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專題4.8 曲線運(yùn)動的綜合性問題 一．選擇題 1.如圖甲所示,質(zhì)量相等,大小可忽略的a、b兩小球用不可伸長的等長輕質(zhì)細(xì)線懸掛起來,使小球a在豎直平面內(nèi)來回?cái)[動,小球b在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動,連接小球b的細(xì)線與豎直方向的夾角和小球a擺動時(shí)細(xì)線偏離豎直方向的最大夾角都為θ,運(yùn)動過程中兩細(xì)線拉力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖乙中c、d所示.則下列說法正確的是(　　) A.圖乙中直線d表示細(xì)線對小球a的拉力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系 B.圖乙中曲線c表示細(xì)線對小球a的拉力大小隨時(shí)間變化的關(guān)系 C.θ=45 D.θ=60 【參考答案】BD 2.(多選)如圖所示，一個(gè)固定在豎直平面上的光滑半圓形管道，管道里有一個(gè)直徑略小于管道內(nèi)徑的小球，小球在管道內(nèi)做圓周運(yùn)動，從B點(diǎn)脫離后做平拋運(yùn)動，經(jīng)過0.3 s后又恰好垂直與傾角為45的斜面相碰。已知半圓形管道的半徑R＝1 m，小球可看做質(zhì)點(diǎn)且其質(zhì)量為m＝1 kg，g取10 m/s2。則(　　) A.小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是0.9 m B.小球在斜面上的相碰點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離是1.9 m C.小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D.小球經(jīng)過管道的B點(diǎn)時(shí)，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 【參考答案】AC 3. (2017泰州中學(xué))如圖所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小物塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn)),靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上,圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動,a到轉(zhuǎn)軸的距離為l,b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l,物塊與盤面間的動摩擦因數(shù)為,盤面與水平面的夾角為30.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,重力加速度大小為g.若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動,下列說法中正確的是 (　　) A. a在最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0 B. a在最低點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0 C. ω=是a開始滑動的臨界角速度 D. ω=是b開始滑動的臨界角速度 【參考答案】. AD　 二．計(jì)算題 1．[2017山東萊州模擬](15分)如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)管彎成的“S”形軌道固定于豎直平面內(nèi)，其彎曲部分是由兩個(gè)半徑均為R＝0.2 m的半圓平滑對接而成(圓的半徑遠(yuǎn)大于細(xì)管內(nèi)徑)，軌道底端D點(diǎn)與粗糙的水平地面相切?，F(xiàn)有一輛質(zhì)量為m＝1 kg的玩具小車以恒定的功率從E點(diǎn)由靜止開始出發(fā)，經(jīng)過一段時(shí)間t＝4 s后，出現(xiàn)了故障，發(fā)動機(jī)自動關(guān)閉，小車在水平地面繼續(xù)運(yùn)動并進(jìn)入“S”形軌道，從軌道的最高點(diǎn)飛出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C點(diǎn)，C點(diǎn)與下半圓的圓心O等高。