2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.1 第1課時 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 蘇教版必修5.docx
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第1課時 數(shù)列的概念與簡單表示法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解數(shù)列及其有關(guān)概念.2.理解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項.3.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式． 知識點(diǎn)一 數(shù)列及其有關(guān)概念 思考1 數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是同一個數(shù)列嗎？ 答案 不是．順序不一樣． 思考2 數(shù)列的記法和集合有些相似，那么數(shù)列與集合的區(qū)別是什么？ 答案 數(shù)列中的數(shù)講究順序，集合中的元素具有無序性；數(shù)列中可以出現(xiàn)相同的數(shù)，集合中的元素具有互異性． 梳理 (1)按照一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．?dāng)?shù)列中的每一項都和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(通常也叫做首項)，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，…，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項． (2) 數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡記為{an}． 知識點(diǎn)二 通項公式 思考 數(shù)列1,2,3,4，…的第100項是多少？你是如何猜的？ 答案 100.由前四項與它們的序號相同，猜第n項an＝n，從而第100項應(yīng)為100. 梳理 如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式． 知識點(diǎn)三 數(shù)列的分類 思考 對數(shù)列進(jìn)行分類，可以用什么樣的分類標(biāo)準(zhǔn)？ 答案 (1)可以按項數(shù)分類；(2)可以按項的大小變化分類． 梳理 (1)按項數(shù)分類，項數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列，項數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列． (2)按項的大小變化分類，從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)列；從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列． 1．同一個數(shù)在一個數(shù)列中只能出現(xiàn)一次．() 2．如果一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，則一定是遞減數(shù)列．() 3．如果已知數(shù)列的通項公式，則可以寫出該數(shù)列的任意一項．(√) 類型一 數(shù)列的分類 例1 下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是______．(填序號) ①1，，，，…； ②－1，－2，－3，－4，…； ③－1，－，－，－，…； ④1，，，…，. 考點(diǎn) 數(shù)列的分類 題點(diǎn) 數(shù)列的分類 答案?、? 解析?、佗谑沁f減數(shù)列，④是有窮數(shù)列，只有③符合題意． 反思與感悟 處理數(shù)列分類問題的技巧： (1)有窮數(shù)列與無窮數(shù)列 判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需觀察數(shù)列是有限項還是無限項．若數(shù)列含有限項，則是有窮數(shù)列，否則為無窮數(shù)列． (2)遞增數(shù)列與遞減數(shù)列 ①觀察從第2項起，數(shù)列中每一項與前一項的大小關(guān)系，依據(jù)定義進(jìn)行判斷； ②由數(shù)列的圖象可知，只要這些點(diǎn)每個比它前面相鄰的一個高(低)，則圖象呈上升(下降)趨勢，即數(shù)列遞增(減)． 跟蹤訓(xùn)練1 下列數(shù)列哪些是有窮數(shù)列？哪些是遞增數(shù)列？哪些是遞減數(shù)列？哪些是擺動數(shù)列？哪些是常數(shù)列？ (1)2010,2012,2014,2016,2018； (2)0，，，…，，…； (3)1，，，…，，…； (4)－，，－，，…； (5)1,0，－1，…，sin，…； (6)9,9,9,9,9,9. 考點(diǎn) 數(shù)列的分類 題點(diǎn) 數(shù)列的分類 答案 (1)(6)是有窮數(shù)列；(1)(2)是遞增數(shù)列；(3)是遞減數(shù)列；(4)(5)是擺動數(shù)列；(6)是常數(shù)列． 類型二 由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式 例2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)1，－，，－； (2)，2，，8； (3)9,99,999,9999；(4)2,0,2,0. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 解 (1)這個數(shù)列的前4項的絕對值都是序號的倒數(shù)，并且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)， 所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*. (2)數(shù)列的項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察：，，，，…， 所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*. (3)各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000，…，此數(shù)列的通項公式為10n，可得原數(shù)列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*. (4)這個數(shù)列的前4項構(gòu)成一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項是2，偶數(shù)項是0，所以，它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1＋1，n∈N*. 反思與感悟 要由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式，只需觀察分析數(shù)列中項的構(gòu)成規(guī)律，看哪些部分不隨序號的變化而變化，哪些部分隨序號的變化而變化，確定變化部分隨序號變化的規(guī)律，繼而將an表示為n的函數(shù)關(guān)系． 跟蹤訓(xùn)練2 寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)－，，－，； (2)，，，； (3)7,77,777,7777. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 解 (1)這個數(shù)列前4項的分母都是序號數(shù)乘以比序號數(shù)大1的數(shù)，并且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正， 所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*. (2)這個數(shù)列的前4項的分母都是比序號大1的數(shù)，分子都是比序號大1的數(shù)的平方減1， 所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*. (3)這個數(shù)列的前4項可以變?yōu)?，99，999，9999， 即(10－1)，(100－1)，(1000－1)， (10000－1)， 即(10－1)，(102－1)，(103－1)， (104－1)， 所以它的一個通項公式為an＝(10n－1)，n∈N*. 類型三 數(shù)列的通項公式的應(yīng)用 例3 已知數(shù)列{an}的通項公式an＝， n∈N*. (1)寫出它的第10項； (2)判斷是不是該數(shù)列中的項． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項 解 (1)a10＝＝. (2)令＝，化簡得8n2－33n－35＝0， 解得n＝5. 當(dāng)n＝5時，a5＝－≠. 所以不是該數(shù)列中的項． 引申探究 對于例3中的{an}． (1)求an＋1；(2)求a2n. 解 (1)an＋1＝＝. (2)a2n＝＝. 反思與感悟 在通項公式an＝f(n)中，an相當(dāng)于y，n相當(dāng)于x.求數(shù)列的某一項，相當(dāng)于已知x求y，判斷某數(shù)是不是該數(shù)列的項，相當(dāng)于已知y求x，若求出的x是正整數(shù)，則y是該數(shù)列的項，否則不是． 跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n∈N*)，那么是這個數(shù)列的第___項． