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第2講　線性規(guī)劃與基本不等式 [考情考向分析]　1.線性規(guī)劃的要求是A級(jí)，主要考查線性目標(biāo)函數(shù)在給定區(qū)域上的最值.2.基本不等式是江蘇考試說明中的C級(jí)內(nèi)容，高考會(huì)重點(diǎn)考查．主要考查運(yùn)用基本不等式求最值及其在實(shí)際問題中的運(yùn)用，試題難度中檔以上． 熱點(diǎn)一　簡單的線性規(guī)劃問題 例1　(1)(2017全國Ⅰ)設(shè)x，y滿足約束條件則z＝3x－2y的最小值為________． 答案　－5 解析　作出約束條件所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示， 由z＝3x－2y得y＝x－，求z的最小值，即求直線y＝x－在y軸上的截距的最大值，當(dāng)直線y＝x－過圖中點(diǎn)A時(shí)，其在y軸上的截距最大，由解得A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,1)， 此時(shí)z＝3(－1)－21＝－5. (2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足則的取值范圍是________． 答案　 解析　不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是以點(diǎn)(3，－1)，(3,2)和為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，設(shè)z＝，則z表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率，則當(dāng)z＝經(jīng)過(3，－1)時(shí)取得最小值－，經(jīng)過點(diǎn)(3,2)時(shí)取得最大值，故的取值范圍是. 思維升華　線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想．需要注意的是： 畫目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較；一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得． 跟蹤演練1　(1)設(shè)變量x，y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y的最小值為－2，則a＝________. 答案?。? 解析　約束條件對(duì)應(yīng)的可行域是以點(diǎn)(1,1)，(1,3)和(2,2)為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部．當(dāng)a≥－1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線y＝－ax＋z經(jīng)過點(diǎn)(1,1)時(shí)，z取得最小值，則zmin＝a＋1＝－2，即a＝－3(舍去)；當(dāng)a<－1時(shí)，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)所在直線y＝－ax＋z經(jīng)過點(diǎn)(2,2)時(shí)，z取得最小值，則zmin＝2a＋2＝－2，即a＝－2，符合題意，故a＝－2. (2)甲、乙兩種食物的維生素含量如下表： 維生素A(單位/kg) 維生素B(單位/kg) 甲 3 5 乙 4 2 分別取這兩種食物若干并混合，且使混合物中維生素A，B的含量分別不低于100,120單位，則混合物重量的最小值為________ kg. 答案　30 解析　設(shè)甲食物重x kg，乙食物重y kg， ∵維生素A，B的含量分別不低于100,120單位， ∴ 由得 A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直線z＝x＋y， 由圖知，當(dāng)直線過A(20,10)時(shí)，z取最小值為20＋10＝30. 熱點(diǎn)二　利用基本不等式求最值 例2　(1)(2018蘇北六市模擬)已知a，b，c均為正數(shù)，且abc＝4(a＋b)，則a＋b＋c的最小值為________． 答案　8 解析　∵abc＝4(a＋b)， ∴c＝， ∴a＋b＋c＝a＋b＋＝a＋b＋＋≥2＋2＝4＋4＝8.(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立) (2)設(shè)△ABC的BC邊上的高AD＝BC，a，b，c分別表示角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊，則＋的取值范圍是____________________． 答案　 [2，] 解析　因?yàn)锽C邊上的高AD＝BC＝a， 所以S△ABC＝a2＝bcsin A， 所以sin A＝. 又因?yàn)閏os A＝＝， 所以＋＝2cos A＋sin A≤， 同時(shí)＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立)， 所以＋∈[2，]． 思維升華　用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后用基本不等式求出最值．在求條件最值時(shí)，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達(dá)式變形，然后用基本不等式將要求最值的表達(dá)式放縮為一個(gè)定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時(shí)都必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件． 跟蹤演練2　(1)設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則＋的最大值為________． 答案　3 解析　∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(＋)2＝a＋b＋4＋2≤a＋b＋4＋()2＋()2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)，等號(hào)成立，則＋≤3，即＋最大值為3. (2)(2018興化三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ex－e－x＋x3＋3x，若正數(shù)a，b滿足f(2a－1)＋f(b－1)＝0，則＋的最小值為________． 