y以為A極限的充分必要條件是：y可以表示成A與一個無窮小量的和，即 無窮小量的有以下性質： 性質1 有限個無窮小量的和是無窮小量； 性質2 有限個無窮小量的乘積是無窮小量； 性質3 有界函數與無窮小量的乘積是無窮小量. 無窮大量：在某個變化過程中，絕對值無限增大且可以大于任意給定的正實數的變量稱為無窮大量. 例如 因為，所以，當時，是無窮大量.無窮小量與無窮大量有如下“倒數關系”： 定理

5、：當（或）時，若是無窮小（而），則是無窮大；反之，若是無窮大，則是無窮小. 例4，當時， 解： 由圖形可知，當時，，當時，是無窮小量. 2.2 極限的運算 2.2.1 極限的四則運算法則 在某個變化過程中，變量分別以為極限，則 ， 例1 求 解： 例2 求 解： 例3 求 解： 例4 求 解： 2.2.2 兩個重要極限 1. 幾何說明： 如圖，設為單位圓的圓心角，則對應的小三角形的面積為，對應的扇形的面積為，對應的大三角形的面積為當時，它們的面積都是趨于0的 ，即之比的極限是趨于1的. 例1 解：= 2. 例2 求極限 解: 例3

6、求極限 解 2.3 函數的連續(xù)性 定義 設函數在點的鄰域內有定義，若滿足，則稱函數在點處連續(xù).點是的連續(xù)點. 函數間斷、間斷點的概念 如果函數在點處不連續(xù)，則稱在點處發(fā)生間斷.使發(fā)生間斷的點，稱為的間斷點 例如 函數，， 在定義域內都是連續(xù)的. 例1 ,問在處是否連續(xù)？ 注意：此函數是分段函數，是函數的分段點. 解: ， 不存在，在處是間斷的. 例2 ,問在處是否連續(xù)？ 解: （無窮小量有界變量=無窮小量）在處是連續(xù)的. 結論:（1）基本初等函數在其定義域內是連續(xù)的； （2）連續(xù)函數的四則運算、復合運算在其有定義處連續(xù)； （3）初等函數在其定義區(qū)間內是

7、連續(xù)的. 例3 解: 注意： 是初等函數，在處有定義，利用 結論有極限值等于函數值. 2.4 導數與微分的概念 本節(jié)的主要內容是導數與微分的概念. 三個引例 邊際成本問題 瞬時速率問題 曲線切線問題 引例1： 邊際成本問題 C—總成本，—總產量 已知 （當自變量產生改變量，相應的函數也產生改變量） ），（成本平均變化率），（邊際成本） 引例2: 瞬時速率問題 路程是時間的函數，當從時，從 （平均速率） （在時刻的瞬時速率） 引例3：曲線切線問題 考慮曲線在處的切線斜率. 當時，對應的，曲線上和兩點間割線的斜率為 （當時），稱為切線的斜率

8、. 關于函數 ，，考慮極限 定義 設函數在點的鄰域內有定義，當自變量在點處取得改變量時，函數取得相應的改變量. 若當時，兩個改變量之比的極限 存在，則稱函數在點處可導，并稱此極限值為 在點處的導數，記為或或或 即 = 若極限不存在，則稱函數在點處不可導. 在理解導數定義時要注意：導數也是逐點討論的. 導數定義的意義 數量意義 變化率 經濟意義 邊際成本 幾何意義 切線的斜率 例1 ，求 思路：先求，再求. 解：因為 所以， 例2 ，求 解: 因為 所以 導數公式 求導步驟 1、求； 2、求. 注意：是的導函數，

9、函數在處的導數值 微分的概念 設，導數，兩邊同乘，得到函數的微分. 微分 導數公式 微分公式 由導數公式可以得到微分公式 2.5 導數的計算 導數的加法法則 設在點處可導，則在點處可導亦可導，且 （為常數） 加法公式證明 證：設，則 ， 由已知條件，均可導. 導數的乘法法則 設在點處可導，則在點處可導亦可導，且 導數除法法則 設在點處可導，則在點處可導亦可導，且 （） 例1 設函數，求 析：現在分別知道冪函數和常數函數的導數公式，利用上述法則可求它們組合后函數的導數.

10、 解： （利用加法法則） =（利用導數公式） 例2 設，求. 解： （提示 ） 例3 設，求. 解：（提示） 例4 ， 解：因為（由對數的性質：） 所以 （其中常數的導數為0） 例5 設，求. 解：利用導數的乘法法則，（利用導數公式） 例6 ，求. 解：<方法1>由導數基本公式 <方法2> 利用導數的乘法法則 說明無論用哪種方法其結果是唯一的. 例7 ，求. 解：<方法1> 將函數看成，利用乘法法則求導. <方法2> 利用導數的除法法則求導 其中.兩個結果是完全一樣的. 例8 求 解： （利用三角公式）同理可求. 2.5

11、.2 復合函數求導法則 問題：，求 ，則 解：第一個問題，求導數沒有直接公式可用. 方法1：將函數展開 利用加法法則有 方法2：將函數寫成兩個因式乘積的形式 ，利用四則運算法則求導數. 第二個問題，展開？共101項，求導很麻煩. 寫成因式乘積的形式，求導也將很麻煩. 在這節(jié)課我們將介紹復合函數求導法則. 討論，引進中間變量 2.5.2 復合函數求導法則 定理 設y=f(u),u=j(x),且u=j(x)在點x處可導，y=f(u)在點u=j(x)處可導，則復合函數y=f(j(x))在點x處可導，且 或 復合函數求導步驟 分清函數的復合層次，找出所有的中間變

12、量； 依照法則，由外向內一層層的直至對自變量求導. 多層復合的函數求導數 對于多層復合的函數，即 若，則 或 注意：多層復合的函數求導數仍是經過一切中間變量直至對自變量求導. 問題: 求由方程所確定的隱函數的導數？ 解：先將從方程中解出來，得到和 分別求導和 將和分別代入，得 （1） 由（1）解得: （2） 在（2）中隱含 隱函數求導方法步驟 方程兩邊求導，； 整理方程，求出. 例1 求下列函數的導數或微分 （1），求 解：方法一: 由 .這是用導數的乘法法則. 方法二: 利用復合函數求導法則，設 （其結果是完全一樣的) （2），求 解：利

13、用復合函數求導法則，設 . （3），求. 解：利用復合函數求導法則，設 , 例2設，求 解：先求一般點上函數的導數，再將代入求得結果. 設，利用復合函數求導法則， , 例3設函數，求. 解：（首先對函數進行分解，找出所有中間變量） , 例4 求函數，求. 解： 例5 設函數，求. 解: [] 例6 求由方程所確定的隱函數的導數. 解：方程兩邊對自變量求導數，此時是中間變量. ,解出（與前面的結果相同）. 例7求由方程所確定的隱函數的導數？ 解：方程兩邊對自變量求導數，此時是中間變量. ,解得 注意：在隱函數的導數結果中常常含有. 例8 求雙曲線在點（1，1）處的切線斜率. 分析：此題是求隱函數在某點處的導數. 解：因為,所以,且在點（1，1）處的切線斜率 2.6 高階導數 的高階導數 例1： 一般地，，函數的階導數記為 例1 求函數的二、三階導數. 解： ，， 例2 求的二階導數 至導數. 解： ，， …