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4.數(shù)列、不等式 1．等差數(shù)列及其性質(zhì) (1)等差數(shù)列的判定：an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1 (n≥2)． (2)等差數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)公差d≠0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是關(guān)于n的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d＝n2＋n是關(guān)于n的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0. ②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列． ③當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有am＋an＝2ap. ④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列． ⑤為等差數(shù)列． [問(wèn)題1]　已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30為_(kāi)_______． 答案　15 2．等比數(shù)列及其性質(zhì) (1)等比數(shù)列的判定：＝q(q為常數(shù)，q≠0)或＝(n≥2)． (2)等比數(shù)列的性質(zhì) ①當(dāng)m＋n＝p＋q時(shí)，則有aman＝apaq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時(shí)，則有aman＝a. ②Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(Sk≠0)成等比數(shù)列． [問(wèn)題2]　(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝________. (2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________. 答案　(1)512　(2)10 3．求數(shù)列通項(xiàng)的常見(jiàn)類型及方法 (1)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納、猜想法． (2)如果給出的遞推關(guān)系式符合等差或等比數(shù)列的定義，可直接利用等差或等比數(shù)列的公式寫(xiě)出通項(xiàng)公式． (3)若已知數(shù)列的遞推公式為an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法． (4)數(shù)列的遞推公式為an＋1＝anf(n)，則采用累乘法． (5)已知Sn與an的關(guān)系，利用關(guān)系式an＝ 求an. (6)構(gòu)造轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項(xiàng)公式． [問(wèn)題3]　已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________. 答案　n2n 解析　令x＝2，y＝2n－1，當(dāng)n≥2時(shí)，f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，由此可得＝1＋(n－1)1＝n，即an＝n2n，當(dāng)n＝1時(shí)，滿足a1＝2. 4．?dāng)?shù)列求和的方法 (1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式； (2)分組求和法； (3)倒序相加法； (4)錯(cuò)位相減法； (5)裂項(xiàng)法 如：＝－；＝. (6)并項(xiàng)法 數(shù)列求和時(shí)要明確：項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)，并注意根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選取合適的方法． [問(wèn)題4]　數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，則S21的值為_(kāi)_______． 答案　 5．如何解含參數(shù)的一元二次不等式 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮：①二次項(xiàng)系數(shù)，它決定二次函數(shù)的開(kāi)口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小，也是分大于、等于、小于三種情況．在解一元二次不等式時(shí)，一定要畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，注意數(shù)形結(jié)合． [問(wèn)題5]　解關(guān)于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0 (a>0)． 解　原不等式化為(x－1)<0. ∴當(dāng)01時(shí)，不等式的解集為； 當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?. 6．處理二次不等式恒成立的常用方法 (1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)x的取值為全體實(shí)數(shù)時(shí)，一般應(yīng)用此法． (2)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化最小值大于零． (3)能分離變量的，盡量把參變量和變量分離出來(lái)． (4)數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握?qǐng)D形． [問(wèn)題6]　如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________． 答案　(－1,0] 解析　當(dāng)k＝0時(shí)，原不等式等價(jià)于－2<0，顯然恒成立，所以k＝0符合題意． 當(dāng)k≠0時(shí)，由題意，得 解得－10，即an＋1>an；當(dāng)n＝7時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n>7時(shí)，an＋1－an<0，即an＋1a9>a10…， 所以此數(shù)列的最大項(xiàng)是第7項(xiàng)或第8項(xiàng)． 