已知小車與地面之間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.1，ED之間的距離為x0＝10 m，斜面的傾角為30。求：(g取10 m/s2) (1)小車到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為多少？ (2)在A點(diǎn)小車對軌道的壓力大小是多少，方向如何？ (3)小車的恒定功率是多少？ 【參考答案】(1)4 m/s　(2)10 N　方向豎直向上　(3)5 W 解析　(1)把小車在C點(diǎn)的速度分解為沿水平方向的分速度vA和沿豎直方向的分速度vy， 有v＝2g3R，vC＝，解得vC＝4 m/s。 (2)由(1)知小車在A點(diǎn)的速度大小 vA＝vCsin30＝2 m/s， 因?yàn)関A＝>，小車對外軌有壓力，軌道對小車的作用力豎直向下，根據(jù)牛頓第二定律有mg＋FN＝m，解得FN＝10 N， 根據(jù)牛頓第三定律得，小車對軌道的壓力的大小FN′＝FN＝10 N，方向豎直向上。 (3)從E到A的過程中，由動能定理可得 Pt－μmgx0－mg4R＝mv， 解得P＝5 W。 2．(14分)如圖所示，在同一豎直平面內(nèi)，一輕質(zhì)彈簧一端固定，另一自由端恰好與水平線AB平齊，靜止放于傾角為53的光滑斜面上。一長為L＝9 cm的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系一質(zhì)量為m＝1 kg的小球，將細(xì)繩拉至水平，使小球從位置C由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)D時(shí)，細(xì)繩剛好被拉斷。之后小球在運(yùn)動過程中恰好沿斜面方向?qū)椈蓧嚎s，最大壓縮量為x＝5 cm。(取g＝10 m/s2，sin53＝0.8，cos53＝0.6)求： (1)細(xì)繩受到的拉力的最大值； (2)D點(diǎn)到水平線AB的高度h； (3)彈簧所獲得的最大彈性勢能Ep。 【參考答案】(1)30 N　(2)16 cm　(3)2.9 J 【名師解析】(1)小球由C到D，由機(jī)械能守恒定律得： mgL＝mv，解得v1＝① 在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得F－mg＝m② 由①②解得F＝30 N， 由牛頓第三定律知細(xì)繩所能承受的最大拉力為30 N。 (2)由D到A，小球做平拋運(yùn)動v＝2gh③ tan53＝④ 聯(lián)立①③④解得h＝16 cm。 (3)小球從C點(diǎn)到將彈簧壓縮至最短的過程中，小球與彈簧系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin53)，代入數(shù)據(jù)解得：Ep＝2.9 J。 3．(2016江蘇無錫期中)(20分)如圖所示，傾角為37的粗糙斜面AB底端與半徑R＝0.9 m的光滑半圓軌道BC平滑相連，O為軌道圓心，BC為圓軌道直徑且處于豎直方向，A、C兩點(diǎn)等高。質(zhì)量m＝2 kg的滑塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，恰能滑到與O等高的D點(diǎn)，g取10 m/s2，sin 37＝0.6，cos 37＝0.8。 (1)求滑塊與斜面間的動摩擦因數(shù)μ； (2)若使滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，求滑塊從A點(diǎn)沿斜面滑下時(shí)的初速度v0的最小值； (3)若滑塊離開C處的速度大小為 m/s，求滑塊從C點(diǎn)飛出至落到斜面上的時(shí)間t。 (2)若滑塊能到達(dá)C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有mg＋FN＝則得vC≥＝ m/s＝3 m/s； A到C的過程：根據(jù)動能定理有－μmgcos 37＝mv－mv 聯(lián)立解得，v0＝≥＝3 m/s 所以，滑塊從A點(diǎn)沿斜面下滑時(shí)的初速度v0的最小值為3 m/s。 (3)滑塊離開C點(diǎn)做平拋運(yùn)動，則有 x＝vCt y＝gt2 由幾何關(guān)系得：tan 37＝ 聯(lián)立得10t2＋5t－3.6＝0 解得t＝0.4 s。 答案　(1)0.375　(2)3 m/s　(3)0.4 s 4．(2016山西太原校級高三月考) (20分)物體做圓周運(yùn)動時(shí)所需的向心力F需由物體運(yùn)動情況決定，合力提供的向心力F供由物體受力情況決定。