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考點(diǎn)規(guī)范練55　幾何概型 一、基礎(chǔ)鞏固 1.若在區(qū)間[-1,4]內(nèi)取一個(gè)數(shù)x,則2x-2x2≥4的概率是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.13 C.25 D.35 答案D 解析因?yàn)?x-2x2≥4, 所以x2-x-2≤0,即-1≤x≤2, 所以所求概率為2-(-1)4-(-1)=35. 2. 若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入到如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A.π2 B.π4 C.π6 D.π8 答案B 解析所求概率為S半圓S長(zhǎng)方形=12π1221=π4,故選B. 3. (2018湖南衡陽(yáng)二模)“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,適與岸齊.問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何?”其意思是:有一個(gè)正方形的池塘,池塘的邊長(zhǎng)為一丈,有一棵蘆葦生長(zhǎng)在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊(如圖所示),問(wèn)水有多深?蘆葦有多長(zhǎng)?其中一丈為十尺.若從該蘆葦上隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自水上的概率為(　　) A.1213 B.113 C.314 D.213 答案B 解析設(shè)水深為x尺,根據(jù)勾股定理可得(x+1)2=x2+52,解得x=12,則水深12尺,蘆葦長(zhǎng)13尺. 根據(jù)幾何概型概率公式可得,從該蘆葦上隨機(jī)取一點(diǎn),該點(diǎn)取自水上的概率為P=113,故選B. 4.某人從甲地去乙地共走了500 m,途經(jīng)一條寬為x m的河流,該人不小心把一件物品丟在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,則能找到,已知該物品能被找到的概率為45,則河寬大約為(　　) A.80 m B.50 m C.40 m D.100 m 答案D 解析由長(zhǎng)度型的幾何概型公式結(jié)合題意可知,河寬大約為5001-45=100(m). 5.已知在△ABC中,∠ABC=60,AB=2,BC=6,在BC上任取一點(diǎn)D,則使△ABD為鈍角三角形的概率為(　　) A.16 B.13 C.12 D.23 答案C 解析如圖,當(dāng)BE=1時(shí),∠AEB為直角,則點(diǎn)D在線段BE(不包含B,E點(diǎn))上時(shí),△ABD為鈍角三角形;當(dāng)BF=4時(shí),∠BAF為直角,則點(diǎn)D在線段CF(不包含C,F點(diǎn))上時(shí),△ABD為鈍角三角形.故△ABD為鈍角三角形的概率為1+26=12. 6.有一個(gè)長(zhǎng)、寬分別為50 m,30 m的游泳池,一名工作人員在池邊巡視,某時(shí)刻出現(xiàn)在池邊任一位置的可能性相同.一人在池中心(對(duì)角線的交點(diǎn))處呼喚工作人員,其聲音可傳出152 m,則工作人員能及時(shí)聽(tīng)到呼喚(出現(xiàn)在聲音可傳到區(qū)域)的概率是(　　) A.34 B.38 C.3π16 D.12+3π32 答案B 解析如圖,工作人員在池邊巡視的長(zhǎng)度為160,工作人員能及時(shí)聽(tīng)到呼喚的長(zhǎng)度為30+30=60,故所求的概率為60160=38. 7.若在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則sinπx4的值介于-12與22之間的概率為(　　) A.14 B.13 C.23 D.56 答案D 解析∵-1≤x≤1,∴-π4≤πx4≤π4. 由-12≤sinπx4≤22, 得-π6≤πx4≤π4, 則-23≤x≤1. 故所求事件的概率為1--231-(-1)=56. 8.記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈D的概率是　　　　　. 答案59 解析由6+x-x2≥0,即x2-x-6≤0得-2≤x≤3,所以D=[-2,3]?[-4,5].由幾何概型的概率公式得x∈D的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案為59. 9.記集合A={(x,y)|x2+y2≤4}和集合B={(x,y)|x+y-2≤0,x≥0,y≥0}表示的平面區(qū)域分別為Ω1和Ω2,若在區(qū)域Ω1內(nèi)任取一點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M落在區(qū)域Ω2的概率為　　　　　. 答案12π 解析作圓O:x2+y2=4,區(qū)域Ω1就是圓O內(nèi)部(含邊界),其面積為4π,區(qū)域Ω2就是圖中△AOB內(nèi)部(含邊界),其面積為2, 因此所求概率為24π=12π. 10.(2018江西教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè))在圓C:(x-3)2+y2=3上任取一點(diǎn)P,則銳角∠COP<π6(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的概率是　　　　　. 答案23 解析當(dāng)∠COP=π6時(shí),直線OP的方程為x3y=0,圓心C到直線OP的距離d=32. 又圓C的半徑為3,此時(shí)弦所對(duì)的圓心角為π3, 所以所求概率P=1-π322π=23. 