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安徽省馬鞍山市2017—2018學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)業(yè)水平測試 高二數(shù)學(xué)必修②試題 一、選擇題：本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1. 已知直線經(jīng)過點，，則該直線的斜率是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根據(jù)斜率公式，，選D. 2. 在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，兩點關(guān)于平面對稱，豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，點的坐標(biāo)是點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，選A. 3. 直線的斜率為，在y軸上的截距為b，則有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把直線方程化為斜截式：，可知斜率，截距，選A. 4. 已知直線與平面，則下列結(jié)論成立的是 A. 若直線垂直于內(nèi)的兩條直線，則 B. 若直線垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線，則 C. 若直線平行于內(nèi)的一條直線，則 D. 若直線與平面無公共點，則 【答案】D 【解析】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，當(dāng)一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直時，直線與平面垂直，所以A、B錯誤；根據(jù)直線與平面平行的判定定理，平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行時，直線與平面平行，因此C錯誤，直線與平面無公共點，符合直線與平面平行的定義，直線與平面平行，選D. 5. 已知直線和互相平行，則間的距離是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】直線和互相平行，有，則間的距離是，選C. 6. 如圖，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中點，則下列敘述正確的是 A. 與是異面直線 B. 與是共面直線 C. 與是異面直線 D. 與是共面直線 【答案】C 【解析】由于與均在平面內(nèi)，不是異面直線；平面， 平面，點不在直線上，所以和是異面直線，平面， 平面，點不在直線上，則與是異面直線，選C. 【點睛】判斷兩條直線是否為異面直線，第一兩條直線平行或相交，則兩條直線共面，第二若一條直線與一個平面相交于一點，那么這條直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線，這是判斷兩條直線是異面直線的方法，要根據(jù)題目所提供的線線、線面關(guān)系準(zhǔn)確的做出判斷. 7. 已知直線和圓，則直線和圓的位置關(guān)系是 A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 都有可能 【答案】A 【解析】把圓的方程化為，直線方程化為恒過定點，而在圓C的內(nèi)部，則直線和圓相交，選A. 8. 若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比是 A. B. C. D. 【答案】C ......... 9. 設(shè)、是兩個不同的平面，、是兩條不同直線，則下列結(jié)論中錯誤的是 A. 若，，則 B. 若，則 、與所成的角相等 C. 若，，則 D. 若，，，則 【答案】D 【解析】若，，則是正確的，若，則 、與所成的角相等是正確的，若，，則是正確的，若，，，則平面與平面可能相交，也可能平行，命題錯誤的選D. 10. 在矩形中，，，將沿折起后，三棱錐的外接球表面積為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】矩形中，，，將沿折起后，得到三棱錐，由于三棱錐的外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，三棱錐的外接球表面積為.選B. 11. 已知圓（）截直線所得弦長是，則的值為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圓M： ，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，半弦長為，根據(jù)圓的弦長公式可知，，選B. 12. 