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1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 20192019 屆高三數學高考備考屆高三數學高考備考極坐標與參數方程極坐標與參數方程專題復習建議專題復習建議 極坐標與參數方程為高考選考內容之一，主要考查直線與圓的極坐標方程，考查直線、圓、橢圓的參數方程，考查參數方程與普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、極坐標方程與參數方程的互化，考查利用參數方程求軌跡的問題及軌跡方程的建立，考查參數方程與極坐標方程的直接應用，如極坐標系下兩點間距離的求解等，交匯考查直線與圓錐曲線的位置關系、平面幾何的有關基礎知識、三角函數的性質等。 高考對極坐標與參數方程的題量、考查難度都相對穩(wěn)定。一道解答題，位于 2

2、2 題，滿分 10 分；考查難度定位中等偏易，是考生容易突破的一道題目。試題分設兩問，第一問考查內容多為“互化”，第二問考查內容均為利用參數方程中參數的幾何意義或極坐標方程中, 的幾何意義解決問題，內容涉及距離、面積、弦長、交點、軌跡等問題. 理論上說，本系列的問題通過“互化”轉化為普通直角坐標方程后，均可用解析幾何的相關知識加以解決，但是高考全國卷更加關注用本領域知識解決相關問題的考查。 隨著新課標的實施，2018 年考查了圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系等基礎知識。考查運算求解能力，考查數形結合思想、劃歸與轉化思想等，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象、數學運算。 近 5 年本部分內容考

3、查情況如下： 年份 題序 考查內容 2014 年 23 參數方程與普通方程的互化 2015 年 23 直線、圓的直角坐標方程與極坐標方程的互化 2016 年 23 直角坐標方程與極坐標方程的互化、參數方程與普通方程的互化 2017 年 22 參數方程與普通方程的互化 2018 年 22 圓的極坐標方程、直線與圓的位置關系 一、存在的問題及原因分析一、存在的問題及原因分析 （一）（一）對直線參數方程中參數的幾何意義認對直線參數方程中參數的幾何意義認識不到位識不到位 【例 1】直線l的參數方程為()xattybt為參數，l上的點1P對應的參數是1t，則點1P與( , )P a b之間的距離是 A1

4、t B12 t C12 t D122t 【解析】l上的點1P對應的參數是1t，則111(,)P at bt， 22212111()()22PPatabtbtt，故選 C 【評析】 易錯選為 A.為什么錯？因為所給的直線l的參數方程不是標準式，l上的點1P對應的參數是1t精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 并沒有參數的幾何意義.化成標準式2222txatyb，也可以看出答案為 C. 【例 2】在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為2, ()23xttyt 為參數.直線與曲線22:(2)1Cyx交于,A B兩點.求|AB的長； 【解析】把直線l的參數方程2()23xttyt 為參數

5、化為標準的參數方程232212tytx（ t為參數） 代 入 曲 線:C2221,yx整 理 得01042 tt， 所 以10, 42121tttt， 所 以1424) (2122121ttttttAB. 【評析】本題易錯的主要原因是對直線參數方程中參數的幾何意義的認識不清，由點,A B對應的參數分別為12,t t錯誤得到212121 2| |()414ABttttt t. 當直線的參數方程非標準式時，其參數并不具有距離的幾何意義，只有把直線的參數方程化為標準的參數方程時，| | t才表示距離.一般地，直線btyyatxx00（t表示參數），當122ba時，| | t表示點),(yxp到點00

6、()P x ,y的距離. 【例 3】在直角坐標系xOy，直線l的參數方程是1+ cos ,sin .xtyt（t是參數）在以O為極點，x軸正 半軸為極軸的極坐標系中，曲線C：4cos，若直線l與曲線C相交于,A B兩點，設(1,0)P，且1PAPB,求直線l的傾斜角 【解析】直線l為經過點(1, 0)P傾斜角為的直線，由1cossinxtyt 代入22(2)4xy，整理得22 cos30tt，2(2cos )120 ，設,A B對應的參數分別為12,tt，則122costt，1230t t ， 所以1t，2t異號， 則12| | |2cos| 1PAPBtt，所以1cos2 ，又), 0所以直