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 10 解析 ∵＝，∴n(n＋2)＝1012，∴n＝10. 1．下列敘述正確的是________．(填序號) ①數(shù)列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數(shù)列； ②數(shù)列0,1,2,3，…可以表示為{n}； ③數(shù)列0,1,0,1，…是常數(shù)列； ④數(shù)列是遞增數(shù)列． 考點(diǎn) 數(shù)列的概念 題點(diǎn) 數(shù)列的概念的理解 答案?、? 解析 由數(shù)列的通項an＝知， an＋1－an＝－＝>0， 即數(shù)列是遞增數(shù)列． 2．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個通項公式為____________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 答案 an＝n＋1，n∈N* 解析 這個數(shù)列的前4項都比序號大1，所以，它的一個通項公式為an＝n＋1，n∈N*. 3．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，n∈N*，則a1＝________；an＋1＝________. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 1 解析 a1＝＝1， an＋1＝＝. 4．寫出數(shù)列：1，－3，5，－7，9，…的通項公式． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 解 該數(shù)列的通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)，n∈N*. 1．與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項也有三個性質(zhì)： (1)確定性：一個數(shù)在不在數(shù)列中，即一個數(shù)是不是數(shù)列中的項是確定的． (2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)． (3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且也與這些數(shù)的排列次序有關(guān)． 2．并非所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式．例如，π的不同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列3,3.1，3.14，3.141，…，它沒有通項公式．根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細(xì)觀察分析，抓住其幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征．并對此進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、歸納． 3．如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種形式． 一、填空題 1．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，n∈N*，則該數(shù)列的前4項依次為__________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 1,0,1,0 解析 當(dāng)n分別等于1,2,3,4時，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0. 2．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第________項． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 7 解析 解n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)． 3．觀察數(shù)列的特點(diǎn)，用一個適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：1，，，，________，，…. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知數(shù)列的前幾項求項或項數(shù) 答案 3 解析 由于數(shù)列的前幾項中根號下的數(shù)都是由小到大的奇數(shù)，所以需要填空的數(shù)為＝3. 4．?dāng)?shù)列，，，，…的第10項是________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知數(shù)列的前幾項求項或項數(shù) 答案 解析 由數(shù)列的前4項可知，數(shù)列的一個通項公式為 an＝，n∈N*， 當(dāng)n＝10時，a10＝＝. 5．?dāng)?shù)列－1，，－，，…的一個通項公式是________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 答案 an＝(－1)n 解析 數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，分母可調(diào)整為3,5,7,9，可表示為2n＋1，分子可調(diào)整為13,24,35,46，…，故其通項公式是an＝(－1)n. 6．如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(簡稱ICME－7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，記OA1，OA2，…，OAn，…的長度構(gòu)成數(shù)列{an}，則此數(shù)列的通項公式為______________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)圖形寫出通項公式 答案 an＝，n∈N* 解析 ∵OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， ∴a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝. 7．323是數(shù)列{n(n＋2)}的第________項． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 17 解析 由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(負(fù)值舍去)． ∴323是數(shù)列{n(n＋2)}的第17項． 8．?dāng)?shù)列0.3,0.33,0.333,0.3333，…的一個通項公式an＝________. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 答案 9．已知數(shù)列，，，，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中是該數(shù)列中某一項值的數(shù)應(yīng)當(dāng)有________個． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項 答案 3 解析 數(shù)列，，，，…的通項公式為 an＝，0.94＝＝，0.96＝＝， 0．98＝＝，0.99＝， 所以，，都在數(shù)列中，故有3個． 10．設(shè)an＝＋＋＋…＋(n∈N*)，那么an＋1－an＝____________. 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 答案 － 解析 ∵an＝＋＋＋…＋， ∴an＋1＝＋＋…＋＋＋， ∴an＋1－an＝＋－＝－. 11．?dāng)?shù)列1,3,6,10，…的一個通項公式是__________． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式 答案 an＝ 解析 a1＝，a2＝，a3＝，a4＝， 可得an＝. 二、解答題 12．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項公式an是n的一次函數(shù)． (1)求{an}的通項公式； (2)判斷88是不是數(shù)列{an}中的項？ 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 判斷某數(shù)是否為數(shù)列的項 解 (1)設(shè)an＝kn＋b，k≠0. 則解得 ∴an＝4n－2，n∈N*. (2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5?N*. ∴88不是數(shù)列{an}中的項． 13．在數(shù)列{an}中，an＝n(n－8)－20，請回答下列問題： (1)這個數(shù)列共有幾項為負(fù)？ (2)這個數(shù)列從第幾項開始遞增？ (3)這個數(shù)列中有無最小值？若有，求出最小值；若無，請說明理由． 考點(diǎn) 數(shù)列的通項公式 題點(diǎn) 已知通項公式求項或項數(shù) 解 (1)因?yàn)閍n＝n(n－8)－20＝(n＋2)(n－10)， 所以當(dāng)0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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