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專題09 概率與統(tǒng)計 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】如圖的折線圖是某公司2017年1月至12月份的收入與支出數(shù)據(jù).若從這12個月份中任意選3個月的數(shù)據(jù)進行分析，則這3個月中至少有一個月利潤（利潤=收入-支出）不低于40萬的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)（理)試題】如圖所示，分別以正方形ABCD兩鄰邊AB、AD為直徑向正方形內(nèi)做兩個半圓，交于點O．若向正方形內(nèi)投擲一顆質(zhì)地均勻的小球(小球落到每點的可能性均相同)，則該球落在陰影部分的概率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】法一：設(shè)正方形的邊長為2.則這兩個半圓的并集所在區(qū)域的面積為，所以該質(zhì)點落入這兩個半圓的并集所在區(qū)城內(nèi)的概率為.故選C. 法二：設(shè)正方形的邊長為2.過O作OF垂直于AB，OE垂直于AD.則這兩個半圓的并集所在區(qū)域的面積為，所以該質(zhì)點落入這兩個半圓的并集所在區(qū)域的概率為，故選C. 【解析】分析：畫正態(tài)曲線圖，由對稱性得圖象關(guān)于對稱，且，結(jié)合題意得到的值. 詳解： 隨機變量服從正態(tài)分布， 曲線關(guān)于對稱，且， 由，可知，故選B. 7. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】若,,，的平均數(shù)為3，方差為4,且,，則新數(shù)據(jù), 的平均數(shù)和標準差分別為（ ） A．-4 -4 B．-4 16 C．2 8 D．-2 4 【答案】D 8. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】如圖所示的5個數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯誤的是（ ） A．相關(guān)系數(shù)變大 B．殘差平和變大 C．變大 D．解釋變量與預(yù)報變量的相關(guān)性變強 【答案】B 9. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十六?！恳阎S機變量服從正態(tài)分布，且，，等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 隨機變量服從正態(tài)分布， 曲線關(guān)于對稱，且， 由，可知，故選B. 12. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】某地某所高中2018年的高考考生人數(shù)是2015年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W(xué)情況，統(tǒng)計了該校2015年和2018年的高考情況，得到如下柱狀圖： 2015年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計 2018年高考數(shù)據(jù)統(tǒng)計 則下列結(jié)論正確的是 A．與2015年相比，2018年一本達線人數(shù)減少 B．與2015年相比，2018年二本達線人數(shù)增加了0.5倍 C．與2015年相比，2018年藝體達線人數(shù)相同 D．與2015年相比，2018年不上線的人數(shù)有所增加 【答案】D 13. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 14. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】如圖1為某省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)量統(tǒng)計圖，圖2是該省2018年1~4月快遞業(yè)務(wù)收入統(tǒng)計圖，下列對統(tǒng)計圖理解錯誤的是（ ） A．2018年1~4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低，差值接近2000萬件 B．2018年1~4月的業(yè)務(wù)量同比增長率均超過50%，在3月底最高 C．從兩圖來看，2018年1~4月中的同一個月的快遞業(yè)務(wù)量與收入的同比增長率并不完全一致 D．從1~4月來看，該省在2018年快遞業(yè)務(wù)收入同比增長率逐月增長 【答案】D 【解析】對于選項A： 2018年1～4月的業(yè)務(wù)量，3月最高，2月最低， 差值為，接近2000萬件，所以A是正確的； 對于選項B： 2018年1～4月的業(yè)務(wù)量同比增長率分別為，均超過，在3月最高，所以B是正確的； 對于選項C：2月份業(yè)務(wù)量同比增長率為53%，而收入的同比增長率為30%，所以C是正確的； 對于選項D，1，2，3，4月收入的同比增長率分別為55%，30%，60%，42%，并不是逐月增長，D錯誤. 本題選擇D選項. 15. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】用0與1兩個數(shù)字隨機填入如圖所示的5個格子里，每個格子填一個數(shù)字，并且從左到右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總是1的個數(shù)不少于0的個數(shù)，則這樣填法的概率為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 二、填空題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】若從區(qū)間（為自然對數(shù)的底數(shù)，）內(nèi)隨機選取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)之積不小于的概率為_____________． 【答案】2 【解析】設(shè)，由，得，所以所求概率． 