7、線l傾斜角3或32. 【評析】本題易錯的主要原因仍是直線參數方程中參數t的幾何意義認識不到位所致，| | t表示距離，t是包含符號的，由于本題中，,A B在P點的兩側，12t ,t異號，故12| | |2cos| 1PAPBtt而不是22121212| |()44cos121PAPBttttt t. 此外，本題的參數方程中含兩個字母參量，哪個是參數在審題時也是值得特別注意的. （二）（二）忽略參數的取值范圍導致“互化”不等價忽略參數的取值范圍導致“互化”不等價 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 【例 4】將曲線1C的參數方程1sin22sincosxy（為參數）化為普通方程. 【解

8、析】把cossiny兩邊平方得xy212sin1)cos(sin22，所以xy212， R,212sin2121.2121x 所求曲線1C的普通方程為xy212，.2121x 【評析】本題易錯點主要在于忽視三角函數sinyx的有界性，即R,212sin2121所以.2121x在將曲線的參數方程化為普通方程時，不僅要把其中的參數消去，還要注意yx,的取值范圍. 【例 5】（2014 年廣東省深圳市高考模擬題）若直線bxy與曲線sincosyx(為參數，且)22有兩個不同的交點，則實數b的取值范圍是_ 【解析】曲線sincosyx(為參數，且)22表示的是以原點為圓心，以 1 為半徑的右半圓，如圖

9、，直線bxy與曲線有兩個不同的交點,直線應介于 兩直線21,ll之間,則(2, 1b . 【評析】本題易錯點主要在于忽視所給的范圍，以為sincosyx(為參數，且)22表示的圖形是圓。其實本題中參數方程表示的是以原點為圓心 1 為半徑的非左半部分的圓的一部分，有了這個認識之后，便不容易出錯。 （三）（三）對極徑的意義理解不到位，不能靈活使用極徑解決問題對極徑的意義理解不到位，不能靈活使用極徑解決問題 【例 6】（2017 全國卷 II 22）在直角坐標系 xOy 中，以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1C的極坐標方程為4cos （） M 為曲線1C上的動點,點 P 在線

10、段OM上,且滿足6OMOP,求點 P 的軌跡2C的直角坐標方程； （）設點 A 的極坐標為)3, 2(，點 B 在曲線2C上，求OAB面積的最大值 【解析】（）設 P 的極坐標為( , )( 0) ，M 的極坐標為11() (0), ，則由已知得116 即416cos，得2C的極坐標方程為4cos(0) ， 所以2C的直角坐標方程為22(2)4 (0)xyx 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）設點 B 的極坐標為，0BB,由題設知cos=2，=4BOA,于是OAB面積 3223)32sin(2)3sin(cos4sin21AOBOASB. 因為22，所以323234， 所以當1

11、2時，S 取得最大值32，所以OAB面積的最大值為32. 【評析】 本題的主要問題在于對于極徑的意義理解不到位， 其一， 不能將極徑與OM、OP建立聯系，從而無法快速求出 P 的軌跡方程，其二，不能利用極徑的幾何意義建立OAB的面積模型進行求解，而是順著第一問的思路在直角坐標系下尋求解題出路，結果造成不能順利建模亦或是建立OAB面積關于直線OB 斜率的函數關系，致使解題過程復雜化，計算量加大，最終無法準確求解. 此外，在第（）問題目中還隱含著一個條件0，如果審題稍有不慎極易遺漏這一限制條件. 【例 7】在平面直角坐標系中，曲線1C的參數方程為22cos,(2sinxy為參數）. （）將1C的方

12、程化為普通方程； （）以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設曲線2C的極坐標方程是)(3R求曲線1C與2C交點的極坐標. 【解析】（）曲線1C的參數方程為22cos,(2sinxy為參數）的普通方程為22(2)4xy； （）把cossinxy代入22(2)4xy得曲線1C的極坐標方程為4cos，把3代入得4cos23，又因為曲線1C和曲線2C的均過原點，.所以曲線1C與2C交點的極坐標為(0,0),(2,).3 【評析】本題直接用極坐標方程求交點的極坐標非常容易遺漏（0,0）點.在極坐標方程與直角坐標方程互化的過程中，經常需要在方程兩邊同乘以或除以，這時需要考慮等價問題：如果曲線0),(

