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考點(diǎn)規(guī)范練43　圓的方程 一、基礎(chǔ)鞏固 1.圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 答案D 解析由題意可得圓的半徑r=(1-0)2+(1-0)2=2,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. 2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y-12)2=122,則x2+y2的最小值為(　　) A.2 B.1 C.3 D.2 答案B 解析設(shè)P(x,y),則點(diǎn)P在圓(x+5)2+(y-12)2=122上,則圓心C(-5,12),半徑r=12,x2+y2=[(x-0)2+(y-0)2]2=|OP|2, 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值為1. 3.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,3),C(2,3),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為(　　) A.53 B.213 C.253 D.43 答案B 解析由題意知,△ABC外接圓的圓心是直線x=1與線段AB垂直平分線的交點(diǎn)P,而線段AB垂直平分線的方程為y-32=33x-12,它與x=1聯(lián)立得圓心P坐標(biāo)為1,233, 則|OP|=12+2332=213. 4.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 (　　) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 答案A 解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0,y0),PQ的中點(diǎn)為M(x,y),則x=4+x02,y=-2+y02,解得x0=2x-4,y0=2y+2. 因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓x2+y2=4上,所以x02+y02=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)得(x-2)2+(y+1)2=1. 5.已知直線l:x+my+4=0,若曲線x2+y2+2x-6y+1=0上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,則m的值為(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 答案D 解析曲線x2+y2+2x-6y+1=0是圓(x+1)2+(y-3)2=9,若圓(x+1)2+(y-3)2=9上存在兩點(diǎn)P,Q關(guān)于直線l對(duì)稱,則直線l:x+my+4=0過(guò)圓心(-1,3),所以-1+3m+4=0, 解得m=-1,故選D. 6. 如圖,已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(B在A的上方),且|AB|=2. (1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　　　　　; (2)圓C在點(diǎn)B處的切線在x軸上的截距為　　　　　. 答案 (1)(x-1)2+(y-2)2=2　(2)-1-2 解析 (1)由題意可設(shè)圓心C坐標(biāo)為(1,b),取AB中點(diǎn)為P,連接CP,CB, 則△BPC為直角三角形, 得|BC|=r=2=b,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=2. (2)由(1)得,C(1,2),B(0,2+1),則kBC=-1. 圓C在點(diǎn)B處的切線方程為y=x+2+1,令y=0, 得x=-2-1,即切線在x軸上的截距為-1-2. 7.當(dāng)方程x2+y2+kx+2y+k2=0k2<43所表示的圓的面積取最大值時(shí),直線y=(k-1)x+2的傾斜角α=　　　　　. 答案3π4 解析由題意知,圓的半徑r=12k2+4-4k2=124-3k2≤1k2<43. 當(dāng)半徑r取最大值時(shí),圓的面積最大,此時(shí)k=0,r=1,所以直線方程為y=-x+2,則有tanα=-1,又α∈[0,π),故α=3π4. 8.已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,5)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為455,則圓C的方程為　　　　　　　　　　　　. 答案(x-2)2+y2=9 解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,0)(a>0),則|2a|5=455,即a=2. 又點(diǎn)M(0,5)在圓C上,則圓C的半徑r=22+5=3. 故圓C的方程為(x-2)2+y2=9. 9.已知圓C的圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點(diǎn)P(3,-2),求圓C的方程. 解(方法一)如圖,設(shè)圓心C(x0,-4x0),依題意得4x0-23-x0=1,則x0=1, 即圓心C的坐標(biāo)為(1,-4),半徑r=22, 故圓C的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. (方法二)設(shè)所求圓C的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2, 根據(jù)已知條件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r, 解得x0=1,y0=-4,r=22. 因此所求圓C的方程為(x-1)2+(y+4)2=8. 10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為22,在y軸上截得線段長(zhǎng)為23. (1)求圓心P的軌跡方程; (2)若點(diǎn)P到直線y=x的距離為22,求圓P的方程. 解(1)設(shè)P(x,y),圓P的半徑為r. 由題設(shè)y2+2=r2,x2+3=r2,從而y2+2=x2+3. 故P點(diǎn)的軌跡方程為y2-x2=1. (2)設(shè)P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22. 又P在雙曲線y2-x2=1上,從而得|x0-y0|=1,y02-x02=1. 由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此時(shí),圓P的半徑r=3. 由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.此時(shí),圓P的半徑r=3. 故圓P的方程為x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3. 二、能力提升 11.(2018北京朝陽(yáng)期末)阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)P與A,B距離之比為2,當(dāng)P,A,B不共線時(shí),△PAB面積的最大值是(　　) A.22 B.2 C.223 D.23 答案A 解析如圖,以經(jīng)過(guò)A,B的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),設(shè)P(x,y), ∵|PA||PB|=2,∴(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2, 兩邊平方并整理得x2+y2-6x+1=0?(x-3)2+y2=8,ymax=22,△PAB面積的最大值是12222=22,故選A. 12.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是　　　　　,半徑是　　　　　. 答案(-2,-4)　5 解析由題意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.當(dāng)a=-1時(shí),方程為x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圓心為(-2,-4),半徑為5;當(dāng)a=2時(shí),方程為4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x+122+(y+1)2=-54不表示圓. 13.已知圓M與y軸相切,圓心在直線y=12x上,并且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為23,則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　　　. 答案(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 解析設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2, 由題意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2, 所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4. 14.在以O(shè)為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(4,-3)為△OAB的直角頂點(diǎn),已知|AB|=2|OA|,且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大于0. (1)求AB的坐標(biāo); (2)求圓x2-6x+y2+2y=0關(guān)于直線OB對(duì)稱的圓的方程. 解(1)設(shè)AB=(x,y),由|AB|=2|OA|,ABOA=0, 得x2+y2=100,4x-3y=0,解得x=6,y=8或x=-6,y=-8. 若AB=(-6,-8),則yB=-11與yB>0矛盾. ∴x=-6,y=-8舍去,即AB=(6,8). (2)圓x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=(10)2,其圓心為C(3,-1),半徑r=10. ∵OB=OA+AB=(4,-3)+(6,8)=(10,5), ∴直線OB的方程為y=12x. 設(shè)圓心C(3,-1)關(guān)于直線y=12x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,b), 則b+1a-3=-2,b-12=12a+32,解得a=1,b=3, 故所求的圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=10. 三、高考預(yù)測(cè) 15.已知平面區(qū)域x≥0,y≥0,x+2y-4≤0恰好被面積最小的圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其內(nèi)部所覆蓋,則圓C的方程為　　　　　　　　　　　　　　　. 答案(x-2)2+(y-1)2=5 解析由題意知,此平面區(qū)域表示的是以O(shè)(0,0),P(4,0),Q(0,2)所構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,所以覆蓋它且面積最小的圓是其外接圓. 因?yàn)椤鱋PQ為直角三角形, 所以圓心為斜邊PQ的中點(diǎn)(2,1), 半徑r=|PQ|2=5, 所以圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.