若某時(shí)刻F需＝F供，則物體能做圓周運(yùn)動；若F需＞F供，物體將做離心運(yùn)動；若F需＜F供，物體將做近心運(yùn)動。現(xiàn)有一根長L＝0.5 m的剛性輕繩，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系著質(zhì)量m＝1 kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))，將小球提至O點(diǎn)正上方的A點(diǎn)處，此時(shí)繩剛好伸直且無張力，如圖所示。不計(jì)空氣阻力，g取10 m/s2，則： (1)在小球以速度v1＝5 m/s水平拋出的瞬間，繩中的張力為多大？ (2)在小球以速度v2＝1 m/s水平拋出的瞬間，繩中若有張力，求其大小；若無張力，試求輕繩再次伸直時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間。 (2)因?yàn)関2＜v0，故繩中沒有張力，小球?qū)⒆銎綊佭\(yùn)動，如圖所示 水平方向：x＝v2t 豎直方向：y＝gt2 L2＝(y－L)2＋x2 代入數(shù)據(jù)解得：t＝0.4。 答案　(1)40 N　(2)繩中無張力　0.4 s 5.為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個(gè)與水平方向夾角為θ＝60，長為L1＝2 m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L2＝m的水平軌道BC相連，然后在C處設(shè)計(jì)一個(gè)豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示?，F(xiàn)將一個(gè)小球從距A點(diǎn)高為h＝0.9 m的水平臺面上以一定的初速度v0水平彈出，到A點(diǎn)時(shí)速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC間的動摩擦因數(shù)均為μ＝。g取10 m/s2，求： (1)小球初速度v0的大小； (2)小球滑過C點(diǎn)時(shí)的速率vC； (3)要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件。 【名師解析】(1)小球做平拋運(yùn)動到達(dá)A點(diǎn)，由平拋運(yùn)動規(guī)律知豎直方向有：v＝2gh 即：vy＝3 m/s 因?yàn)樵贏點(diǎn)的速度恰好沿AB方向， 所以小球初速度：v0＝vytan 30＝ m/s (2)從水平拋出到C點(diǎn)的過程中，由動能定理得： mg(h＋L1sin θ)－μmgL1cos θ－μmgL2＝mv－mv 解得：vC＝3 m/s。 當(dāng)小球剛好能到達(dá)與圓心等高時(shí)有：mgR2＝mv 解得：R2＝＝2.7 m 當(dāng)圓軌道與AB相切時(shí)：R3＝L2tan 60＝1.5 m，即圓軌道的半徑不能超過1.5 m 綜上所述，要使小球不離開軌道，R應(yīng)該滿足的條件是：0＜R≤1.08 m。 答案　(1) m/s　(2)3 m/s　(3)0＜R≤1.08 m 6.如圖所示，一水平傳送帶AB長為L＝6 m，離水平地面的高為h＝5 m，地面上C點(diǎn)在傳送帶右端點(diǎn)B的正下方。一物塊以水平初速度v0＝4 m/s自A點(diǎn)滑上傳送帶，傳送帶勻速轉(zhuǎn)動，物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.2，重力加速度為g＝10 m/s2。 (1)要使物塊從B點(diǎn)拋出后的水平位移最大，傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的速度應(yīng)滿足什么條件？最大水平位移多大？ (2)若物塊從A點(diǎn)滑上傳送帶到落地所用的時(shí)間為2.3 s，求傳送帶運(yùn)轉(zhuǎn)的速度(＝3.162，＝3.77，結(jié)果保留三位有效數(shù)字)。 做平拋運(yùn)動的過程h＝gt2 t＝＝1 s 則最大的水平位移為smax＝v2t＝2 m＝6.32 m (2)若物塊從A點(diǎn)滑上傳送帶到落地所用的時(shí)間為2.3 s，由于平拋運(yùn)動的時(shí)間為1 s，因此物塊在傳送帶上運(yùn)動的時(shí)間為t1＝1.3 s 若物塊從A到B以v0＝4 m/s勻速運(yùn)動，需要的時(shí)間為t2＝＝1.5 s 若物塊一直勻加速運(yùn)動，則所用的時(shí)間為 t3＝＝ s＝(－2) s＝1.162 s 由于t2＞t1＞t3，所以物塊在傳送帶上先加速再勻速 則＋＝t1 v′2－13.2v′＋40＝0 解得v′＝ m/s＝4.72 m/s。 