如圖，在正方體中 ，點在線段上運動，則下列判斷中，正確命題的個數(shù)是 ①三棱錐的體積不變；② ；③；④與所成角的范圍是. A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 個 【答案】B 【解析】在正方體中，三角形的面積為定值，又，可以推出平面，因此點到平面的距離為定值，①三棱錐的體積不變是正確的；，可以推出平面 平面，平面，則 平面，② 是正確的；由于 平面，則③是正確的；當(dāng) 為的中點時，，與所成角的范圍是，④錯誤，選B. 【點睛】涉及到三棱錐的體積為定值問題，要考慮到動點（棱錐的頂點）在直線上，而直線與平面（棱錐的底面）平行，這樣不論動點怎樣移動，棱錐的高都不變，底面積為定值，高為定值，體積就是定值；兩條異面直線所成的角的范圍，首先平移一條直線，找出兩條異面直線所成的角，移動動點觀察特殊點時，異面直線所成的角，就會很容易得出你的角的范圍，很適合做選填題. 二、填空題：每小題4分，共20分．請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置． 13. 兩兩相交的三條直線可確定______個平面. 【答案】1或3 【解析】當(dāng)三條直線交于一點時，可以確定3個平面；當(dāng)三條直線兩兩相交，有三個交點時，可確定1個平面. 兩兩相交的三條直線可確定1個或3個平面. 14. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____． 【答案】 【解析】根據(jù)三視圖恢復(fù)原幾何體為三棱錐，底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為2和1，一條側(cè)棱垂直于底面，高為1，則該幾何體的體積為. 15. 已知圓，則過點且與圓相切的直線方程為_____． 【答案】 【解析】由于點在圓上，所以圓的切線只有1條，設(shè)切線方程為，即：，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑得： 得：，，所求切線方程為：. 16. 如果實數(shù)滿足等式,那么的最小值為__________． 【答案】 【解析】表示圓上一點到原點距離的平方，由于圓心到原點的距離為，圓上一點到原點的距離的最小值為，那么的最小值為. 17. 已知過點的直線交軸正半軸于點，交直線于點，且,則直線在軸上的截距是______________ . 【答案】7 【解析】若直線的斜率不存在，直線，不符合題意要求，可見直線直線的斜率存在，不妨設(shè)斜率為，則直線的方程為，即：，求出，再解出與直線的交點，分別過A、C作軸的垂線，由于，可知， ，解得或（舍），當(dāng)時，直線在軸上的截距是. 【點睛】求直線方程首先要考慮直線的斜率不存在的情形，然后再設(shè)點斜式或斜截式，涉及兩條直線交點問題要解方程組求出交點坐標(biāo)，本題最重要的一點是涉及到線段長度關(guān)系時，有時轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系借助坐標(biāo)關(guān)系解題，有時直接利用比例轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系解題，這是很重要的一種方法. 三、解答題：本大題共5題，共44分．解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)． 18. 直線經(jīng)過直線和直線的交點，且與直線垂直，求直線的方程． 【答案】 【解析】試題分析：直線經(jīng)過兩條直線的交點，所以先聯(lián)立方程組，解出兩條直線的焦點坐標(biāo)，直線與已知直線垂直，根據(jù)垂直斜率存在兩條直線垂直的條件，只需斜率互為負(fù)倒數(shù)，求出所求直線的斜率，最后利用直線方程的點斜式寫出所求直線的方程，化為一般式給出答案. 試題解析： 由得 交點坐標(biāo)為，又直線與直線垂直直線的斜率為3，直線的方程為，即 19. 如圖，在直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，，． （1）求證：平面； （2）求直線和平面所成的角的正切值． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：證明線面垂直，可利用線面垂直的判定定理，證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而說明線面垂直.求線面角首先要尋求平面的垂線，作垂線找垂足，連垂足和斜足得到射影，斜線與射影所成的角為線面角，傳統(tǒng)方法是“先作、再證、后求”，本題也可采用空間向量法去做. 