13、不通過極點， 那么0),(與0),(不等價； 如果曲線0),(通過極點， 那么0),(與0),(等價，這是因為0包含在方程( , )0 的曲線中. 本題由于曲線1C和曲線2C的均過原點，所以交點的極坐標還包含有(0,0).如果本題用直角坐標方程求解也不難，且不易遺漏原點.所以求交點坐標的問題，一般宜用我們熟悉的直角坐標方程求解. （四）（四）思維不嚴謹性，完備性欠缺思維不嚴謹性，完備性欠缺 【例 8】在直角坐標系xOy中，直線4:1 yxC曲線sincos1:2yxC（為參數），以坐標原點為極點，x 軸正半軸為極軸建立極坐標系. 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）寫出直線1C與

14、2C的極坐標方程； （）若射線)0(:l分別交1C與2C于 A，B 兩點，求OAOB的取值范圍. 【 解 析 】 （ ）在 直 角 坐 標 系 xOy 中 ， 直 線4:1 yxC直 線1C的 極 坐 標 方 程 為, 4)sin(cos曲線sincos1:2yxC的普通方程為1) 1(22yx，曲線2C的極坐標方程為cos2. （）設24),(),(21BA則,cos2,sincos421 ,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB 1)42cos(2224，) 12(41 1)42cos(2410 OAOB的取值范圍是).12(41, 0

15、( 【評析】本題的易漏點在于對題目隱含條件的挖掘，求出OAOB,1)42(cos241) 12sin2(cos41)sin(coscos241|12OAOB后直接得OAOB的取值范圍是4221,4221忽略了射線)0(:l分別交1C與2C于相交，隱含著24這一條件. 【例 9】(2018 全國卷 II 22)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為2cos ,4sin ,xy（為參數），直線l的參數方程為1cos ,2sin ,xtyt （t為參數） （）求C和l的直角坐標方程； （）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率 【解析】（）曲線C的直角坐標方程為221416xy

16、 當cos0時，l的直角坐標方程為tan2tanyx， 當cos0時，l的直角坐標方程為1x （）將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程 22(1 3cos)4(2cossin)80tt 因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內，所以有兩個解，設為1t，2t，則120tt 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 又由得1224(2cossin)1 3costt ，故2cossin0，于是直線l的斜率tan2k 【評析】()根據同角三角函數關系將曲線 C 的參數方程化為直角坐標方程，根據代入消元法將直線的參數方程化為直角坐標方程，此時要注意分0cos 與0cos兩種

17、情況這也是考生容易忽略之處.( )將直線參數方程代入曲線 的直角坐標方程，根據參數幾何意義得cos,sin之間關系，求得tan，即得的斜率這里，直線的參數方程的標準形式的應用顯得特別重要也是能否順利求解的關鍵. 【例 10】(2018 全國卷22)在平面直角坐標系xOy中，圓 O 的參數方程為cossinxy(為參數)，過點0,2且傾斜角為的直線l與圓 O 交于,A B兩點. () 求的取值范圍； () 求AB中點P的軌跡的參數方程. 【解析】()當2時，直線:0l x ，符合題意； 當2時，設直線:2l ykx，由題意得2211dk，即,11,k ，又tank，3,4224. 綜上，3,44

18、 ()可設直線參數方程為cos3,442sinxtyt ，代入圓的方程可得： 22 2 sin10tt ， 122sin2Pttt，2sincos3,4422sinsinxy 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 即點P的軌跡的參數方程為223sin2,2442cosxy (也可以設直線的普通方程聯立去做，但是要注意討論斜率不存在的情況) 【評析】本題易錯的地方有三處：一是直接假設直線:2l ykx，沒有討論斜率不存在的情況；二是由,11,k ，把tank中的范圍取錯；三是對AB中點P的221tttp不會運用，導致無法求解.在本題求解過程中，思維的嚴謹，三角函數的圖像和性質的應用，參數

19、的幾何意義的理解，曲線圖象的準確定位顯得尤為重要. （五五）作圖分析不到位作圖分析不到位 【例 11】(2018 全國卷22)在直角坐標系xoy中，曲線1C的方程為2xky以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線2C的極坐標方程為03cos22 （）求2C的直角坐標方程； （）若1C與2C有且僅有三個公共點，求1C的方程 【解析】（）由sin,cosyx，222yx得2C的直角坐標方程為4)1(22yx. （）由（）知2C是圓心為 A(-1，0)，半徑為 2 的圓 由題設知，1C是過點 B(0，2)且關于 y 軸對稱的兩條射線記 y 軸右邊的射線為1l，y 軸左邊的射線為2l由