比較兩個納稅方案可知，按調(diào)整后起征點應(yīng)納個稅少交220元， 即個人的實際收入增加了220元，所以小李的實際收入增加了220元。 3. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】為了解學(xué)生寒假期間學(xué)習(xí)情況，學(xué)校對某班男、女學(xué)生學(xué)習(xí)時間進行調(diào)查，學(xué)習(xí)時間按整小時統(tǒng)計，調(diào)查結(jié)果繪成折線圖如下： （1）已知該校有名學(xué)生，試估計全校學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)不足小時的人數(shù). （2）若從學(xué)習(xí)時間不少于小時的學(xué)生中選取人，設(shè)選到的男生人數(shù)為，求隨機變量的分布列. （3）試比較男生學(xué)習(xí)時間的方差與女生學(xué)習(xí)時間方差的大小.（只需寫出結(jié)論） 【答案】(1)240人(2)見解析（3） ； ； . 所以隨機變量的分布列為 ∴均值 . （3）由折線圖可得. 絡(luò)訂餐成為大家更加青睞的消費選擇.近年來,網(wǎng)絡(luò)訂餐市場規(guī)模的“井噴式”增長，也充分反映了人們消費方式的變化. 全國方便面銷量情況（單位“億包/桶）（數(shù)據(jù)來源：世界方便面協(xié)會） 年份 時間代號 年銷量（億包/桶） (1)根據(jù)上表，求關(guān)于的線性回歸方程.用所求回歸方程預(yù)測2017 年()方便面在中國的年銷量； (2)方便面銷量遭遇滑鐵盧受到哪些因素影響? 中國的消費業(yè)態(tài)發(fā)生了怎樣的轉(zhuǎn)變? 某媒體記者隨機對身邊的位朋友做了一次調(diào)查,其中位受訪者表示超過年未吃過方便面,位受訪者認為方便面是健康食品；而位受訪者有過網(wǎng)絡(luò)訂餐的經(jīng)歷，現(xiàn)從這人中抽取人進行深度訪談，記表示隨機抽取的人認為方便面是健康食品的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考公式：回歸方程：，其中，. 參考數(shù)據(jù)：. 【答案】(1)356;(2)見解析. （2）依題意，人中認為方便面是健康食品的有人，的可能值為，，，， 所以；；；， . 5. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】在測試中,客觀題難題的計算公式為,其中為第題的難度，為答對該題的人數(shù)，為參加測試的總?cè)藬?shù).現(xiàn)對某校高三年級120名學(xué)生進行一次測試，共5道客觀題.測試前根據(jù)對學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示： 題號 1 2 3 4 5 考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 測試后，從中隨機抽取了10名學(xué)生，將他們編號后統(tǒng)計各題的作答情況，如下表所示(“√”表示答對,“”表示答錯)： 學(xué)生 編號 題號 1 2 3 4 5 1 √ √ √ √ 2 √ √ √ √ 3 √ √ √ √ 4 √ √ √ 5 √ √ √ √ √ 6 √ √ 7 √ √ √ 8 √ 9 √ √ 10 √ √ √ √ （1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實測的答對人數(shù)及相應(yīng)的實測難度填入下表，并估計這120名學(xué)生中第5題的實測答對人數(shù)； 題號 1 2 3 4 5 實測答對人數(shù) 實測難度 （2）從編號為1到5的5人中隨機抽取2人，求恰好有1人答對第5題的概率； （3）定義統(tǒng)計量，其中為第題的實測難度，為第題的預(yù)估難度().規(guī)定：若，則稱該次測試的難度預(yù)估合理，否則為不合理.判斷本次測試的難度預(yù)估是否合理. 【答案】(1)見解析;(2);(3)見解析. 若選擇方案二，設(shè)摸到紅球的個數(shù)為，付款金額為，則，由已知可得，故，所以（元）. 因為，所以該顧客選擇第一種抽獎方案更合算. 7. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）. （Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限； （Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤. 【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）元. （Ⅱ）購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份， 購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份， 購買類產(chǎn)品的份數(shù)為份， 企業(yè)支付的總保費為元， 保險公司在這宗交易中的期望利潤為元. 絡(luò)訂餐成為大家更加青睞的消費選擇.近年來,網(wǎng)絡(luò)訂餐市場規(guī)模的“井噴式”增長，也充分反映了人們消費方式的變化. 全國方便面銷量情況（單位“億包/桶）（數(shù)據(jù)來源：世界方便面協(xié)會） 年份 時間代號 年銷量（億包/桶） (1)根據(jù)上表，求關(guān)于的線性回歸方程.用所求回歸方程預(yù)測2017 年()方便面在中國的年銷量； (2)方便面銷量遭遇滑鐵盧受到哪些因素影響? 中國的消費業(yè)態(tài)發(fā)生了怎樣的轉(zhuǎn)變? 某媒體記者隨機對身邊的位朋友做了一次調(diào)查,其中位受訪者表示超過年未吃過方便面,位受訪者認為方便面是健康食品；而位受訪者有過網(wǎng)絡(luò)訂餐的經(jīng)歷，現(xiàn)從這人中抽取人進行深度訪談，記表示隨機抽取的人認為方便面是健康食品的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望. 參考公式：回歸方程：，其中，. 參考數(shù)據(jù)：. 