《2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第三十講 從創(chuàng)新構造入手.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第三十講 從創(chuàng)新構造入手.doc（1頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

2019-2020年九年級數學競賽輔導講座 第三十講 從創(chuàng)新構造入手 有些數學問題直接求解比較困難，可通過創(chuàng)造性構造轉化問題而使問題獲解． 所謂構造法，就是綜合運用各種知識和方法，依據問題的條件和結論給出的信息，把問題作適當的加工處理．構造與問題相關的數學模式，揭示問題的本質，從而溝通解題思路的方法．構造法是一種創(chuàng)造性思維，是建立在對問題結構特點的深刻認識基礎上的． 構造法的基本形式是以已知條件為“原料”，以所求結論為“方向”，構造一種新的數學形式，初中階段常用的構造解題的基本方法有： 1．構造方程； 2．構造函數； 3．構造圖形； 4．對于存在性問題，構造實例； 5．對于錯誤的命題，構造反例； 6．構造等價命題等． 【例題求解】 【例1】 設、、、都為實數，，滿足，求證：． 思路點撥 可以從展開已知等式、按比例性質變形已知等式等角度嘗試．仔細觀察已知等式特點，、可看作方程的兩根，則，通過構造方程揭示題設條件與結論的內在規(guī)律，解題思路新穎而深刻． 注：一般說來，構造法包含下述兩層意思：利用抽象的普遍性，把實際問題轉化為數學模型；利用具體問題的特殊性，給所解決的問題設計一個框架，強調數學應用的數學建模是前一層意思的代表，而后一層意思的“框架”含義更為廣泛，如方程、函數、圖形、“抽屜”等． 【例2】 求代數式的最小值． 思路點撥 用一般求最值的方法很難求出此代數式的最小值． ，于是問題轉化為：在 軸上求一點C(1，0)，使它到兩點A(一1，1)和B(2，3)的距離和(CA+CB)最小，利用對稱性可求出C點坐標．這樣，通過構造圖形而使問題獲解． 【例3】 已知、為整數，方程的兩根都大于且小于0，求和的值． 思路點撥 利用求根公式，解不等式組求出、的范圍，這是解本例的基本思路，解法繁難．由于二次函數與二次方程有深刻的內在聯系，構造函數，令，從討論拋物線與軸交點在與0之間所滿足的約束條件入手． 【例4】 如圖，在矩形ABCD中，AD=，AB=，問：能否在Ab邊上找一點E，使E點與C、D的連線將此矩形分成三個彼此相似的三角形?若能找到，這樣的E點有幾個?若不能找到，請說明理由． 思路點撥 假設在AB邊上存在點E，使Rt△ADE∽Rt△BEC∽Rt△ECD，又設AE=，則，即，于是將問題轉化為關于的一元二次方程是否有實根，在一定條件下有幾個實根的研究，通過構造方程解決問題． 【例5】 試證：世界上任何6個人，總有3人彼此認識或者彼此不認識． 思路點撥 構造圖形解題，我們把“人”看作“點”，把2個人之間的關系看作染成顏色的線段．比如2個人彼此認識就把連接2個人的對應點的線段染成紅色；2個人彼此不認識，就把相應的線段染成藍色，這樣，有3個人彼此認識就是存在一個3邊都是紅色的三角形，否則就是存在一個3邊都是藍色的三角形，這樣本題就化作： 已知有6個點，任何3點不共線，每2點之間用線段連結起來，并染上紅色或藍色，并且一條邊只能染成一種顏色．證明：不管怎么染色，總可以找出三邊同色的三角形． 注：“數缺形時少直觀，形缺少時難入微”數形互助是一種重要的思想方法，主要體現在： (1)幾何問題代數化； (2)利用圖形圖表解代數問題； (3)構造函數，借用函數圖象探討方程的解． 利用代數法解幾何題，往往是以較少的量的字母表示相關的幾何量，根據幾何圖形性質列出代數式或方程(組)，再進行計算或證明． 特別地，證明幾何存在性的問題可構造方程，利用一元二次方程必定有解的的的代數模型求證；應用為韋達定理，討論幾何圖形位置的可能性． 有些問題可通過改變形式或換個說法，構造等價命題或輔助命題，使問題清晰且易于把握． 對于存在性問題，可根據問題要求構造出一個滿足條件的結論對象，即所謂的存在性問題的“構造性證明”． 學歷訓練 1．若關于的方程的所有根都是比1小的正實數，則實數的取值范圍是 ． 2．已知、、、是四個不同的有理數，且，，那么的值是 ． 3．代數式的最小值為 ． 4．A、B、C、D、E、F六個足球隊單循環(huán)賽，已知A、B、C、D、E五個隊已經分別比賽 了5、4、3、2、1場，則還未與B隊比賽的球隊是 ． 5．若實數、滿足，且，則的取值范圍是 ． 6．設實數分別、分別滿足，，并且，求的值． 7．已知實數、、滿足，求證：． 8．寫出10個不同的自然數，使得它們中的每個是這10個數和的一個約數，并說明寫出的10個自然數符合題設條件的理由． 9．求所有的實數，使得 ． 10．若是不全為零且絕對值都小于106的整數．求證：． 11．已知關于的方程有四個不同的實根，求的取值范圍． 12．設0，求證． 13．從自然數l，2，3，…354中任取178個數，試證：其中必有兩個數，它們的差為177． 14．已知、、、、是滿足，的實數，試確定的最大值． 15．如圖，已知一等腰梯形，其底為和，高為． (1)在梯形的對稱軸上求作點P，使從點P看兩腰的視角為直角； (2)求點P到兩底邊的距離； (3)在什么條件下可作出P點? 參考答案