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1、
1.3 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存有量詞
一、選擇題
1．已知命題p：函數(shù)f(x)＝x－logx在區(qū)間內(nèi)存有零點(diǎn)，命題q：存有負(fù)數(shù)x使得x>x.給出下列四個(gè)命題：①p或q；②p且q；③p的否定；④q的否定．其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命題p為假命題，命題q也為假命題．利用真值表判斷．
答案 B
2.已知命題p：存有n∈N,2n>1 000，則非p為( )
A．任意n∈N,2n≤1 000 B．任意n∈N,2n>1 000
C．存有n∈N,2
2、n≤1 000 D．存有n∈N,2n<1 000
解析：特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，即p：存有x∈M，p(x)，則非p：任意x∈M，非p(x)．
答案：A
3． ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)的實(shí)根的充要條件是( )．
A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1
C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0
解析 (篩選法)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)的實(shí)根，能夠排除A、D；當(dāng)a＝1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，能夠排除B，故選C.
答案 C
4．已知p：x2－2x－3
3、≥0，q：x∈Z.若p且q，非q同時(shí)為假命題，則滿(mǎn)足條件的x的集合為( )
A．{x|x≤－1或x≥3，x?Z}
B．{x|－1≤x≤3，x∈Z}
C．{x|x＜－1或x>3，x?Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
解析 p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，則由p且q，非q同時(shí)為假命題知，p假q真，所以x滿(mǎn)足－13x”的否定是“任意x∈R，x2＋1<3x”；
②已知p、q為兩個(gè)命題，若“p或q”為假命題，則“非p且非q為真命題”；
③“a>2
4、”是“a>5”的充分不必要條件；
④“若xy＝0，則x＝0且y＝0”的逆否命題為真命題．
其中所有真命題的序號(hào)是( )
A．①②③ B．②④
C．② D．④
解析：命題“存有x∈R，x2＋1>3x”的否定是“任意x∈R，x2＋1≤3x”，故①錯(cuò)；“p或q”為假命題說(shuō)明p和q都假，則非p且非q為真命題，故②對(duì)；a>5?a>2，但a>2 a>5，故“a>2”是“a>5”的必要不充分條件，故③錯(cuò)； “若xy＝0，則x＝0且y＝0”為假命題，故其逆否命題也為假命題，故④錯(cuò)．
答案：C
6．下列命題
5、錯(cuò)誤的是( )．
A．命題“若m＞0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程
x2＋x－m＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則m≤0”
B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要條件
C．若p且q為假命題，則p，q均為假命題
D．對(duì)于命題p：存有x∈R，使得x2＋x＋1＜0，則非p：任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0
解析 依次判斷各選項(xiàng)，易知只有C是錯(cuò)誤的，因?yàn)橛眠壿嬄?lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)的兩個(gè)命題中，只要一個(gè)為假整個(gè)命題為假．
答案 C
7．已知p：存有x∈R，mx2＋2≤0.q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p或q為假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )．
A．[1，
6、＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
解析 (直接法)∵p或q為假命題，∴p和q都是假命題．
由p：存有x∈R，mx2＋2≤0為假，得任意x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①
由q：任意x∈R，x2－2mx＋1＞0為假，得存有x∈R，x2－2mx＋1≤0，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0?m2≥1?m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
答案 A
【點(diǎn)評(píng)】 本題采用直接法，就是通過(guò)題設(shè)條件解出所求的結(jié)果，多數(shù)選擇題和填空題都要用該方法，是解題中最常用的一種方法.
二、填空題
8．
7、用含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題表示命題“xy＝0”的否定是________．
解析 方法1：記命題p1：x＝0，p2：y＝0，則命題xy＝0即命題p1∨p2，其否定是(非p1)且(非p2)，非p1：x≠0，非p2：y≠0，故命題xy＝0的否定是“x≠0且y≠0”．
方法2：xy＝0的否定即xy≠0，即“x≠0且y≠0”．
答案 x≠0且y≠0
9．已知命題p：f(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)；命題q：不等式
(x－1)2>m的解集為R.若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
解析 由f(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，得1－2m>0，
8、即m<，由不等式(x－1)2>m的解集為R，得m<0.要保證命題“p∨q”為真，命題“p且q”為假，則需要兩個(gè)命題中只有一個(gè)正確，而另一個(gè)不正確，故0≤m<.
答案 0≤m<
10．令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若對(duì)任意x∈R，p(x)是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析 ∵對(duì)任意x∈R，p(x)是真命題．
∴對(duì)任意x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，
當(dāng)a＝0時(shí)，不等式為2x＞0不恒成立，
當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式恒成立，
則∴a＞1.
答案 a＞1
11．命題“對(duì)任意x>1，x2>1”的否定是________．
解析：這是一個(gè)全稱(chēng)命題，其否定是“存在
9、x0>1，使得x≤1”．
答案：存在x0>1，使得x≤1
12．已知命題“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析 由“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定為假命題，
可知命題“任意x∈R，x2－5x＋a＞0”必為真命題，
即不等式x2－5x＋a＞0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立．
設(shè)f(x)＝x2－5x＋a，則其圖像恒在x軸的上方．
故Δ＝25－4a＜0，解得a＞，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
答案
三、解答題
13．設(shè)命題p：函數(shù)f(x)＝x3－ax－1在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減；命題q：函數(shù)y＝ln(x2＋ax＋1)的值域是R.
10、如果命題p或q為真命題，p且q為假命題，求a的取值范圍．
解析 p為真命題?f′(x)＝3x2－a≤0在[－1,1]上恒成立?a≥3x2在[－1,1]上恒成立?a≥3.
q為真命題?Δ＝a2－4≥0恒成立?a≤－2或a≥2.
由題意p和q有且只有一個(gè)是真命題．
p真q假??a∈?；
p假q真??a≤－2或2≤a<3.
綜上所述：a∈(－∞，－2]∪[2,3)．
14．寫(xiě)出下列命題的否定，并判斷真假：
(1)存在一個(gè)三角形是正三角形；
(2)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0使x－2x0－3＝0成立；
(3)正數(shù)的對(duì)數(shù)不全是正數(shù)．
解析 (1)任意的三角形都不是正三角形，假命題；
(
11、2)對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有x2－2x－3≠0，假命題；
(3)正數(shù)的對(duì)數(shù)都是正數(shù)，假命題．
15．已知命題p：方程x2＋mx＋1＝0有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根，命題q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0無(wú)實(shí)根．若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解析 由已知得：p，q中有且僅有一個(gè)為真，一個(gè)為假．
命題p為真?
命題q為真?Δ<0?1
1.3 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)量詞與存在量詞