【答案】(1)356;(2)見解析. （2）依題意，人中認為方便面是健康食品的有人，的可能值為，，，， 所以；；；， . 9. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】某校為緩解高三學(xué)生的高考壓力，經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓(xùn)練活動，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后從該年級名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生進行測試，并將其成績分為、、、、五個等級，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示（視頻率為概率），根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，回答下列問題： （1）試估算該校高三年級學(xué)生獲得成績?yōu)榈娜藬?shù)； （2）若等級、、、、分別對應(yīng)分、分、分、分、分，學(xué)校要求平均分達分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”，請問該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)？ （3）為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點，現(xiàn)從、兩種級別中，用分層抽樣的方法抽取個學(xué)生樣本，再從中任意選取個學(xué)生樣本分析，求這個樣本為級的個數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1) 等級為的概率為,成績?yōu)榈娜藬?shù)約有;(2)見解析；（3）見解析. （2）這100名學(xué)生成績的平均分為， 因為，所以該校高三年級目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過關(guān). （3）由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學(xué)生樣本，其中級4個，級7個，從而任意選取3個，這3個為級的個數(shù)的可能值為0，1，2，3. 則，， ，. 因此可得的分布列為： 則. 10. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】某中學(xué)為了解高一年級學(xué)生身高發(fā)育情況，對全校名高一年級學(xué)生按性別進行分層抽樣檢查，測得身高（單位：）頻數(shù)分布表如表、表. 表：男生身高頻數(shù)分布表 身高/ 頻數(shù) 表：女生身高頻數(shù)分布表 身高/ 頻數(shù) （1）求該校高一女生的人數(shù)； （2）估計該校學(xué)生身高在的概率； （3）以樣本頻率為概率，現(xiàn)從高一年級的男生和女生中分別選出人，設(shè)表示身高在學(xué)生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【答案】(1) (2) （3）見解析 （2）由表和表可得樣本中男女身高在的人數(shù)為，樣本容量為. 所以樣本中該校學(xué)生身高在的概率為. 因此，可估計該校學(xué)生身高在的概率為. （3）由題意可得的可能取值為， 由表格可知，身高在的概率為，男生身高在的概率為. 所以， 所以的分布列為： 所以. 11. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】某高校為了對2018年錄取的大一理工科新生有針對性地進行教學(xué)，從大一理工科新生中隨機抽取40名，對他們2018年高考的數(shù)學(xué)分數(shù)進行分析，研究發(fā)現(xiàn)這40名新生的數(shù)學(xué)分數(shù)在內(nèi)，且其頻率滿足（其中，）. （1）求的值； （2）請畫出這20名新生高考數(shù)學(xué)分數(shù)的頻率分布直方圖，并估計這40名新生的高考數(shù)學(xué)分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）； （3）將此樣本的頻率估計為總體的概率，隨機調(diào)查4名該校的大一理工科新生，記調(diào)查的4名大一理工科新生中“高考數(shù)學(xué)分數(shù)不低于130分”的人數(shù)為隨機變量，求的數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）;(2)120;(3)見解析. （2）由（1），得，頻率分布直方圖如圖： 這40名新生的高考數(shù)學(xué)分數(shù)的平均數(shù)為. （3）由題意可知，，且“高考數(shù)學(xué)分數(shù)不低于130分”的概率為，所以～ 所以. 12. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的朋友圈內(nèi)銷售商品的人（被稱為微商）.為子調(diào)查每天微信用戶使用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性使用微信的時間分成5組：，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖. （1）根據(jù)女性頻率分布直方圖估計女性使用微信的平均時間； （2）若每天再微信超過4個小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，請你根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“微信控”與“性別有關(guān)”？ 【答案】（1）4.76；（2）有90%的把握認為“微信控”與“性別”有關(guān) (2)2(0.04＋a＋0.14＋20.12)＝1，解得a＝0.08. 由題設(shè)條件得列聯(lián)表： 性別 微信控 非微信控 總計 男性 38 12 50 女性 30 20 50 總計 68 32 100 所以K2＝＝ ≈2.941＞2.706. 所以有90%的把握認為“微信控”與“性別”有關(guān)．