20、于 B 在圓2C的外面，故1C與2C有且僅有三個公共點等價于1l與2C只有一個公共點且2l與2C有兩個公共點，或2l與2C只有一個公共點且1l與2C有兩個公共點 當1l與2C只有一個公共點時，A 到1l所在直線的距離為 2，所以2122kk，故34k或 k=0 經檢驗，當 k=0 時，1l與2C沒有公共點；當34k時，1l與2C只有一個公共點，2l與2C有兩個公共點 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 當2l與2C只有一個公共點時，A 到2l所在直線的距離為 ，所以2122kk，故 k=0 或34k 經檢驗，當 k=0 時，1l與2C沒有公共點；當34k時，2l與2C沒有公共點 綜上

21、，所求1C的方程為234xy 【評析】（）是個簡單的問題，（）容易把答案寫成234xy或234xy錯誤原因一是沒有發(fā)現直線恒過定點（0,2），且此直線關于 y 軸對稱；二是不會作圖分析.其實畫出圖像，根據對稱性可知，1C與2C有且僅有三個公共點只可能是1l與2C只有一個公共點且2l與2C有兩個公共點的情況（1l與2C只有一個公共點時，可保證2l與2C有兩個公共點），不可能是2l與2C只有一個公共點且1l與2C有兩個公共點（若2l與2C只有一個公共點，則1l與2C沒有公共點）本題是考查核心素養(yǎng)之直觀想象的創(chuàng)新試題，也是備考的良好素材. 二、解決問題的思考與對策二、解決問題的思考與對策 （一）（一

22、）關注兩個“互化”的技能訓練關注兩個“互化”的技能訓練 參數方程和普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化是高考每年必考的內容之一，考查形式多樣，有直接要求互化的，也有通過轉化化為直角坐標方程或普通方程，然后利用解析幾何的相關知識解決問題的，因此，應通過專項訓練使之熟練化、自動化. 【例 12】（湖北省 2018 屆高三 4 月調研考試）在直角坐標系中，曲線,曲線為參數)，以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標系. ()求曲線的極坐標方程； ()已知射線與曲線分別交于點（異于原點 ），當時，求的取值范圍. 【解析】()因為，所以曲線的普通方程為：，由，得曲線的極坐標方程. 精

23、選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 對于曲線,則曲線的極坐標方程為. ()由()得,， 因為，則 【評析】求曲線的極坐標方程要經過兩次轉化，問題()轉化為三角函數的值域，再轉化為3(1, )2t時，求244ytt的值域。而該函數在3(1, )2單調遞增，值域便可求出。 （二）（二）強化對直線參數方程中參數強化對直線參數方程中參數t的幾何意義的認識的幾何意義的認識 利用直線參數方程中參數t的幾何意義，可以快速求解與線段長度、距離等相關的問題. 使用時應注意t表示距離時方程的特征和t所具有的“方向”性. 【例 13】（2017 福建省普通高中畢業(yè)班數學單科質量檢查題）在極坐標系中，曲線co

24、s2:1C，曲線cos4sin:22C.以極點為坐標原點，極軸為 x 軸正半軸建立直角坐標系 xOy，曲線 C 的參數方程為tytx23,212（t 為參數）. （）求1C,2C的直角坐標方程； （）C 與1C,2C交于不同四點，這四點在 C 上的排列順序為 P,Q,R,S,求RSPQ 的值. 【解析】法法 1:1: （）因為sin,cosyx， 由cos2得cos22， 所以曲線1C的直角坐標方程為1) 1(22yx. 由cos4sin2得cos4sin22， 所以曲線2C的直角坐標方程為xy42. （）如圖 1，不妨設四個交點自下而上依次為 P,Q,R,S,它們對應的參數為4321,ttt

25、t. 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 則0448)32(34)8(21，3841tt. 把tytx23,212代入1) 1(22yx，得02tt， 則012，132tt. 所以.311381)()()(41323412ttttttttRSPQ 法法 2 2：（）同解法 1. （）把tytx23,212代入xy42，得032832 tt， 如圖 2，不妨設四個交點自下而上依次為 P,Q,R,S,點 S,P 對應的參數為21,tt,則 032,382121tttt 又圓1C中，QRCRQC101,60為等邊三角形，所以1QR

