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專(zhuān)題05 不等式
1．不等關(guān)系
(1)用數(shù)學(xué)符號(hào)“”“”“”“”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，叫做不等式．
(2)不等式的性質(zhì)
①實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系
a>b?；
；
a
b，b>c?；(單向性)
可加性：a>b?a＋c>b＋c；(雙向性)
a>b，c>d?；(單向性)
可乘性：；(單向性)
a>b，c<0?acb>0，c>d>0?；(單向性)
乘方法則：；(單向性)
開(kāi)方法則：a>b>0?(nN，n≥2)．(單向性)
注意：（1）應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號(hào)而另一個(gè)不帶等號(hào)，則等號(hào)無(wú)法傳遞.
（2）可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號(hào).
2．一元二次不等式及其解法
(1)我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱(chēng)為一元二次不等式，有三種形式：
一般式：；
頂點(diǎn)式：；
兩根式：.
(2)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系
判別式
的圖象
一元二次方程的根
有兩相異實(shí)根
有兩相等實(shí)根
沒(méi)有實(shí)數(shù)根
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集
(3)一元二次不等式的解法：
一化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
二判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式．
三求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根．
四寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．
(4) 一元二次不等式恒成立問(wèn)題
①恒成立的充要條件是：且．
②恒成立的充要條件是：且．
③恒成立的充要條件是：且．
④恒成立的充要條件是：且．
⑤恒成立的充要條件是：且或且．
⑥恒成立的充要條件是：且或且．
3．二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題
(1)一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次不等式表示直線某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域，我們把直線畫(huà)成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界.不等式表示的平面區(qū)域包括邊界，把邊界畫(huà)成實(shí)線．能夠通過(guò)取特殊點(diǎn)，由不等式的符號(hào)來(lái)確定不等式表示的平面區(qū)域.通常情況下取，若不等式相應(yīng)的直線過(guò)，則可在坐標(biāo)軸上取或.
(2)簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃
①解不含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：根據(jù)給定的約束條件畫(huà)出相應(yīng)的可行域，考察目標(biāo)函數(shù)的特征，并根據(jù)其幾何意義確定使其取得最值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)求最值.
通常情況下，給定的約束條件多為二元一次不等式組，常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有：型的線性目標(biāo)函數(shù)；型的斜率型目標(biāo)函數(shù)；型的兩點(diǎn)間距離型目標(biāo)函數(shù)等.
②使目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一般是可行域邊界的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入目標(biāo)函數(shù)，可以快捷、準(zhǔn)確地計(jì)算最值，但要注意可行域的邊界是否是實(shí)線.
③解含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題通常有以下兩種類(lèi)型：
i)條件不等式組中含有參數(shù)，此時(shí)不能明確可行域的形狀，因此增加階梯式畫(huà)圖分析的難度.求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要有全局觀，要能夠結(jié)合目標(biāo)函數(shù)取得最值的情況進(jìn)行逆向分析，利用目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所得的直線與約束條件所對(duì)應(yīng)的直線形成交點(diǎn)，求解參數(shù).
ii)目標(biāo)函數(shù)中設(shè)置參數(shù)，旨在增加探索問(wèn)題的動(dòng)態(tài)性和開(kāi)放性.要能夠從目標(biāo)函數(shù)的結(jié)論入手，多圖形的動(dòng)態(tài)分析，對(duì)變化過(guò)程中的相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確定位，以此解決問(wèn)題.
4．利用基本不等式求最值問(wèn)題
(1)基本不等式：，
成立的條件：
①.
②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
(2)利用基本不等式求最值問(wèn)題
①如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，x＋y有最小值是.(簡(jiǎn)記：積定和最小)
②如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，xy有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)
(3)常用的不等式模型：
①基本不等式鏈：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
②若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
一、不等式的性質(zhì)與一元二次不等式
【例1】設(shè)，若1≤≤2,2≤≤4，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】設(shè)=m＋n (m、n為待定系數(shù))，
則4a?2b=m(a?b)＋n(a＋b)，即4a?2b=(m＋n)a＋(n?m)b，
于是得，解得.