答案　 解析　由題意得f(－x)＝－f(x)，且f(x)為單調(diào)增函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)， 所以f(2a－1)＋f(b－1)＝0，即f(2a－1)＝－f(b－1)， 所以2a－1＝1－b，即 2a＋b＝2， 所以 ＋＝＋b＋ ＝2＋b＋＋－4＝＋. 又＋＝ ＝≥， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)取等號(hào)． 所以＋的最小值為. 熱點(diǎn)三　基本不等式的實(shí)際運(yùn)用 例3　(2018蘇州期末)如圖，長方形材料ABCD中，已知AB＝2，AD＝4.點(diǎn)P為材料ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE＝1，PF＝.現(xiàn)要在長方形材料ABCD中裁剪出四邊形材料AMPN，滿足∠MPN＝150，點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上． (1)設(shè)∠FPN＝θ，試將四邊形材料AMPN的面積表示為θ的函數(shù)，并指明θ的取值范圍； (2)試確定點(diǎn)N在AD上的位置，使得四邊形材料AMPN的面積S最小，并求出其最小值． 解　(1)在Rt△NFP中，因?yàn)镻F＝，∠FPN＝θ， 所以NF＝tan θ， 所以S△NAP＝NAPF＝， 在Rt△MEP中，因?yàn)镻E＝1，∠EPM＝－θ， 所以ME＝tan， 所以S△AMP＝AMPE＝1， 所以S＝S△NAP＋S△AMP ＝tan θ＋tan＋，θ∈. (2)因?yàn)镾＝tan θ＋tan＋ ＝tan θ＋＋， 令t＝1＋tan θ，由θ∈，得t∈， 所以S＝＋＝＋ ≥2＋＝2＋， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝時(shí)，即tan θ＝時(shí)等號(hào)成立， 此時(shí)，AN＝，Smin＝2＋. 答案　當(dāng)AN＝時(shí)，四邊形材料AMPN的面積S最小，最小值為2＋. 思維升華　利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題的方法 (1)解題時(shí)需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型． (2)注意當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解． 跟蹤演練3　一批救災(zāi)物資隨26輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)400 km外的災(zāi)區(qū)，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于2 km，則這批物資全部運(yùn)送到災(zāi)區(qū)最少需____ h. 答案　10 解析　時(shí)間最短，則兩車之間的間距最小，且要安全，則時(shí)間t＝＝＋≥2＝10，當(dāng)且僅當(dāng)v＝80時(shí)等號(hào)成立． 1．(2017江蘇)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是________． 答案　30 解析　一年的總運(yùn)費(fèi)為6＝(萬元)， 一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元， 總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用的和為萬元． 因?yàn)椋?x≥2 ＝240， 當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時(shí)取得等號(hào)， 所以當(dāng)x＝30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最?。? 2．(2018江蘇)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________． 答案　9 解析　方法一　如圖， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△BCD， ∴acsin 120＝c1sin 60＋ a1sin 60， ∴ac＝a＋c，∴＋＝1. ∴4a＋c＝(4a＋c)＝＋＋5≥2＋5＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)． 方法二　如圖，以B為原點(diǎn)，BD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則D(1,0)，A，C. 又A，D，C三點(diǎn)共線， ∴＝，∴ac＝a＋c. 以下同方法一． 3．已知正實(shí)數(shù)x，y滿足向量a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共線，c＝，且a(a－c)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　 解析　由a＝(x＋y,2)，b＝(xy－2,1)共線得 x＋y＝2(xy－2)，則x＋y＋4＝2xy≤， 即(x＋y)2－2(x＋y)－8≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立． 又由x，y是正實(shí)數(shù)，得x＋y≥4. 不等式a(a－c)≥0，即a2≥ac， 所以(x＋y)2＋4≥m(x＋y)＋3， 即(x＋y)2－m(x＋y)＋1≥0，令x＋y＝t，t≥4， 則t2－mt＋1≥0，t∈[4，＋∞)(*)恒成立． 對(duì)于方程t2－mt＋1＝0， 當(dāng)Δ＝m2－4≤0，即－2≤m≤2時(shí)，(*)恒成立； 當(dāng)m<－2時(shí)，相應(yīng)二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對(duì)稱軸t＝<－1，(*)恒成立； 當(dāng)m>2時(shí)，由相應(yīng)二次函數(shù)y＝t2－mt＋1的對(duì)稱軸t＝<4，且16－4m＋1≥0，得21，則函數(shù)y＝2x＋的最小值為________． 答案　5 解析　∵x>1，∴2x－1>0， ∴y＝2x－1＋＋1≥2 ＋1＝5， 當(dāng)且僅當(dāng)2x－1＝，即x＝時(shí)，等號(hào)成立． 4．(2018常州期末)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，則a3的最小值為________． 