26、, 2211,ttPRttRS， .311)(2112QRtttQRtRSPQ 法法 3 3：（）同解法 1. （）如圖 2，不妨設四個交點自下而上依次為 P,Q,R,S. 依題意直線 C 的方程為233yx，且過 R(2,0)，代入xy42，得 083342yy，設),(),(2211yxPyxS，則 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 083342121yyyy， 因為直線 C 的傾斜角為3，所以2132,32yRPyRS 又QRC1為邊長為 1 的等邊三角形，1QR, 所以.3111)(32321322112yyyyRSPQ 【評析】注意t表示距離時方程的特征和t所具有的“方向

27、”性. （三）（三）關注圓、橢圓參數方程在求最值方面的應用關注圓、橢圓參數方程在求最值方面的應用 涉及有關最值或參數范圍問題的求解，?？衫脠A與橢圓的參數方程，化為三角函數的最值問題處理. 【例 14】（2017 全國卷 I 22）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為3cossinxy（為參數），直線l的參數方程為41xattyt 為參數. （）若1a ，求C與l的交點坐標； （）若C上的點到l的距離的最大值為17，求a. 【解析】（）當1a 時，直線l的方程為430 xy，曲線C的標準方程為2219xy. 聯立方程2243019xyxy，解得30 xy或21252425xy ，則C與l交

28、點坐標是30，和21242525，. （）直線l一般式方程為044ayx，設曲線C上點)sin,cos3(P 則點P到l的距離5sin43cos4sin41717aad，其中3tan4 依題意得max17d，解得16a 或8a . 【評析】注意輔助角公式的運用。 （四）（四）關注極徑、極角幾何意義的認識與應用關注極徑、極角幾何意義的認識與應用 【例 15】（2018 年福建省高三畢業(yè)班質量檢查測試題）在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系已知曲線M的參數方程為1cos ,1sinxy （為參數），12, l l為過點O的兩條直精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè)

29、 線，1l交M于,A B兩點2l交M于,C D兩點，且1l的傾斜角為，6AOC （）求1l和M的極坐標方程； （）當0,6時，求點O到, , ,A B C D四點距離之和的最大值 【解析】 （）依題意，直線1l的極坐標方程為 ()R. 由1cos ,1sinxy 消去，得22(1)(1)1xy 將cos ,sinxy代入上式， 得22 cos2 sin10 ， 故 M 的極坐標方程為22 cos2 sin10 . （）依題意，可設1234(, ), (, ), (， +）， （， +）66ABCD，且1234,，均為正數. 將代入22cos2 sin10 ，得22(cossin)10 ， 所以

30、122 (cossin)， 同理可得，342 cos()sin()66， 所以點 O 到 A,B,C,D 四點的距離之和為 12342 (cossin)2 cos()sin()66 (13)sin(33)cos 2 (13)sin()3 因為0,6，所以當sin()13，即6時，1234取得最大值為2 (13). 所以點O到, , ,A B C D四點距離之和的最大值為22 3. 【評析】極徑、極角幾何意義的認識與應用給問題的研究帶來方便。 （五）（五）注重算法的選擇，關注運用本領域知識進行的問題解決注重算法的選擇，關注運用本領域知識進行的問題解決 將陌生的問題化為已知的問題加以解決，是問題解

31、決的常見思維模式，對極坐標、參數方程的有關問題解決，最簡潔的思路就是將極坐標方程轉化為直角坐標方程、參數方程轉化為普通方程，再利用解析幾何的知識解決問題，然而在有些情況下這種轉化卻會加大運算過程，有時還會出現無法計算結果的情形，近年來高考全國卷就經常出現這種情況，因此除了掌握化為普通直角坐標方程求解的算法外，還應關注運精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 用本領域知識解決問題的算法. 【例 16】 （2018 江蘇卷） 在極坐標系中， 直線 l 的方程為sin()26， 曲線 C 的方程為4cos，求直線 l 被曲線 C 截得的弦長 【解析】因為曲線 C 的極坐標方程為=4cos，所以