答案　第7項(xiàng)或第8項(xiàng) 易錯(cuò)點(diǎn)5　裂項(xiàng)法求和搞錯(cuò)剩余項(xiàng) 例5　在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_________． 易錯(cuò)分析　裂項(xiàng)相消后搞錯(cuò)剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和錯(cuò)誤．一般情況下剩余的項(xiàng)是對(duì)稱的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的． 解析　由已知得an＝＋＋…＋ ＝(1＋2＋…＋n)＝， 從而bn＝＝＝4， 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為 Sn＝4 ＝4＝. 答案　 易錯(cuò)點(diǎn)6　線性規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)解判斷錯(cuò)誤 例6　P(x，y)滿足|x|＋|y|≤1，求ax＋y的最大值及最小值． 易錯(cuò)分析　由ax＋y＝t，得y＝－ax＋t，欲求t的最值，要看參數(shù)a的符號(hào)．忽視參數(shù)的符號(hào)變化，易導(dǎo)致最值錯(cuò)誤． 解　P(x，y)滿足的線性區(qū)域如圖所示． ①當(dāng)a<－1時(shí)，直線y＝－ax＋t分別過(guò)點(diǎn)(－1,0)與(1,0)時(shí)，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為－a，a. ②當(dāng)－1≤a≤1時(shí)，直線y＝－ax＋t分別過(guò)(0,1)與(0，－1)時(shí)，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為1，－1. ③當(dāng)a>1時(shí)，直線y＝－ax＋t分別過(guò)點(diǎn)(1,0)與(－1,0)時(shí)，ax＋y取得最大值與最小值，其值分別為a，－a. 易錯(cuò)點(diǎn)7　運(yùn)用基本不等式忽視條件 例7　函數(shù)y＝的最小值為_(kāi)_______． 易錯(cuò)分析　應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值，當(dāng)?shù)忍?hào)成立的條件不成立時(shí)，往往考慮函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)注意函數(shù)的定義域． 解析　y＝＝＝＋ . 設(shè)t＝，則t≥2，所以函數(shù)變?yōu)閒(t)＝t＋(t≥2)．這時(shí)，f(t)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(t)≥f(2)＝，所以函數(shù)y＝的最小值為. 答案　 1．不等式>1的解集是________． 答案　 解析　∵不等式>1， ∴2x2＋x－1<0，即(2x－1)(x＋1)<0， 解得－10，當(dāng)＋取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)a的值是________． 答案　－2 解析　方法一?。剑剑荩? ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a<0，且＝，即a＝－2，b＝4時(shí)取等號(hào)． 方法二　因?yàn)閍＋b＝2，b>0， 所以＋＝＋，a<2. 設(shè)f(a)＝＋，a<2， 則f(a)＝ 當(dāng)a<0時(shí)，f(a)＝－－， 從而f′(a)＝－＝， 故當(dāng)a<－2時(shí)，f′(a)<0；當(dāng)－20， 故f(a)在(－∞，－2)上是減函數(shù)，在(－2,0)上是增函數(shù)， 故當(dāng)a＝－2時(shí)，f(a)取得極小值；同理，當(dāng)0≤a<2時(shí)，函數(shù)f(a)在a＝處取得極小值. 綜上，當(dāng)a＝－2時(shí)，f(a)min＝. 10．若a，b均為正實(shí)數(shù)，且＋≤m恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是________． 答案　 解析　由于a，b均為正實(shí)數(shù)， 且＋≤m， 顯然有m>0，b≥a， 兩邊平方得a＋b－a＋2≤m2b， 即b＋2≤m2b， 于是m2≥1＋2 ， 令＝t(0k的解集為{x|x<－3或x>－2}，求k的值； (2)對(duì)任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范圍． 解　(1)f(x)>k?kx2－2x＋6k<0. 由已知{x|x<－3或x>－2}是其解集， 得kx2－2x＋6k＝0的兩根是－3，－2. 由根與系數(shù)的關(guān)系可知，(－2)＋(－3)＝， 即k＝－. (2)因?yàn)閤>0，f(x)＝＝≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)． 由已知f(x)≤t對(duì)任意x>0恒成立，故t≥， 即t的取值范圍是. 12．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}及{bn}的通項(xiàng)公式； (2)是否存在常數(shù)a>0且a≠1，使得數(shù)列{an－logabn}(n∈N*)是常數(shù)列？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，8a1＝a＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3. 當(dāng)n≥2時(shí)，8Sn－1＝a＋4an－1＋3， an＝Sn－Sn－1＝(a＋4an－a－4an－1)， 從而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. 因?yàn)閧an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an－an－1＝4. 所以，當(dāng)a1＝1時(shí)，an＝4n－3； 當(dāng)a1＝3時(shí)，an＝4n－1. 又因?yàn)楫?dāng)a1＝1時(shí)，a1，a2，a7分別為1,5,25，構(gòu)成等比數(shù)列，所以bn＝5n－1. 當(dāng)a1＝3時(shí)，a1，a2，a7分別為3,7,27，不構(gòu)成等比數(shù)列，舍去． 所以數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式分別為an＝4n－3，bn＝5n－1，n∈N*. (2)存在滿足條件的a，理由如下： 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，從而an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.由題意，得4－loga5＝0，所以a＝.