∴=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，
即5≤≤10.
【名師點(diǎn)睛】（1）此類(lèi)問(wèn)題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過(guò)“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；（2）求范圍問(wèn)題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量取值范圍．
【例2】已知全集=，集合，則
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，，∴=，
∴，故選D．
【名師點(diǎn)睛】一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)(a≠0，Δ＝b2－4ac>0)，如果a與ax2＋bx＋c同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2＋bx＋c異號(hào)，則其解集在兩根之間．簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間．求解時(shí)注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論.
【例3】不等式的解集是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】不等式移項(xiàng)得：，即，
可化為：或，解得，
則原不等式的解集為.故選B.
【名師點(diǎn)睛】對(duì)于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.
二、線性規(guī)劃
【例4】已知點(diǎn)x,y滿足約束條件,則z=3x+y的最大值與最小值之差為
A．5 B．6
C．7 D．8
【答案】C
【解析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，
作直線并平移知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),z取得最大值；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取得最小值.
由,得,即A(2,3),故zmax=9.
由,得,即B(0,2),故zmin=2,
故z的最大值與最小值之差為7,選C.
【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)需要注意以下幾點(diǎn)：
（1）在可行解中，只有一組(x,y)使目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)，最優(yōu)解只有1個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線不與邊界平行時(shí)，會(huì)在某個(gè)頂點(diǎn)處取得最值.
（2）同時(shí)有多個(gè)可行解取得一樣的最值時(shí)，最優(yōu)解有多個(gè).如邊界為實(shí)線的可行域，目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線與某一邊界線平行時(shí)，會(huì)有多個(gè)最優(yōu)解.
（3）可行域一邊開(kāi)放或邊界線為虛線均可導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)找不到相應(yīng)的最值，此時(shí)也就不存在最優(yōu)解.
（4）形如z=Ax＋By(B≠0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時(shí)取到最值，還要看B的符號(hào)．
【例5】已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?若直線：與區(qū)域D有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，
因?yàn)?，所以直線過(guò)定點(diǎn)（1，），且斜率為，
如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值；
當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，
所以的取值范圍是，故選A.
【名師點(diǎn)睛】求解線性規(guī)劃中含參數(shù)問(wèn)題的基本方法有兩種：
一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；
二是先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀察確定含參的式子所滿足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù).
【例6】已知實(shí)數(shù)滿足約束條件則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】依題意，.
作出約束條件所表示的平面區(qū)域如下圖陰影部分所示（含邊界）.
表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率，
觀察可知，，則，所以，所以，
故的取值范圍為.
【名師點(diǎn)睛】斜率問(wèn)題是線性規(guī)劃延伸變化的一類(lèi)重要問(wèn)題，其本質(zhì)仍然是二元函數(shù)的最值問(wèn)題，不過(guò)是用模型形態(tài)呈現(xiàn)的.因此有必要總結(jié)常見(jiàn)模型或其變形形式.
三、基本不等式
【例7】若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_(kāi)______________．
【答案】
【解析】因?yàn)閤＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)．
故的最小值為．
【名師點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)：
（1）要能夠通過(guò)恒等變形及配湊，使其“和”或“積”為定值；
（2）要注意在正數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用基本不等式，同時(shí)等號(hào)成立的條件要驗(yàn)證.
【例8】若實(shí)數(shù)，且，則的最小值為
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由基本不等式得
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選擇D．
【名師點(diǎn)睛】基本不等式的常用變形
(1)a＋b≥2(a>0，b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
(2)a2＋b2≥2ab，ab≤2(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
(3)＋≥2(a，b同號(hào)且均不為零)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．
(4)a＋≥2(a>0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)，等號(hào)成立；a＋≤－2(a<0)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時(shí)，等號(hào)成立．
1．若a>b>0，cbc B．a(chǎn)c>bd
C．a(chǎn)db>0，所以ad
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