32、曲線 C 的圓心為（2，0），直徑為 4 的圓 因為直線 l 的極坐標方程為sin()26，則直線 l 過 A（4，0），傾斜角為6， 所以 A 為直線 l 與圓 C 的一個交點 設另一個交點為 B，則OAB=6 連結OB， 因為OA為直徑， 從而OBA=2， 所以4cos2 36AB 因此，直線 l 被曲線 C 截得的弦長為2 3 【評析】本題的解法多樣，比如轉化為平面直角坐標系中進行研究，如果通過本領域知識極坐標系進行研究也是一個不錯的選擇，但對極坐標系中常見方程的類型要很熟悉。 （六）（六）關注作圖能力的培養(yǎng)關注作圖能力的培養(yǎng) 與解析幾何相同，本部分核心內容也是利用代數的手段研究幾何問題

33、，因此正確的作圖對于成功解題有著決定性作用，應養(yǎng)成邊讀邊畫，以圖助理解，以圖找思路的良好習慣，圖形引領數形結合，戰(zhàn)無不勝. 【例 17】( (2014 浙江卷) ()在極坐標系 Ox 中，設集合 A(，)|04，0cos ，求集合 A 所表示區(qū)域的面積； ()在直角坐標系 xOy 中， 直線 l：x4tcos4，ytsin4(t 為參數)，曲線 C：xacos ，y2sin ( 為參數)，其中 a0. 若曲線 C 上所有點均在直線 l 的右下方，求 a 的取值范圍 【解析】()在 cos 兩邊同乘 ，得2cos .化成直角坐標方程，得 x2y2x， 即2)21( xy214. 所以集合 A 所

34、表示的區(qū)域為：由射線 yx(x0)，y0(x0)，圓2)21( xy214所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為1618. ()由題意知，直線 l 的直角坐標為 xy40. 因為曲線 C 上所有點均在直線 l 的右下方，故對 R，有 acos 2sin 40 恒成立， 即 a24cos()4（其中a2tan）恒成立，只需442 a， 所以 a244.又 a0，得 0a2 3. 【評析】f(x)A 在區(qū)間D上恒成立f(x)min A；f(x)A 在區(qū)間D上恒成立f(x)max A. 三、典型問題剖析三、典型問題剖析 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （一）（一）兩種“互化”及其

35、應用兩種“互化”及其應用 【例 18】 （2013 全國卷 23） 已知曲線 C1的參數方程為45cos ,55sinxtyt(t 為參數)， 以坐標原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 C2的極坐標方程為 2sin . ()把 C1的參數方程化為極坐標方程； ()求 C1與 C2交點的極坐標(0,02) 【解析】()將45cos ,55sinxtyt消去參數t，化為普通方程25)5()4(22yx， 即016108:221yxyxC. 將cos ,sinxy代入01610822yxyx得016sin10cos82. 所以1C的極坐標方程為016sin10cos82. ()2C的

36、普通方程為0222yyx. 由2222810160,20 xyxyxyy 解得1,1xy或0,2.xy 所以1C與2C交點的極坐標分別為( 2,)4，(2,)2. 【評析】 本題主要考查參數方程與普通方程的互化， 直角坐標方程與極坐標方程的互化， 以及利用 “互化”解決有關曲線交點的問題.解題的關鍵在于兩種“互化”相關公式的理解與熟練掌握. （二）（二）利用參數方程解決問題利用參數方程解決問題 【例 19】（2014 全國卷 23） 已知曲線194:22yxC，直線tytxl222:（t為參數） （）寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程； （）過曲線C上任意一點P作與l夾角為 30的直線，交

37、l于點A，求PA的最大值與最小值. 【解析】（）曲線C的參數方程為：2cos3sinxy （為參數）， 直線 l 的普通方程為：260 xy. （）在曲線 C 上任意取一點 P (2cos,3sin)到 l 的距離為54cos3sin65d， 則02 5|5sin6sin305dPA，其中為銳角且4tan3. 當sin1 時，PA取得最大值，最大值為22 55； 當sin1時，PA取得最小值，最小值為2 55. 【評析】本題解題的關鍵之一在于將PA的最值問題，轉化為點 P 到直線l的距離的最值問題，其二精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 在于確定 P 點的坐標形式， 通過橢圓的參數方

