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寒假訓練09拋物線 [2018哈爾濱聯(lián)考]如圖所示，直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點． （1）若，求點的坐標； （2）求線段的長的最小值． 【答案】（1）或；（2）4． 【解析】由，得，其準線方程為，焦點． 設點，． 如圖，分別過點，作準線的垂線，垂足分別為點，． （1）由拋物線的定義可知，． ∵，∴，∴，∴． ∴點的坐標為或． （2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程為， 由消去，整理得， ∵直線與拋物線相交于，兩點，∴． 設方程的兩根為，，則， 由拋物線的定義可知，． ②當直線的斜率不存在時，則直線的方程為，與拋物線相交于點，，此時．綜上可得， ∴線段的長的最小值為4． 一、選擇題 1．[2018華師附中]拋物線的焦點坐標為（） A． B． C． D． 2．[2018牡丹江一中]如果拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，焦點為，那么拋物線的方程是（） A． B． C． D． 3．[2018牡丹江一中]已知是拋物線的焦點，，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為（） A． B．1 C． D． 4．[2018棗莊八中]設拋物線的焦點為，過點作直線交拋物線于，兩點，若線段的中點到軸的距離為5，則弦的長為（） A．10 B．12 C．14 D．16 5．[2018赤峰二中]如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點、，交其準線于點，若點是的中點，且，則線段的長為（） A．5 B．6 C． D． 6．[2018贛州模擬]已知點為拋物線的焦點，為原點，點是拋物線準線上一動點，點在拋物線上，且，則的最小值為（） A．6 B． C． D． 7．[2018林芝二中]頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是（） A． B． C．或 D．或 8．[2018遂寧期末]設拋物線，過點的直線與拋物線相交于，兩點，為坐標原點，設直線，的斜率分別為，，則（） A． B．2 C． D．不確定 9．[2018遂寧期末]已知拋物線上一動點到其準線與到點的距離之和的最小值為，是拋物線的焦點，是坐標原點，則的內切圓半徑為（） A． B． C． D． 10．[2018荊州期末]已知拋物線的焦點為，準線為，拋物線上有一點，過點作，垂足為，且，若的面積為，則等于（） A． B． C． D． 11．[2018保定期末]已知點是拋物線上一點，，是拋物線上異于的兩點，，在軸上的射影分別為，，若直線與直線的斜率之差為，，，則的面積的最大值為（） A．6 B．8 C．10 D．16 12．[2018金山中學]已知拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于，兩點（在軸上方），延長交拋物線的準線于點，若，， 則拋物線的方程為（） A． B． C． D． 二、填空題 13．[2018烏魯木齊七十中]若點到點的距離比它到直線的距離少1，則動點的軌跡方程是____． 14．[2018銀川一中]已知拋物線的焦點恰好為雙曲線的上焦點，則___． 15．[2018如皋中學]若拋物線上的點到焦點的距離為6，則____． 16．[2018湖南十校期末]已知雙曲線的兩條漸近線分別與拋物線的準線交于，兩點．為坐標原點．若的面積為2，則的值為_______． 三、解答題 17．[2018成都外國語]（1）求與雙曲線有相同的焦點且過點的雙曲線標準方程； （2）求焦點在直線上的拋物線的標準方程． 18．[2018銀川一中]已知點在拋物線上，直線和拋物線交于，兩點，焦點是三角形的重心，是的中點（不在軸上）． （1）求點的坐標； （2）求直線的方程．  寒假訓練09拋物線 一、選擇題 1．【答案】D 【解析】將拋物線方程化為標準方程為，可知，∴焦點坐標為，∴選D． 2．【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點在原點，對稱軸為軸，焦點為， ∴可設拋物線的方程為， ∵，∴，，選C． 3．【答案】C 【解析】設，，則由拋物線定義得， ∵，∴，∴，即線段的中點橫坐標為， 從而線段的中點到軸的距離為，選C． 4．【答案】D 【解析】由拋物線方程可知，， 由線段的中點到軸的距離為得，∴，故選D． 5．【答案】C 【解析】設、在準線上的射影分別為為、，準線與橫軸交于點，則， 由于點是的中點，，∴，∴， 設，則，即，解得， ∴，故選C． 6．【答案】C 【解析】∵，∴，準線方程為， 設，則，即，代入，得， 不妨取，即， 設關于準線的對稱點為，可得， 故，故選C． 7．【答案】C 【解析】∵拋物線的頂點在原點，且過點， ∴設拋物線的標準方程為或， 將點的坐標代入拋物線的標準方程得， ∴，∴此時拋物線的標準方程為； 將點的坐標代入拋物線的標準方程，同理可得， ∴此時拋物線的標準方程為， 綜上可知，頂點在原點，且過點的拋物線的標準方程是或． 故選C． 8．【答案】C 【解析】設的方程為，，， 由，得，， 又，， ∴，故選C． 9．【答案】D 【解析】通過圖像將到準線的距離轉化為到焦點的距離， 到其準線與到點的距離之和的最小值，也即為最小， 當、、三點共線時取最小值，∴，解得， 由內切圓的面積公式，解得．故選D． 10．【答案】B 【解析】如圖所示，根據可知為等邊三角形， 設等邊三角形的邊長為，且的面積為， ∴，解得，∴， ∵，∴．故選B． 11．【答案】B 【解析】∵點是拋物線上一點，∴， ∵直線與直線的斜率之差為，設，， ∴，∴，∴， 因此的面積的最大值為，故選B． 12．【答案】C 【解析】設，設直線的傾斜角為， ∴直線的斜率為，∴， ∴直線的方程為， 聯(lián)立，∴，∴，， ∴，，∴，∴直線方程為， 令，∴，∴，∴，∴， ∴，∴．故選C． 二、填空題 13．【答案】 【解析】點到點的距離比它到直線的距離少1， ∴點到點的距離與到直線的距離相等， ∴其軌跡為拋物線，焦點為，準線為， ∴方程為，故答案為． 14．【答案】8 【解析】拋物線的焦點為，雙曲線的焦點為， ∵，∴，∴，故答案為8． 15．【答案】8 【解析】根據拋物線方程可知準線方程為， ∵拋物線上的點到焦點的距離為6， ∴根據拋物線的定義可知其到準線的距離為6， ∴，∴．故答案為8． 16．【答案】 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程， 又拋物線的準線方程是， 故，兩點的橫坐標坐標分別是， 又的面積為1，∴， ∵，∴得，故答案為． 三、解答題 17．【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）由題得，∴， 設雙曲線的標準方程為，代點的坐標得， 解方程組得，∴． （2）∵焦點在直線上，且拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸， 焦點的坐標為或， 若拋物線以軸對稱式，設方程為，，求得，∴此拋物線方程為； 若拋物線以軸對稱式，設方程為，，求得， ∴此拋物線方程為； 故所求的拋物線的方程為或． 18．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由點在拋物線上，有，解得． ∴拋物線方程為，焦點的坐標為． 是的重心，是的中點， 設點的坐標為，則，∴點的坐標為． （2）由于線段的中點不在軸上，∴所在的直線不垂直于軸． 設所在直線的方程為， 由消得， ∴，由（2）的結論得，解得， 因此BC所在直線的方程為．