答案　 解析　因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a2a3a4＝a2＋a3＋a4，所以a－a3＝a2＋a4，則a－a3＝a2＋a4≥2＝2a3，(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝a4，即數(shù)列{an}為正數(shù)常數(shù)列時(shí)取等號(hào))即a3≥0，即a≥3，a3≥，即a3的最小值為. 5．若點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上，則mn的最大值是________． 答案　3 解析　點(diǎn)A(m，n)在第一象限，且在直線＋＝1上， 所以m，n＞0，且＋＝1，所以≤2， ， 所以≤2＝，即mn≤3， 所以mn的最大值為3. 6．設(shè)P是函數(shù)y＝(x＋1)圖象上異于原點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，且該圖象在點(diǎn)P處的切線的傾斜角為θ，則θ的取值范圍是________． 答案　 解析　因?yàn)閥′＝(x＋1)＋＝ ＝＋≥2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝時(shí)“＝”成立． 所以切線的斜率k＝tan θ≥， 又θ∈[0，π)，所以θ∈. 7．已知正數(shù)a，b，滿足＋＝－5，則ab的最小值為________． 答案　36 解析　∵正數(shù)a，b滿足＋＝－5， ∴－5≥2， 化為()2－5－6≥0，解得≥6， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，＋＝－5，即a＝2，b＝18時(shí)取等號(hào)，解得ab≥36. 8．(2018揚(yáng)州期末)已知正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝xy，則＋的最小值為________． 答案　5＋2 解析　正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝xy，＋＝1， ＋＝＋ ， 故得到＋＝＝5＋＋≥5＋2， 等號(hào)成立的條件為1－＝1－，即x＝y(tǒng)＝2. 9．若△ABC的內(nèi)角滿足sin A＋sin B＝2sin C，則cos C的最小值是________． 答案　 解析　由sin A＋sin B＝2sin C， 及正弦定理得a＋b＝2c. 又由余弦定理得cos C＝ ＝＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a2＝時(shí)等號(hào)成立， 故≤cos C<1，故cos C的最小值為. 10．某工廠利用輻射對(duì)食品進(jìn)行滅菌消毒，現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍，并對(duì)宿舍進(jìn)行防輻射處理，建造宿舍的費(fèi)用與宿舍到工廠的距離有關(guān)．若建造宿舍的所有費(fèi)用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系式為p＝(0≤x≤8)，若距離為1 km時(shí)，測(cè)算宿舍建造費(fèi)用為100萬元．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每千米的成本為6萬元．設(shè)f(x)為建造宿舍與修路費(fèi)用之和． (1)求f(x)的表達(dá)式； (2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠(yuǎn)處，可使總費(fèi)用f(x)最小，并求最小值． 解　(1)根據(jù)題意得100＝，所以k＝800， 故f(x)＝＋5＋6x(0≤x≤8)． (2)因?yàn)閒(x)＝＋2(3x＋5)－5≥80－5＝75， 當(dāng)且僅當(dāng)＝2(3x＋5)，即當(dāng)x＝5時(shí)f(x)min＝75. 所以宿舍應(yīng)建在離工廠5 km處，可使總費(fèi)用f(x)最小，最小為75萬元． B組　能力提高 11．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值為________． 答案　4 解析　由題意知， 所以＝＝ ＝＋2≥2＋2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，等號(hào)成立． 12．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，則＋的最小值為________． 答案　10 解析　由f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)可知該二次函數(shù)的圖象開口向上，且函數(shù)的最小值為0， 因此有＝0，從而c＝>0， 所以＋＝＋≥24＋2＝10， 當(dāng)且僅當(dāng)即a＝時(shí)取等號(hào)． 故所求的最小值為10. 13．(2018江蘇如東高級(jí)中學(xué)等五校聯(lián)考)已知a，b，c∈(0，＋∞)，則的最小值為________． 答案　4 解析　a2＋b2＋c2＝＋ ≥ac＋bc， 即ac＋2bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立， 則≥ ≥＝4(經(jīng)驗(yàn)證兩次等號(hào)可同時(shí)取得)， 所以 的最小值為4. 14．已知函數(shù)f(x)＝|x－2|. (1)解不等式f(x)＋f(2x＋1)≥6； (2)已知a＋b＝1(a，b＞0)，且對(duì)于?x∈R，f(x－m)－f(－x)≤＋恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解　(1)f(x)＋f(2x＋1)＝|x－2|＋|2x－1| ＝ 當(dāng)x<時(shí)，由3－3x≥6，解得x≤－1； 當(dāng)≤x≤2時(shí)，x＋1≥6不成立； 當(dāng)x＞2時(shí)，由3x－3≥6，解得x≥3. ∴不等式的解集為(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (2)∵a＋b＝1(a，b＞0)， ∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，b＝時(shí)等號(hào)成立， ∴對(duì)于?x∈R，f(x－m)－f(－x)≤＋恒成立等價(jià)于對(duì)?x∈R，|x－2－m|－|－x－2|≤9， 即[|x－2－m|－|－x－2|]max≤9， ∵|x－2－m|－|－x－2|≤|(x－2－m)－(x＋2)| ＝|－4－m|， ∴－9≤m＋4≤9，∴－13≤m≤5.