38、程設點， 進而利用三角函數有界性解決問題， 解題過程輕松、快捷. （三）（三）利用利用, 的幾何意義解決問題的幾何意義解決問題 【例 20】(2016 全國卷22)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為25)6(22yx （）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程； （）直線l的參數方程是cossinxtyt（t為參數）, l與C交于BA,兩點，10AB，求l的 斜率 【解析】（）由25)6(22yx，得2212110 xyx， 因為222,cosxyx，所以C的極坐標方程為011cos122. （）設BA,對應的極徑分別為12, ，則 212 cos110得212 co

39、s110，121212cos ,11 ， 所以22121212()4144cos44AB ， 由|10AB 得2315cos,tan83 ，所以l的斜率為153或153 （四）（四）極坐標與參數方程的綜合應用極坐標與參數方程的綜合應用 【例 21】（廈門市 2018 屆高三上學期期末質檢）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為2cos ,sin ,xy（為參數）.以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，,A B為C上兩點，且OAOB，設射線:OA，其中02. （）求曲線C的極坐標方程； （）求OA OB的最小值. 【解析】（）將1C的方程化為直角坐標方程為2212xy，即2212x

40、y. 將cosx，siny代入可得22cossin12 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 化簡得2221 sin （）根據題意：射線OB的極坐標方程為2或2. 1221 sinOA，222221 cos1 sin2OB 則1222221 sin1 cosOA OB 2221 sin1 cos 22241 sin1 cos32 ， 當且僅當22sincos，即4時，取得最小值43. 故OA OB的最小值為43. 【評析】 射線OB的極坐標方程有兩種情況， 容易忽視2的情形， 另外應用均值不等式求最值，要注意取等號的條件。 【例 22】已知拋物線2:2(0)ypx p的焦點與橢圓224

41、205xy的右焦點重合 (）求拋物線的方程； (）動直線l恒過點(0,1)M與拋物線交于A、B不同兩點，與x軸交于C點，請你觀察并判斷：在線段 MA，MB，MC，AB 中，哪三條線段的長總能構成等比數列？說明你的結論并給出證明 【解析】（）橢圓方程為：2215144xy，2251,44ab， 所以21c ，即橢圓的右焦點為（1 , 0）， 因為拋物線的焦點為（2p，0），所以p2，則拋物線的方程為24yx （） 先特殊化： 當直線 MA 過拋物線的焦點 F 時， 此時 F 與 C 重合， 直線 MA 方程為 x+y=1,設點 M,A,C,B是滿足條件依次從上到下排列的點. 由,222,2220

42、44412122yyyyxyyx 由此可得,223,22321xx 即).222,223(),222,223(BA 可得,2)223(,2)223(, 8,2MBMAABMCMF 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 所以，MBMCMA,成等比數列. 猜想：猜想：MBMCMA,成等比數列，證明如下： 依題意，直線l的斜率必然存在 設直線l：1(0)ykxk，則 C（1k，0），21|1|MCkk 由21,4 ,ykxyx 得222(2)10k xkx ， 因為224(2)40kk，所以k1. 用直線的參數方程容易表達 MA、MB 的長，設直線 MA 的參數方程為 ,sin1,costy

43、tx代入拋物線24yx中，整理得. 01)sin4sin2(sin22tt 所以)tan( ,1sin122221kkkttMBMA 所以2MCMBMA,即MBMCMA,成等比數列. 【評析】第(）問中究竟哪三條線段總能構成等比數列，顯然討論的情況不少，但如果能用特殊化計算出線段 MA，MB，MC，AB 的值，便不能得出構成等比數列的三條線段，再給出一般性的證明，問題便解決了。值得注意的是，本題是解析幾何的問題，本來不應該出現在這里，想說的是利用參數方程證明能給問題的順利解答帶來了方便。 四、過關練習四、過關練習 1.（荊州中學 2018 屆高三 5 月模擬）在平面直角坐標系xOy中，以坐標原

44、點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系. 曲線1C的極坐標方程為4sin，M為曲線1C上異于極點的動點， 點P在射線OM上，且, 2 5,OPOM成等比數列 （）求點P的軌跡2C的直角坐標方程； （）已知(0,3)A,B是曲線2C上的一點且橫坐標為2，直線AB與1C交于,D E兩點，試求ADAE的值 【解析】（）設( , )P ，1(, )M ，則由,2 5,OPOM成等比數列，可得20OPOM， 即1=20 ，120= 又1(, )M 滿足14sin，即204sin， sin5，化為直角坐標方程為5y （）依題意可得(2,5)B，故1ABk，即直線AB傾斜角為4， 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上

