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1、“三心二意”求距離
(河南省臨潁縣南街村高中 趙先舉 462600)
三角形的重心、外心及內(nèi)心反映了三角形的基本性質(zhì),而實(shí)際上這“三心”都具有兩個(gè)不同的含義或性質(zhì).
重心——既是三角形三條邊的中線的交點(diǎn)又滿足到定點(diǎn)距離是到對比中點(diǎn)距離的2倍;
外心——既是三角形三條邊中垂線的交點(diǎn)又是三角形外接圓的圓心;
內(nèi)心——既是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)也是三角形的內(nèi)切圓的圓心.
掌握三角形的這些性質(zhì)對解立體幾何問題有很重要的作用,尤其是求一些與三棱錐有關(guān)的距離問題.
例1.邊長為正△ABC的所在平面外一點(diǎn)S到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是6,求點(diǎn)S到平面”ABC的距離.
[解析]:由S作⊥
2、平面ABC于O聯(lián)結(jié)AO,BO,CO,易證
△SAO△SBO△SCO,故AO＝BO＝CO
故O是△ABC的外心(外接圓的圓心).而三角形ABC是正三角形,故O也是三角形ABC的重心.設(shè)D是邊BC中點(diǎn),則
故.在直角△SAO中可求得高
.
[評析]:本題根據(jù)條件首先說明垂足O是△ABC的外心,再根據(jù)正三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為重心來求AO的長度.這實(shí)際上是由外心定位置,再由重心定長度,實(shí)現(xiàn)了正三角形內(nèi)部特征的轉(zhuǎn)化.
例2.已知△ABC三邊長分別為6,8,10且△ABC所在平面外一點(diǎn)S到三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的距離都是6,求點(diǎn)S到平面ABC的距離.
[解析]:由S向平面ABC作垂線,由例1的方法
3、易知,O是△ABC的外心,又根據(jù)條件可知,△ABC是直角三角形.故O是△ABC斜邊的中點(diǎn),所以可得S到平面ABC的距離為.
[評析]:本題根據(jù)條件先確定垂足的位置是三角形的外心,再根據(jù)直角三角形的特點(diǎn)進(jìn)一步得到垂足在斜邊中點(diǎn)上的結(jié)論,體現(xiàn)了外心重要應(yīng)用.而實(shí)際上我們可得出一個(gè)一般性的結(jié)論:若△ABC所在平面外一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,那么由P向平面ABC作垂線的垂足是△ABC的外心.
例3.已知△ABC所在平面外一點(diǎn)S到三角形三邊的距離都是6,而△ABC的周長為4,面積為6.求點(diǎn)S到平面ABC的距離.
[解析]:如圖,過S作SO⊥平面ABC于O,SD,SE,SF分別垂直于BC,A
4、B,AC.聯(lián)結(jié)OD,OE,OF.則由條件可得.
故OD=OE=OF.故O是△ABC的內(nèi)心.OD等于內(nèi)切圓的半徑r.
由內(nèi)心的性質(zhì)可得:面積
故r＝3.所以,S到平面ABC的距離.
[評析]:三角形的內(nèi)心是其內(nèi)切圓的圓心,且三角形的面積可以表示為(其中,r為內(nèi)切圓半徑,c為三角形周長).本題確定垂足的位置為內(nèi)心是解決本題的關(guān)鍵.其實(shí),一般情況下有這樣的結(jié)論:若△ABC所在平面外一點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等,那么由P向平面ABC作垂線的垂足是△ABC的內(nèi)心.
三角形的“三心”是三角形的性質(zhì),反映了三角形邊角之間的關(guān)系.而利用其“三心”具有的性質(zhì)確定垂足的位置可以使距離問題得到簡化.
“三心二意”求距離
