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5.4 解三角形 角化邊、邊化角問題 總綱：條件中同時含有 邊和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，則都化成邊（即“角化邊”），或者都化成角（即“邊化角”）來處理。 第一階： 典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改編）設的內(nèi)角的對邊分別為,若,則= 典例2：（不能直接使用定理） 在中， （1） 已知，判斷的形狀 （2） 已知，判斷的形狀 第二階： 方法指導：含有的齊次式，優(yōu)先考慮使用 正弦定理 ， 角化邊。 例3：（2013年高考天津卷（文））設的內(nèi)角的對邊分別為已知, = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值. 練習3．（2013年高考江西卷（文））設的內(nèi)角的對邊分別為已知 (1) 求證: 成等差數(shù)列; (2) 若=,求的值. 方法指導：含有,,的齊次式，優(yōu)先考慮使用 正弦定理 邊化角。 例4．（2013年高考陜西卷（理））設的內(nèi)角的對邊分別為， 若, 則△ABC的形狀為 (A) 銳角三角形 (B) 直角三角形 (C) 鈍角三角形 (D) 不確定 練習4．（2013年遼寧數(shù)學（理）試題）在,內(nèi)角所對的邊長分別為而且 ,則 A. B. C. D. 方法指導：含有的式子，優(yōu)先考慮 余弦定理 角化邊。 例5.（2011山東理17）在,內(nèi)角所對的邊長分別為，已知． （I）求的值； （II）若，=2，的面積S。 第三階： 方法指導： 代數(shù)變形 或者 三角恒等變形后置 例6：已知，判斷的形狀 練習6：（2011山東理17）在,內(nèi)角所對的邊長分別為，已知． （I）求的值； （II）若，=2，的面積S。 方法指導：代數(shù)變形 或者 三角恒等變形 前置 例7(代數(shù)變形前置)：（2013年高考大綱卷（文））設的內(nèi)角的對邊分別為,. (I)求 (II)若,求 例8（三角恒等變形前置）：（2013年高考四川卷（文））在中,角的對邊分別為,且. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影. 方法指導：含有 面積公式 的問題，要考慮可能結合 余弦定理 使用。 例9：2012年江西卷16.（本小題滿分12分） △在內(nèi)角的對邊分別為，已知 （1）求cosA； （2）若，△ABC的面積為，求、。 方法指導：同時出現(xiàn) 兩個自由角（甚至三個自由角）的時候，要用到 例:10：2011（湖南理17）△在內(nèi)角的對邊分別為,且滿足 （Ⅰ）求角C的大?。? （Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值時角、的大小。（提示：、兩個角可以消掉一個角） 練習10：（2013年新課標Ⅱ卷數(shù)學（理））△在內(nèi)角的對邊分別為,已知. (Ⅰ)求；（提示：使用） (Ⅱ)若,求△面積的最大值.（法1：可以結合余弦定理，使用基本不等式，）（法2：使用消元，化為一元函數(shù)） 參考答案： 典例1： 典例2：（1）等腰三角形 （2）等腰三角形 或 直角三角形 例3 : (1) (2) 練習3： （1），故成等差數(shù)列 （2） 例4： 例5： （2） 例6：等腰三角形 或 直角三角形 練習6： （2） 例7：（1） （2）或 例8 ：（1） （2）投影為 例9：（1） （2）或 例10：（1） （2）最大值為2，此時或 練10：（1） （2）最大值為，此時