45、 專心-專注-專業(yè) 直線AB的參數方程為2,223,2xtyt 代入圓的直角坐標方程22(2)4xy，得2230tt，故122tt ，1 230t t ， 122ADAEtt 2.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程是35cos ,45sinxy（為參數），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系. （）求曲線C的極坐標方程； （）設1:6l，2:3l，若12,l l與曲線C分別交于異于原點的,A B兩點，求AOB的面積. 【解析】（）將 C 的參數方程化為普通方程為(x-3)2+(y-4)2=25， 即 x2+y2-6x-8y=0 C 的極坐標方程為sin8cos6 （）把6代入

46、sin8cos6，得3341， )6334(，A 把3代入sin8cos6，得3432， )3343(，B SAOBAOBsin2121)63sin()343)(334(21432512 3. （三明市 2018 屆高三 5 月質量檢查） 在平面直角坐標系xOy中， 直線l的參數方程為13 ,1xtyt (t為參數)在以原點O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為2cos （）求直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程； （）若直線l與曲線C交于,P Q兩點，求POQ 【解析】解法一：（）由13 ,1,xtyt 得l的普通方程為313xy ， 又因為cos ,sin ,xy

47、， 所以l的極坐標方程為cos3sin13 （或2 sin()136 ） 由2cos得22 cos，即222xyx， 所以C的直角坐標方程為2220 xyx 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （）設,P Q的極坐標分別為 1122, ，則12POQ， 由cos3sin13,2cos , 消去得2coscos3sin13 ， 化為cos23sin23，即3sin 262， 因為02，即 72 +666，所以263，或2263， 即12,12,4或12,4,12所以12=6POQ 解法二： （）同解法一 （）曲線C的方程可化為2211xy，表示圓心為1,0C且半徑為 1 的圓6 6 分

48、分 將l的參數方程化為標準形式31,2112xtyt (其中t為參數)，代入C的直角坐標方程為2220 xyx得，22313112 10222ttt， 整理得，20tt，解得0t 或1t 設,P Q對應的參數分別為12,tt ，則121PQtt所以3PCQ， 又因為O是圓C上的點，所以26PCQPOQ。 解法三： （）同解法一 （）曲線C的方程可化為2211xy，表示圓心為1,0C且半徑為 1 的圓 又由得l的普通方程為3130 xy，則點C到直線l的距離為32d ， . 所以22 11PQd，所以PCQ是等邊三角形，所以3PCQ， 又因為O是圓C上的點，所以26PCQPOQ。 4.（寧德市

49、2018 屆高三第二次（5 月）質量檢查）在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線1C的極坐標方程為2(4cos )4r ，曲線2C的參數方程為精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) 43 cos ,3 sinxryr（為參數） （）求曲線1C的直角坐標方程和曲線2C的極坐標方程； （）當r變化時，設1,C2C的交點M的軌跡為3C若過原點O，傾斜角為3的直線l 與曲線3C交于點,A B，求OAOB的值 【解析】解法一：（）由1C ：2(4cos )4r ， 得224 cos4r，即222440 xyxr， 曲線2C化為一般方程為：222(4)3xyr，

50、即2228163xyxr， 化為極坐標方程為：228 cos1630r （）由224 cos4r及228 cos1630r，消去2r，得曲線3C的極坐標方程為 22 cos20()R 將代入曲線3C的極坐標方程，可得220， 故121，1220 ， 故121OAOB （或由220得0) 1)(2(得1, 221， 故211 OAOB。 解法二：（）同解法一； （）由22244xyxr及2228163xyxr，消去2r，得曲線3C的直角坐標方程為 2222xyx 設直線l的參數方程為1,232xtyt（t為參數）， 與2222xyx聯立得2213244ttt ， 即220tt ，故121tt，1 220t t ， 121OAOBtt 精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上 專心-專注-專業(yè) （或由220tt 得，, 0) 1)(2(tt得1, 221tt， 211 OAOB