答案　(1)v≥6.32 m/s　6.32 m　(2)4.72 m/s 7. (12分) （2016安徽皖江聯(lián)考） 如圖所示，光滑的AB桿上套一輕質(zhì)彈簧，彈簧一端與桿下端連接于固定的轉(zhuǎn)軸，另一端與套在桿上質(zhì)量為m的小球連接。已知AB桿足夠長，彈簧的原長為l0，勁度系數(shù)為k，OO為過B點(diǎn)的豎直線，桿與水平面間的夾角始終為。已知彈簧的彈性勢能公式為其中k為勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量。 （1）若桿保持靜止?fàn)顟B(tài)，讓小球從彈簧的原長位置由靜止釋放，求小球速度最大時(shí)彈簧的彈性勢能； （2）當(dāng)球隨桿一起繞OO勻速轉(zhuǎn)動時(shí)，轉(zhuǎn)動角速度不同彈簧的長度就會不同，已知球隨桿一起以足夠大的角速度轉(zhuǎn)動，且在穩(wěn)定的情形下彈簧處于伸長狀態(tài)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動。求此時(shí)彈簧伸長量。 【名師解析】 (12分) （1）當(dāng)小球速度最大時(shí)，有： （2分） 解得彈簧的壓縮量為： （1分） 故（2分） （2）設(shè)彈簧伸長量為△l2，在水平方向上有： （3分） 豎直方向上有：（3分） 解得：（1分） 8.(12分)(2016長春模擬)如圖所示，位于豎直水平面內(nèi)的光滑軌道由四分之一圓弧ab和拋物線bc組成，圓弧半徑Oa水平，b點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)．已知h＝2 m，s＝ m．取重力加速度g＝10 m/s2. (1)一小環(huán)套在軌道上從a點(diǎn)由靜止滑下，當(dāng)其在bc段軌道運(yùn)動時(shí)，與軌道之間無相互作用力，求圓弧軌道的半徑； (2)若環(huán)從b點(diǎn)由靜止因微小擾動而開始滑下，求環(huán)到達(dá)c點(diǎn)時(shí)速度的水平分量的大小． 【參考答案】(1)0.25 m　(2) m/s (2)下滑過程中，初速度為零，只有重力做功，根據(jù)動能定理可得mgh＝mv.④(2分) 因?yàn)槲矬w滑到c點(diǎn)時(shí)與豎直方向的夾角等于(1)問中做平拋運(yùn)動過程中經(jīng)過c點(diǎn)時(shí)速度與豎直方向的夾角相等，設(shè)為θ，則根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可知 sin θ＝.⑤(1分) 根據(jù)運(yùn)動的合成與分解可得 sin θ＝.⑥(1分) 聯(lián)立①②④⑤⑥可得 v水平＝ m/s.(2分) 9．(12分)(2017臨沂模擬)如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道MNP，其形狀為半徑R＝0.8 m的圓環(huán)剪去了左上角135 的圓弧，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離也是R.用質(zhì)量m＝0.5 kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)釋放，物塊過B點(diǎn)后其位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝8t－2t2(m)，物塊飛離桌面后由P點(diǎn)沿切線落入圓軌道．g＝10 m/s2，求： (1)物塊在水平桌面上受到的摩擦力； (2)B、P間的水平距離； (3)判斷物塊能否沿圓軌道到達(dá)M點(diǎn)． 【參考答案】(1)大小為2 N，方向向左　(2)7.6 m　 (3)不能 (2)物塊在DP段做平拋運(yùn)動，有vy＝＝4 m/s，(1分) t＝＝0.4 s．(1分) vx與v夾角為45，則vx＝vy＝4 m/s，(1分) xDP＝vxt＝1.6 m．(1分) 在BD段xBD＝＝6 m，(1分) 所以xBP＝xBD＋xDP＝7.6 m．(1分) (3)設(shè)物塊能到達(dá)M點(diǎn)，由機(jī)械能守恒定律有 mv＝mgR(1＋cos 45)＋mv，(1分) v＝v－(＋2)gR＝(2－)gR.(1分) 要能到達(dá)M點(diǎn)，需滿足vM≥，而＜，所以物塊不能到達(dá)M點(diǎn)．(1分)