二、能力提升 11.在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=kx+52與圓x2+y2=1不相交的概率為(　　) A.34 B.23 C.12 D.13 答案C 解析要使直線y=kx+52與圓x2+y2=1相交,應(yīng)滿足52k2+1≥1,解得-12≤k≤12,所以在區(qū)間[-1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)k,使直線y=kx+52與圓x2+y2=1不相交的概率為P=12+121+1=12. 故選C. 12. (2018山西太原二模)如圖,“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(陰影部分)圍成一個(gè)大正方形,中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形.若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),該點(diǎn)落在小正方形的概率為15,則圖中直角三角形較大銳角的正弦值為(　　) A.55 B.255 C.15 D.33 答案B 解析設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為x,1+x,x2+(1+x)2. 由幾何概型可得12x2+(1+x)2=15, 解得x=1(x=-2(舍)), 所以直角三角形的邊長(zhǎng)分別為1,2,5,直角三角形較大銳角的正弦值為25=255,故選B. 13.已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c,其中0≤b≤4,0≤c≤4.記函數(shù)f(x)滿足條件f(2)≤12,f(-2)≤4為事件A,則事件A發(fā)生的概率為 (　　) A.14 B.58 C.12 D.38 答案C 解析由題意,得4+2b+c≤12,4-2b+c≤4,0≤b≤4,0≤c≤4, 即2b+c-8≤0,2b-c≥0,0≤b≤4,0≤c≤4, 表示的區(qū)域如圖陰影部分所示,可知陰影部分的面積為8, 所以所求概率為12,故選C. 14.設(shè)點(diǎn)(a,b)是區(qū)域x+y-4≤0,x>0,y>0內(nèi)的任意一點(diǎn),則使函數(shù)f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內(nèi)是增函數(shù)的概率為　　　　　. 答案13 解析作出不等式組x+y-4≤0,x>0,y>0所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖△AOB區(qū)域, 可知符合條件的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域面積為 S△AOB=1244=8. 若f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內(nèi)是增函數(shù), 則a>0,--2b2a=ba≤12, 即a>0,a-2b≥0.則A(0,4),B(4,0), 由a+b-4=0,a-2b=0 得a=83,b=43. 即C83,43. 則使函數(shù)f(x)=ax2-2bx+3在區(qū)間12,+∞內(nèi)為增函數(shù)的點(diǎn)(a,b)所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椤鱋BC,其面積為12443=83. 故所求的概率為838=13. 15.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90,AB=1,BC=2.在邊BC上任取一點(diǎn)M,則∠AMB≥90的概率為　　　　　. 答案14 解析如圖,在Rt△ABC中,作AD⊥BC,D為垂足,由題意可得BD=12,且點(diǎn)M在BD上時(shí), 滿足∠AMB≥90, 故所求概率為BDBC=122=14. 16.張先生訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人在早上6:30~7:30之間把報(bào)紙送到他家,張先生離開(kāi)家去上班的時(shí)間在早上7:00~8:00之間,則張先生在離開(kāi)家之前能得到報(bào)紙的概率是　　　　　. 答案78 解析以橫坐標(biāo)x表示報(bào)紙送到時(shí)間,縱坐標(biāo)y表示張先生離家時(shí)間,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)落在正方形區(qū)域內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的,所以符合幾何概型. 根據(jù)題意只要點(diǎn)落到陰影部分,就表示張先生在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙,故所求的概率為11-12121211=78. 三、高考預(yù)測(cè) 17.若不等式x2+y2≤2所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,不等式組x-y≥0,x+y≥0,y≥2x-6表示的平面區(qū)域?yàn)镹,現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域N內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域M內(nèi)的概率為　　　　　. 答案π24 解析分別作出平面區(qū)域M和平面區(qū)域N如圖所示, 可知平面區(qū)域M與平面區(qū)域N重疊部分的面積為14π(2)2=π2,平面區(qū)域N的面積為1232+1236=12, 故所求的概率為12π12=π24.