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1、第12章 重積分 內(nèi)容提要 （一）二重積分概念和性質(zhì) 1．二重積分定義：設(shè)二元函數(shù)定義在有界閉區(qū)域上。將任意劃分成除公共邊界外沒有其它公共部分的個子區(qū)域（），在每個中任取一點（），作和式。令表示各子區(qū)域直徑的最大值，若極限存在，且極限值和區(qū)域的分割方式以及各子區(qū)域中點的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在區(qū)域上可積，并稱此極限為在區(qū)域上的二重積分，記作，即 其中，稱為被積函數(shù)，為被積表達式，為面積元素，、是積分變量，是積分區(qū)域，并稱為積分和式。 2．二重積分的幾何意義：設(shè)在區(qū)域上連續(xù)，當時，二重積分表示以曲面為頂，底面區(qū)域是的曲頂柱體的體積。 3．性質(zhì) （1

2、）線性性質(zhì) 若，在上可積，和為任意常數(shù)，則在上可積，且 。 （2）積分區(qū)域可加性質(zhì) 若，且和除邊界外沒有公共部分，則在上可積的充要條件是在和上都可積，且 。 （3）不等式性質(zhì) 設(shè)，在上可積，則 （i）若，，則 ， 特別有 。 （ii）若，是的面積，則有 。 （4）積分中值定理 設(shè)為有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則存在，使得 ， 其中是的面積。 （5）對稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積， （i）若關(guān)于軸對稱，則 ， 其中。 （ii）若關(guān)于軸對稱，則 ， 其中。 （二）二重積分的計算 1．利用直角坐標系計算

3、二重積分 設(shè)在平面有界閉區(qū)域上連續(xù)： （i）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則 。 （ii）若，其中、在上連續(xù)。區(qū)域的特點是：穿過內(nèi)與軸平行的直線與的邊界相交不多于兩點，稱為型區(qū)域。則 。 如果區(qū)域不滿足以上條件，可以將區(qū)域分成若干個部分區(qū)域，使每個部分區(qū)域滿足以上條件，再利用積分關(guān)于區(qū)域的可加性來計算。 2．利用極坐標系計算二重積分 極坐標與直角坐標的關(guān)系為，極坐標系中的面積元素為。在極坐標系下，二重積分可變?yōu)? （i）極點在區(qū)域外。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù)，則 （ii）極點在區(qū)

4、域邊界上。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則 （iii）極點在區(qū)域內(nèi)。區(qū)域在極坐標下可表示為 ， 其中在區(qū)間上連續(xù)，從而有 （三）二重積分的應(yīng)用 1．曲面面積：設(shè)曲面是由方程給出，在平面上的投影區(qū)域為，且函數(shù)在上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。則曲面的面積為 2．物理應(yīng)用：設(shè)平面薄片在平面上所占的區(qū)域為，其面密度為。 （1） 薄片質(zhì)量：。 （2） 一階矩：薄片關(guān)于、軸的一階矩、分別為 ， （3） 薄片質(zhì)心：，。 （4） 薄片關(guān)于、軸和原點的轉(zhuǎn)動慣量分別為： ， （四）三重積分的定義 設(shè)為空間閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將任意分成個子域，以表示第個子域的

5、體積。在每一個子域上任取一點，作和式，如果當所有子域直徑中的最大值趨于零時，這和式的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分，記作，即 (五) 三重積分的性質(zhì) （1）線性性質(zhì) ，其中在上可積，為常數(shù)。 （2）分域性質(zhì) ， 其中在上可積，且無公共內(nèi)點。 （3）若在上可積且，則有 （4）估值公式 設(shè)在有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，其最大值為，最小值，則 上式中表示閉區(qū)域的體積。 （5）中值定理 設(shè)在有界連通閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，則，使 （六）三重積分的計算 （1）在直角坐標系中的計算方法 （a）先單后重法 若先對積分，則將積分區(qū)域向平面投影，記投影區(qū)域為，

6、可表示為，則 類似可以先對y積分或先對x積分。 （b）先重后單法 將積分區(qū)域向子軸投影得，再用垂直于軸的平面去截積分區(qū)域，得，則有 （2）在柱面坐標系中的算法 設(shè) 若，則 （3）在球坐標系中的方法 設(shè)，若 則一 （七）三重積分的應(yīng)用 （1）體積 （2）物體的質(zhì)量 若物體所占空間區(qū)域為，密度函數(shù)為，則質(zhì)量 （3）質(zhì)心坐標 （4）轉(zhuǎn)動慣量 復(fù)習(xí)指導(dǎo)： 第12章 重積分 學(xué)習(xí)指導(dǎo) 1． 掌握二重積分的概念。 2． 會用聯(lián)立不等式表示平面區(qū)域。 3． 熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算。能按照積分區(qū)域的特征將二重

7、積分轉(zhuǎn)化為二次積分，也能由二次積分的積分限確定二重積分的積分區(qū)域，并進一步變換二次積分的次序。 4． 會將直角坐標系中簡單曲線的方程改寫為極坐標系下的方程，會確定極坐標系中積分區(qū)域的參數(shù)變化范圍，會在極坐標系下計算簡單區(qū)域的二重積分。 5． 掌握二重積分的幾何意義，能用二重積分計算平面區(qū)域的面積和空間中簡單立體的體積。 6． 會用二重積分計算質(zhì)量、質(zhì)心、一階矩和轉(zhuǎn)動慣量等。 7． 掌握第一型曲面積分的概念，會確定曲面在坐標平面上的投影區(qū)域，會計算簡單曲面上的第一型曲面積分。 8．對三重積分可以理解為密度函數(shù)為的所占的區(qū)域為的物體的質(zhì)量。理解這一點對三重積分的許多性質(zhì)的理解有極大的幫助

8、。 還應(yīng)將三重積分和以前各類積分比較，一方面可以加強理解，另一方面也使同學(xué)不易忘記和混淆。 三重積分 變密度三維空間立體的質(zhì)量 定積分dx 變密度一維直剛絲的質(zhì)量 第一型曲線積分 變密度彎曲剛絲的質(zhì)量 二重積分 變密度二維平面薄片的質(zhì)量 第一型曲面積分 變密度空間曲面薄片的質(zhì)量 9．對稱性 當積分區(qū)域關(guān)于面對稱時，若被積函數(shù)關(guān)于為偶函數(shù)，即 ，則 其中為在面之上方的部分 若被積函數(shù)關(guān)于為奇函數(shù), ，即，則 當關(guān)于其他坐標面對稱時有類似結(jié)論。 10．各類坐標系的選擇 （1）當積分區(qū)域是圓柱形或圓錐形區(qū)域，或在某坐標面上的投影是圓域，被積函數(shù)具有的形式，常采用柱坐標系。 （2）當積分區(qū)域是與球相關(guān)的區(qū)域，而被積函數(shù)具有的形式時，常采用球坐標。 （3）其他如平面或拋物面構(gòu)成的區(qū)域，可選用直角坐標系。 9 / 9文檔可自由編輯打印