試題解析： （1）平面， ，又 ，， 平面； （2） 平面， 為斜線在平面內(nèi)的射影，為求直線和平面所成的角，在直角三角形中，，， ，直線和平面所成的角的正切值為 【點睛】證明線面垂直，第一可利用線面垂直的判定定理，證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，進(jìn)而說明線面垂直.第二可建立空間直角坐標(biāo)系，寫出向量的坐標(biāo)，借助空間向量解題，利用兩個向量數(shù)量積為零，說明線線垂直，也是很簡單的做法. 求線面角首先要尋求平面的垂線，作垂線找垂足，連垂足和斜足得到射影，斜線與射影所成的角為線面角，傳統(tǒng)方法是“先作、再證、后求”，本題也可建立空間直角坐標(biāo)系采用空間向量法借助法向量去做. 20. 已知圓心在軸上且通過點的圓與直線相切． （1）求圓的方程； （2）已知直線經(jīng)過點，并且被圓C截得的弦長為，求直線l的方程． 【答案】（1）；（2）或 【解析】試題分析：求圓的方程采用待定系數(shù)法，巧用圓心和半徑，由于圓的切線垂直于過切點的半徑，因此圓心到切線的距離就是半徑，盡可能的減元，所設(shè)的參數(shù)越少解方程越簡單，有關(guān)圓的弦長問題，基本都用弦心距，半弦，半徑滿足勾股定理去解決，求直線方程要注意斜率不存在的情況. 試題解析： （1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，解得a＝1，∴，半徑，∴圓的方程為. （2）①當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線被圓截得的弦長為，滿足條件；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由題意得，解得，∴直線的方程為，綜上所述，直線l的方程為或. 【點睛】求圓的方程有兩種設(shè)法，一是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一是圓的一般方程，都是采用待定系數(shù)法，巧用圓心和半徑，由于圓的切線垂直于過切點的半徑，因此圓心到切線的距離就是半徑，盡可能的減元，所設(shè)的參數(shù)越少解方程越簡單，有關(guān)圓的弦長問題，基本都用弦心距，半弦，半徑滿足勾股定理去解決. 21. 如圖，在四棱錐中，底面, ，，，與底面成，是的中點. （1）求證：∥平面； （2）求三棱錐的體積． 【答案】（1）見解析；（2） 【解析】試題分析：證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，本題借助平行四邊形和三角形中位線定理可以得到線線平行，證明面面平行，進(jìn)而得出線面平行；求體積問題最主要利用轉(zhuǎn)化思想，包括平行轉(zhuǎn)化、對稱轉(zhuǎn)化、比例轉(zhuǎn)化，三棱錐求體積還要注意靈活使用棱錐的頂點. 試題解析： （1）證明：取的中點，連接 ∵∥，面，面，∴∥平面，同理∥平面，又∵，∴平面∥平面，又∵平面，∴∥平面. （2）∵與底面成，∴，又∵底面， ∥，，∴底面，， ∴ 【點睛】證明線面平行有兩種思路：第一尋求線線平行，利用線面平行的判定定理.第二尋求面面平行，求體積問題大多出現(xiàn)在文科考題，一般不是直接求出底面和高，大多需要利用轉(zhuǎn)化思想，包括平行轉(zhuǎn)化、對稱轉(zhuǎn)化、比例轉(zhuǎn)化，三棱錐求體積還要注意靈活使用棱錐的頂點. 22. 過點作圓 的切線，為坐標(biāo)原點，切點為，且. （1）求的值； （2）設(shè)是圓上位于第一象限內(nèi)的任意一點，過點作圓的切線，且交軸于點，交y軸于點，設(shè)，求的最小值． 【答案】（1）4；（2）8 【解析】試題分析：首先利用圓的弦長公式，求出圓的半徑；涉及到直線與兩坐標(biāo)軸的交點問題大多采用線方程的截距式，但務(wù)必要檢驗，設(shè)直線方程的截距式，由于直線與圓相切于第一象限，滿足相切條件，且截距均為正，利用均值不等式進(jìn)行“等轉(zhuǎn)不等”，得出向量OQ的模的最小值. 試題解析： （1）圓 的圓心為，于是，由題設(shè)知，是以為直角頂點的直角三角形，故有. （2）設(shè)直線的方程為，即，則，，∴，∴.∵直線與圓相切，∴，∴ ∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取到“＝”，∴取得最小值為8. 【點睛】有關(guān)圓的弦長問題，一般利用圓的弦長公式，利用勾股定理列方程，求出圓的半徑；涉及到直線與兩坐標(biāo)軸的交點問題，特別是直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長和面積問題，大多采用線方程的截距式，但是直線方程的截距式不包括過原點的直線，不包括平行于軸的直線，不包括平行于軸的直線，所以解題時必需檢驗結(jié)果，要多退少補.