第55講　兩直線的位置關(guān)系 　 1．一條光線從點(diǎn)(5,3)射入，與x軸正向成α角，遇x軸后反射，若tan α＝3，則反射線所在的直線方程為(D) A. y＝3x－12 B. y＝－3x－12 C. y＝3x＋12 D. y＝－3x＋12 反射線所在的直線過(guò)點(diǎn)(5，－3)， 斜率k＝－tan α＝－3， 由點(diǎn)斜式得y＋3＝－3(x－5)，即y＝－3x＋12. 2．(2017江西景德鎮(zhèn)二模)若直線l1：(m－2)x－y－1＝0與直線l2：3x－my＝0互相平行，則m的值等于(D) A．0或－1或3 B．0或3 C．0或－1 D．－1或3 當(dāng)m＝0時(shí)，兩條直線方程分別化為－2x－y－1＝0,3x＝0，此時(shí)兩直線不平行； 當(dāng)m≠0時(shí)，由于l1∥l2，則＝，解得m＝－1或3. 經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． 綜上，m＝－1或3. 3．“m＝”是“直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”的(B) A．充分必要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件 容易檢驗(yàn)當(dāng)m＝時(shí)，兩條直線互相垂直，所以可以否定C和D.觀察兩個(gè)方程的系數(shù)，不難得到，當(dāng)m＋2＝0時(shí)，即m＝－2時(shí)，兩條直線也互相垂直，故選B. 4．(2017廣州市二測(cè))已知三條直線2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值集合為(D) A．{－，} B．{，－} C．{－，，} D．{－，－，} 記l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0， l1，l2，l3不構(gòu)成三角形，當(dāng)且僅當(dāng)：l3∥l1或l3∥l2或l1、l2、l3相交于同一點(diǎn)． ①l3∥l1，得m＝； ②l3∥l2，得m＝－； ③l1與l2的交點(diǎn)為(－1，－)∈l3， 得－m＋－1＝0，得m＝－. 綜上，實(shí)數(shù)m的取值集合為{－，－，}． 5．直線ax＋4y－2＝0與2x－5y＋c＝0垂直于點(diǎn)(1，m)，則a＝　10　，c＝?。?2　，m＝　－2　. 因?yàn)閮芍本€互相垂直，所以－＝－1， 所以a＝10. 又兩直線垂直于點(diǎn)(1，m)，所以(1，m)在直線l1和l2上， 所以101＋4m－2＝0，所以m＝－2， 再將(1，－2)代入2x－5y＋c＝0， 得21－5(－2)＋c＝0，得c＝－12. 6．已知a，b為正數(shù)，且直線ax＋by－6＝0與直線2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，則2a＋3b的最小值為　25　. 由兩直線平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1， 又a，b為正數(shù)， 所以2a＋3b＝(2a＋3b)(＋)＝13＋＋≥13＋2＝25. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝5時(shí)取等號(hào)，故2a＋3b的最小值為25. 7．設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1、k2滿足k1k2＋2＝0. (1)證明l1與l2相交； (2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上. (1)反證法：假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0. 此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾，從而k1≠k2， 即l1與l2相交． (2)(方法一)由方程組 解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 而2x2＋y2＝2()2＋()2 ＝＝＝1. 此即表明交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上． (方法二)交點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足 故x≠0，從而代入k1k2＋2＝0， 得＋2＝0，整理得2x2＋y2＝1. 所以交點(diǎn)P在橢圓2x2＋y2＝1上． 8．(2018湖南長(zhǎng)郡中學(xué)聯(lián)考)已知f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱，若g(1)＝4，則f(－3)＝(A) A．－2 B．2 C．－1 D．4 因?yàn)間(1)＝4，所以(1,4)在g(x)的圖象上， 因?yàn)閒(x)與g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱， 所以(1,4)關(guān)于y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)在y＝f(x)的圖象上， 因?yàn)?1,4)關(guān)于y＝x＋1的對(duì)稱點(diǎn)為(3,2)， 所以f(3)＝2， 又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－3)＝－f(3)＝－2. 9．(2017江西南昌模擬)m∈R，直線(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0恒過(guò)定點(diǎn)，此定點(diǎn)的坐標(biāo)為　(3,1)　. 直線(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0， 即(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0， 由解得 故直線過(guò)定點(diǎn)(3,1)． 10．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求： (1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程． (1)設(shè)A′(x，y)，由已知條件有： 解得所以A′(－，)． (2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)， 則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)，則 解得M′(，)． 設(shè)m與l的交點(diǎn)為N， 由得N(4,3)． 又因?yàn)閙′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4,3)， 所以由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)， 則P關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，因?yàn)镻′在直線l上， 所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0為所求．